1、洛阳市 20172018 学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ，所以 ，故 ，故选 C2. 若 （ 是虚数单位） ，则 等于（ ）A. 3 B. 2 C. 0 D. -1【答案】A【解析】 ，因 ，故 ，所以 ，选 A.3. 若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美丽数”：（1）对 ，都有 ；（2）对 ，且 ，都有 ； ； ； 以上四个函数中， “优美函数”的个
2、数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】若 ，则 为 上的奇函数，但 在 上不单调，故 不是优美函数；若 ，则 为 上的奇函数，且在 上为减函数，所以 ，它是优美函数；若 ，因 ，故它不是 上的奇函数，故它不是优美函数；若，考虑函数在 上的单调性，因 在 为增函数，在 为增函数，所以 在 上为增函数且恒正，故在 上为增函数，所以当 时，总有 ，所以 也不是优美函数，综上，选 B.4. 已知向量 ， ，若 ，则实数 的值是（ ）A. -4 B. -1 C. 1 D. 4【答案】D【解析】因为 ，故 ，展开得到 ，故 ， ，选 D.5. 已知某算法的程序框图如图所示，则该
3、算法的功能是（ ）A. 求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2017 项和B. 求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2018 项和C. 求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1009 项和D. 求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1010 项和【答案】C【解析】 由题意可知 ，为求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1009项和.故选 C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 设 满足
4、约束条件 ，则 的最小值与最大值的和为（ ）A. 7 B. 8 C. 13 D. 14【答案】D【解析】可行域如图所示，当动直线 过 时， ；当动直线 过时， ，故 的最大值与最小值的和为 14，选 D.7. 已知函数 ，先将 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） ，再将得到的图象上所有点向右平移 个单位长度，得到的图象关于 轴对称，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因 ，将其图像上的点的横坐标缩短到原来的 后所得函数的解析式为 ， 图像在 轴左侧的第一条对称轴 ，故至少向右平移 个单位就可以得到关于 轴对称的图像，选 C.点睛：若三角函数的图像平移后得
5、到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和 轴附近的对称轴或对称中心有关.8. 一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为 2，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】几何体如图所示，它为正方体中挖去两个对顶的圆锥，其体积为. 9. 若 ，则二项式 的展开式中的常数项为（ ）A. -15 B. 15 C. -240 D. 240【答案】D【解析】 ，而 展开式的通项公式为令 ，所以 ，常数项的系数为 ，选 D.10. 在 中，角 的对边分别为 ，若 成等比数列，且 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ， ，故 ，而，因 ，故
6、 .根据正弦定理有 ，故 ，选 B.11. 已知 是抛物线 的焦点，曲线 是以 为圆心，以 为半径的圆，直线与曲线 从上到下依次相交于点 ，则 （ ）A. 16 B. 4 C. D. 【答案】A【解析】由 可以得到 ，解得 ，所以 ，故 ， ，选 A.点睛：对于抛物线 ，若 且 为焦点弦或焦半径，那么， ，其中 为焦点.12. 已知函数 满足 ，且当 时， ，则方程在 上的所有根之和为（ ）A. 8 B. 9 C. 10 D. 11【答案】D【解析】由 可得 总成立，所以 是偶函数，由 可以得到 是周期为 的函数.在同一坐标系中，我们画出 及 的图像，故方程共有 11 个根， ，其中在 内有
7、6 个解，其和为零，在 内有 5 个解，得和为 11.选 D.点睛：对于不可解方程的解的个数，通常转化为两个熟悉函数的图像的交点去考虑.题设中关于 的关系式蕴含 为偶函数且为周期函数，而且图像的对称轴为 ，又的对称轴为 ，故根据两个函数的图像得到 11 个解，它们的和为 8+3=11. 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ，则 _【答案】【解析】由题设有 ，所以 ，所以 14. 某校有 4 个社团向高一学生招收新成员，现有 3 名同学，每人只选报 1 个社团，恰有 2个社团没有同学选报的报法数有_种（用数字作答） 【答案】36【解析】
8、先选出学生选报的社团，共有 种选法，再把这 3 名同学分配到这两个社团，共有，故恰有 2 个社团没有同学选报数有 15. 在半径为 4 的球面上有不同的四点 ，若 ，则平面 被球所截得图形的面积为_【答案】【解析】设球心为 ，则 ，所以 在平面 上射影是 的外心，同理在平面 上射影也是 的外心因 且 ，故 在平面 的异侧，如图所示，等边三角形 中， ，故 ，又 为平面 截所球得圆的半径，故圆的面积为 点睛：题设中 ，结合球的半径为 ，故我们可以确定出在平面 的两侧，从而求出 的外接圆的半径16. 已知 为双曲线 的左、右焦点， 是双曲线 右支上的一点，连接 并过 作垂直于 的直线交双曲线左支于
9、 ，其中 ， 为等腰三角形则双曲线 的离心率为_【答案】【解析】连接 并延长交右支于点 ，设 ，则 ，因为双曲线是中心对称，且，所以四边形 是平行四边形因 是等腰三角形， ，所以，故 ，且 ，根据双曲线的定义，有 ，所以，解得 ，所以 ，所以 ， 点睛：圆锥曲线的离心率的计算，常常需要寻找一个关于 的关系式如果题设条件与焦点或准线有关，那么我们需要从几何性质的角度去构建 的关系式三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ，且对任意 ，满足 （1）求数列 的通项公式；（2）设数列 满足 ，数列 的前
10、项和为 ，求证： 【答案】 （1） .（2）见解析.【解析】试题分析：由 ，可以得到 的大小和 的递推关系为 ，因此 为等比数列，从而求得 ，再根据 求出 的通项，它是等差数列和等比数列的乘积，利用错位相减法求它的前 项和.（1）当 时， ， ， . ，当 时，两式相减得 ，因 ， ，故 ，数列 是首项为4，公比为 4 的等比数列， .（2） ， ， ，两式相减得：.所以 .18. 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪 80 元，每单抽成 4元；乙公司无底薪，40 单以内（含 40 单）的部分每单抽成 6 元，超出 40 单的部分每单抽成7 元，假设同一公司送餐员一天的送
11、餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 50 天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 10 15 10 10 5乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 5 10 10 20 5（1）现从甲公司记录的 50 天中随机抽取 3 天，求这 3 天送餐单数都不小于 40 的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：记乙公司送餐员日工资为 （单位：元） ，求 的分布列和数学期望；小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说
12、明理由【答案】 （1） .（2）见解析【解析】试题分析：（1）为古典概型，利用组合数公式计算基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的总数即可.（2）为计算离散型随机变量的分布列和数学期望，利用公式计算即可（1）记抽取的 天送餐单数都不小于 40 为事件 ，则 .（2）设乙公司送餐员送餐单数为 ，则当 时， ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，当 时， .所以 的所有可能取值为 228，234，240，247，254.故 的分布列为：228 234 240 247 254所以依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为所以甲公司送餐员日平均工资为 元.由得乙公司送餐员日平均工资为 241.8 元.因
13、为 ，故推荐小王去乙公司应聘.19. 如图，在四棱锥 中， 分别是 的中点，底面 是边长为 2 的正方形，且平面 平面 （1）求证：平面 平面 ；（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值【答案】 （1）见解析（2） .【解析】试题分析：（1）要证平面因 平面 ，只要证 平面 ，也就是证明和 ，后者可以由 为等边三角形得到，前者由 平面 得到（因为平面 平面 ）.（2）要求锐二面角，因几何体比较规则，可以建立空间直角坐标系计算两个半平面的法向量的夹角.（1）由题 ， 为 的中点，可得 ，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 .又 平面 ， . ， 平面 .平面 平面 .（2）取 的中点
14、 ， 的中点 ，连接 ， ， .平面平面 平面 ， 平面 .分别以 为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ，设平面 的法向量为 ，则 .即 .可取 .同理，可得平面 的法向量 . .所以平面 与平面 所成锐二面角余弦值为 .20. 已知短轴长为 2 的椭圆 ，直线 的横、纵截距分别为 ，且原点到直线 的距离为 （1）求椭圆 的方程；（2）直线 经过椭圆的右焦点 且与椭圆 交于 两点，若椭圆 上存在一点 满足，求直线 的方程【答案】 （1） .（2） 或 .【解析】试题分析：直线 的方程有参数 ，利用原点到其距离为 可以得到 的大小，从而得到椭圆的方程 （2）中的 三点满足向量关系式 ，将各点坐标代
15、入，可以得到三个点的坐标之间的关系，而 在椭圆上，所以 两点的坐标满足关系式，再利用 两点在直线 上，得到关于 的一个关系式，利用韦达定理转化为 的方程可以解出 的值（1）因为椭圆 的短轴长为 2，故 .依题意设直线 的方程为： ，由 .解得 ，故椭圆的方程为 .（2）设 当直线 的斜率为 0 时，显示不符合题意.当直线 的斜率不为 0 时， ，设其方程为 ，由 ，得，所以 .因为 ，所以 .又点 在椭圆 上，.又 ， ，将 ，及代入得 ，即 或 .故直线的方程为 或 .点睛：一般地，当解析几何中问题出现向量等式时，我们先寻找向量隐含的几何意义，如果没有几何意义，可以转化点的坐标讨论.解决直线
16、与圆锥曲线位置关系式，我们常把给定的关系式转化为含有 （或 ）的关系式，最后利用韦达定理转化为所求参数的方程.21. 已知函数 ， （ ） ，且曲线 在点 处的切线方程为 （1）求实数 的值及函数 的最大值；（2）当 时，记函数 的最小值为 ，求 的取值范围【答案】 （1） ，最大值 （2）【解析】试题分析：（1）题设给出了在 处的切线，也是 ，从中解出 即可 （2）中要求 的最小值，因此要考虑 的单调性，也就是考虑 的符号的变化，但的零点不易求得，所以利用（1）的结论先确定 在给定的范围上有唯一的零点，通过零点满足的关系式化简 在零点处的函数值表达式（也是 的最小值） ，最终求出最小值得范围
17、（1）函数 的定义域为 ， ，因 的图象在点 处的切线方程为，所以 也即是 ，解得 ，所以 ，故 令 ，得 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减所以当 时， 取得最大值 （2） ， ，令 ，由（1）知道 在 是增函数，故 在 上为增函数，又 ，因此存在唯一的 ，使得 ，也就是 即 当 时， ，所以 ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以 的最小值为 令 ，因为 ，所以 在单调递减，从而 ，即 的取值范围是 点睛：在导数问题的讨论中，如果函数的极值点 不易求得，那么我们可以利用这个关系式去化简 ，从而讨论与 相关的问题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
18、第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ） ，以原点 为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1）写出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）已知点 是曲线 上一点，若点 到曲线 的最小距离为 ，求 的值【答案】 （1） ， （2） 或 【解析】试题分析：（1）消去参数 得到 的普通方程为 利用 可以把 的极坐标方程化为直角坐标方程（2）把 的直角方程转化为参数方程，利用点到直线的距离公式算出距离为，利用 得到 因为直线与椭圆是相离的，所以 或 ，分类讨论就可以得到 相应的值（1）由曲线 的参数方程，消
19、去参数 ，可得 的普通方程为： 由曲线 的极坐标方程得 ， 曲线 的直角坐标方程为（2）设曲线 上任意一点 为 ， ，则点 到曲线 的距离为 ， ，当 时， ，即 ；当 时， ，即 或 点睛：一般地，如果圆锥曲线上的动点到直线的距离有最小值，那么这条直线和圆锥曲线的位置关系式相离的23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当 时，解不等式 ；（2）设不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取值范围【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：（1）利用零点分段讨论求解 （2）利用 化简 得到 在区间 上是恒成立的，也就是 是不等式 的子集，据此得到关于 的不等式组，求出它的解即可（1）当 时，原不等式可化为 当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ；当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ；当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 综上所述，当 时，不等式的解集为 （2）不等式 可化为 ，依题意不等式 在 恒成立，所以 ，即 ，即 ，所以 解得 ，故所求实数 的取值范围是
