1、第2节 函数的单调性与最值,最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.,知 识 梳 理,1.函数的单调性(1)单调函数的定义,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),上升的,下降的,(2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间D上是 或 ，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 叫做函数yf(x)的单调区间.,增函数,减函数,区间D,2.函数的最值,f(x)M,f(x)M,f(x0)M,常用结论与微点提醒 1.“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”意义不同，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最
2、大”区间的子集. 2.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值).,诊 断 自 测,解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接，取x11，x21，则f(1)f(1)，故应说成单调递减区间为(，0)和(0，). (3)应对任意的x1x2，f(x1)f(x2)成立才可以. (4)若f(x)x，f(x)在1，)上为增函数，但yf(x)的单调递增区间可以是R. 答案 (1) (2) (3) (4),答案 A,3.(2017全国卷)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是( )A.(，2) B.(，
3、1)C.(1，) D.(4，)解析 由x22x80，得x4或x2.设tx22x8，则yln t为增函数.要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数tx22x8的单调递增区间.函数tx22x8的单调递增区间为(4，)，函数f(x)的单调递增区间为(4，).答案 D,答案 A,5.如果二次函数f(x)3x22(a1)xb在区间(，1)上是减函数，那么a的取值范围是_.,答案 (，2,考点一 确定函数的单调性(区间),解析 由x2x60，得2x3.,只需求tx2x6在(2，3)上的减区间.,答案 A,解 法一 设1x1x21，,所以x2x10，x110时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)
4、，函数f(x)在(1，1)上递减； 当a0时，f(x1)f(x2)0， 即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上递增.,当a0时，f(x)0，函数f(x)在(1，1)上递增.,规律方法 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1). 2.(1)函数单调性的判断方法有：定义法；图象法；利用已知函数的单调性；导数法. (2)函数yf(g(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.,答案 D,证明如下： 法一 设x1，x2是任意两个正数，且0x1x2，,又x1x20，即f(x1)f(x2)，,又x1x20，所以f
5、(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，,考点二 求函数的最值,解析 (1)f(3)lg(3)21lg 101，f(f(3)f(1)0，,当x1时，f(x)lg(x21)lg 10，当且仅当x0时，取等号，此时f(x)min0.,(2)f(x)axlogax在1，2上是单调函数，所以f(1)f(2)loga26， 则aloga1a2loga2loga26， 即(a2)(a3)0，又a0，所以a2.,规律方法 求函数最值的四种常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变
6、形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.,当x2时，x10，易知f(x)在2，)上是减函数，,(2)法一 在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)图象， 依题意，h(x)的图象如图所示. 易知点A(2，1)为图象的最高点， 因此h(x)的最大值为h(2)1.,当02时，h(x)3x是减函数， 所以h(x)在x2时取得最大值h(2)1. 答案 (1)2 (2)1,考点三 函数单调性的应用(多维探究) 命题角度1 比较函数值或自变量的大小,解析 由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y
7、轴对称，故函数yf(x)的图象本身关于直线x1对称，,当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ac. 答案 D,命题角度2 求解函数不等式,解析 易知函数f(x)在定义域(，)上是增函数， f(a1)f(2a1)，a12a1，解得a2. 故实数a的取值范围是(，2. 答案 B,命题角度3 求参数的值或取值范围,所以yf(x)在(，)上是增函数.,规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解. 2.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域.,(2)f(x)在R上是偶函数，且在区间(，0)上单调递增， f(x)在(0，)上是减函数，,又y2x是增函数，,
