1、石嘴山三中 2018 届第四次模拟考试数学（文科）能力测试一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先解不等式得集合 B,再根据交集定义求结果 .【详解】 ,所以 ,选 C.【点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Ve
2、nn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 若复数 （是虚数单位） ，则A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】分析：由题意首先化简复数，然后利用复数的模的计算公式可得 的模为 .详解：由题意可得： ，则 ，故 .本题选择 B 选项.点睛：复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程3. 成立的A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】根据集合之间包含关系确定充要性.【详解】因为 等价于 ，所以 成立的必要非充分条件，选 B.【点睛】充分、必要条件的三
3、种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件4. 已知实数 满足不等式组 则 的最大值为A. 5 B. 10 C. 11 D. 13【答案】D【解析】分析：先作出不等式组对应的可行域，再作出直线 ，最后数形结合分析得到函数的最大值.详解：不等式组对应的可行域如图所示：由 得 ，当直线 经过点 B(3，2)时，直线的纵截距 最大，z 最大.
4、所以 .故选 D.点睛：本题主要考查线性规划中的最值问题，属于基础题.5. 已知等比数列 中， 则A. B. -2 C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】根据等比数列性质得 ， ，再根据等比数列性质求得 .【详解】因为等比数列 中， ，所以 ，即以 ，因此 = ，因为 ， 同号，所以 选 C.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.6. 按程序框图，若输出结果为 273，则判断框“？”
5、处应补充的条件为A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：经过第一次循环得到 ；经过第二次循环得到 ；经过第三次循环得到 ；此时，需要输出结果，此时的满足判断框中的条件，故选 B考点：程序框图7. 已知向量 ,若 ，则 等于A. B. 2 C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直坐标表示得方程，解得 .【详解】因为 ，所以 ,选 C.【点睛】向量平行： ，向量垂直： ，向量加减： 8. 把函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减C. 图象关于点 对称 D. 图象关于直线 对称【答案】A【解析】【分析】先根据配角公式化简
6、，再根据图象变换得 ，最后根据正弦函数性质确定选项.【详解】因为 ，所以 ,因此 在 上单调递增，图象不关于点 对称，也不关于直线 对称，选 A.【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言.9. 已知函数 ，若 ，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先研究函数 奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简不等式 ，解得实数的取值范围.【详解】因为 ,所以 为奇函数，且在 R 上单调递减，因为 ，所以 ，选 D.【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把
7、不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性去掉“” ，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内.10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先还原几何体（正方体截去一个角），再根据柱与锥体积公式求结果.【详解】几何体为边长为 2 的正方体截去一个三棱锥，三棱锥高为 1，底面为腰长为 2 的等腰三角形，所以体积为 ，选 D.【点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常
8、用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以线段 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 ，则双曲线的方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形几何性质得坐标原点到交点距离等于 c，再根据交点 在渐近线上，解得a,b，即得双曲线的方程.【详解】由题意得 因为交点 在渐近线 上，所以 ，双曲线的方程为 ，选 A.【点睛】1.已知双曲线方程 求渐近线：2.已知渐近线 设双曲线标准方程3，双曲线焦点到渐近线距离为 ，垂足为对应准线与渐近线的交点 .12
9、. 定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， ，设函数，则函数 与 的图像所有交点的横坐标之和为A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B【解析】因为 ，所以 周期为 2，函数 关于 对称，作图可得四个交点横坐标关于 对称，其和为 ，选 B.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13. 已知函数 ，则 的值为_【答案】 【解析】
10、【分析】先求 ，再求 的值.【详解】 = .【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.14. 已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 5，则该抛物线的准线方程为_.【答案】【解析】试题分析：由题意得：抛物线焦点为 F（ ，0） ，准线方程为 x= 因为点 M（1，m）到其焦点的距离为 5，所以根据抛物线的定义得到方程，得到该抛物线的准线方程详解：抛
11、物线方程为 y2=2px抛物线焦点为 F（ ，0） ，准线方程为 x= ，又 点 M（1，m）到其焦点的距离为 5，p 0，根据抛物线的定义，得 1+ =5，p=8，准线方程为 x=4故答案为：x=4点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.15. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“今有中试举人壹百名，第一名官给银一百两，自第二名以下挨次各减五钱，问：该银若干？”其大意是：现有 100 名中试举人
12、，朝廷发银子奖励他们，第 1 名发银子 100 两，自第 2 名起，依次比前一名少发 5 钱（每 10 钱为 1 两） ，问：朝廷总共发了多少银子？经计算得，朝廷共发银子_两.【答案】7525【解析】由题意，朝廷发放银子成等差数列，其中首项为 ，公差 ，根据等差数列前项和公式得 ，从而问题可得解.16. 设直三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40，AB=AC=AA1，BAC=120，则直三棱柱 ABC-A1B1C1 的高是_.【答案】【解析】设三角形 BAC 边长为，则三角形 BAC 外接圆半径为 ，因为所以 即直三棱柱的高是 .三、解答题：解答应写出文字说
13、明，证明过程或演算步骤.17. 已知锐角三角形 ABC 中内角 A,B,C 所对边的边长分别为 a,b,c,满足 ，且 (1)求角 C 的值；(2)设函数 , 图像上相邻两最高点间的距离为 ,求 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理得 ，代入余弦定理即可得出关于 cosC 的方程，解出 cosC 即可得出 C；（2）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由题意，利用周期公式即可求 ，由 ，A，B 为锐角，可得范围 ，利用正弦函数的图象和性质即可得解试题解析：（）因为 ，由余弦定理知所以 ，又因为 ,则由正弦定理得： ，所以 ，所以（）由已知 ，则,由于
14、，所以所以 ,所以18. 汉字听写大会不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市大约 10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取 50 名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在 160 到 184 之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组 ，第二组 ，第六组 ，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若电视台记者要从抽取的市民中选 1 人进行采访，求被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的概率；（2）已知第 5，6 两组市民中有 3 名女性，组织方要从第 5，6 两组中随机抽取 2 名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有 1 名女性市民的概
15、率.【答案】 （1）0.28（2）【解析】试题分析：（1）第 1 组或第 4 组的频率为 ，所以被采访人恰好在第 1组或第 4 组的概率为 0.28；（2）第 5，6 两组中共有 6 名市民，其中女性市民共 3 名，记3 名男性市民为 ， ， ，3 名女性市民为 ， ， ，穷举所有事件，求得至少有 1 名女性市民的概率为 .试题解析：（1）被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的频率为 ，估计被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的概率为 0.28，（2）第 5，6 两组 的人数为 ，第 5，6 两组中共有 6 名市民，其中女性市民共 3 名，记第 5，6 两组中的 3 名男性市民分别为 ， ，
16、，3 名女性市民分别为 ， ， ，从第 5，6 两组中随机抽取 2 名市民组成宣传队，共有 15 个基本事件，列举如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，至少有 1 名女性 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 12 个基本事件，从第 5，6 两组中随机抽取 2 名市民组成宣传务队，至少有 1 名女性的概率为 .19. 在三棱锥 底面 ， ，是 的中点， 是线段 上的一点，且 ，连接 ，（1）求证： ；（2）求点 到平面 的距离.【答案】 （1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先根据勾股定理计算得 是 的中点，再根据三角形中位线性质得 ，最后根据线面平行
17、判定定理得结论， （2）利用等体积法得 ，再根据锥体体积公式求得点 到平面 的距离.【详解】解：（1）因为 ，所以 .又 ， ，所以在 中，由勾股定理，得 .因为 ，所以 是 的斜边 上的中线.所以 是 的中点.又因为 是的中点，所以直线 是 的中位线，所以 . 又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面（2）由（1）得， .又因为 ， .所以 .又因为 ， 所以 .易知 ，且 ， 所以 .设点 到平面 的距离为 ，则由 ，得 ，即 ， 解得 .即点 到平面 的距离为 .【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转
18、化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，直线 交椭圆 于 、 两点，椭圆的右顶点为 ，且满足 .（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 （ ， ）与椭圆 交于不同两点 、 ，且定点 满足，求实数 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）根据 可求得 ，再由离心率可得 c，于是可求得 b，进而得到椭圆的方程 （2）结合直线和椭圆的位置关系求解 将直线方程和椭圆方程联立消元后得到二次方程，由判别式大于零可得 ，结合 可得 ，从而得到关于 的不等式组，解不等式组可得所求范围试题解析：（1） ， ， 又 ， ， ，椭圆 的方程为
19、.（2）由 消去 y 整理得： ， 直线与椭圆交于不同的两点 、 ， ，整理得 设 ， ，则 ， 又设 中点 的坐标为 ， ， ， ，即 ， ， ，解得 实数 的取值范围 点睛：圆锥曲线中求参数取值范围的方法解决此类问题的方法一般采用代数法，即先建立关于参数的目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法求范围时常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21. 已知函数 .（1）求函数 的极值点；（2）设 ，若 的最大值大于 ，求的取值范围.【答案】 （1）极大值点 x=e（2）（0,1）【解析】【分
20、析】（1）先求导数，解得导函数零点，列表分析导数符号变化规律，确定极值点， （2）先利用导数求得 的最大值 ，再构造差函数 ，利用导数研究差函数单调性，根据单调性解得的取值范围.【详解】解：（1） ，令 得（2） ， 令 ，得由 ，得 令 ，而 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22. 在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求 的极坐标方程；（2） 与圆 的交
21、点为 ,与直线的交点为 ，求 的范围.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】(1)先根据三角函数平方关系消参数得圆 的普通方程，再根据 化为极坐标方程， （2）联立极坐标方程得 ， ，即得 再根据 范围确定结果.【详解】解：（1）圆 的普通方程是 ，又 ，所以圆 的极坐标方程为 ； （2）设 ，则有 ，设 ，且直线的方程是 ，则有 ，所以 ，所以【点睛】本题考查极坐标方程的应用，考查基本求解能力. 直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式 及 直接代入并化简即可.23. 已知函数 ，不等式 的解集为（1）求实数 的值； （2）若不等式 对任意的 恒成立，求实数的取值范围.【答案】 （1）2（2）【解析】试题分析： 由题意去掉绝对值，写出分段函数求出结果 转化为几何意义来求解，当时，当 时两种情况来求解。解析：（1）由题意，得作出 的大致图象如图所示，由不等式 的解集为 及图象，可知 解得 .（2）直线 过点 ，且在函数 图象的上方，且可看作直线 的斜率，而过点 和点 的斜率为 .当 时，若直线 在 上方，则 ；当 时， 恒成立，只需 ，所以实数的取值范围为 .
