1、1专题五 阅读理解型问题类型一 新定义型问题(2018浙江湖州中考)在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点以顶点都是格点的正方形 ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H 都是格点，且四边形 EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图例如，在如图 1 所示的格点弦图中，正方形 ABCD 的边长为 ，此时正方形 EFGH 的面积为 5.问：当格点弦图中的正方形65ABCD 的边长为 时，正方形 EFGH 的面积的所有可能值是_(不包括 5)65【分析】当 DG ，CG2 时，满足 DG2CG 2CD 2，此时 HG ，可得
2、正方形 EFGH 的面积为13 13 1313.当 DG8，CG1 时，满足 DG2CG 2CD 2，此时 HG7，可得正方形 EFGH 的面积为 49.当DG7，CG4 时，此时 HG3，四边形 EFGH 的面积为 9.【自主解答】1若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形(1)已知ABC 是比例三角形，AB2，BC3，请直接写出所有满足条件的 AC 的长；(2)如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 BD 平分ABC，BACADC.求证：ABC 是比例三角形(3)如图 2，在(2)的条件下，当ADC90时，求 的值BDAC2图 1 图 2类型二
3、 新知识学习型问题(2018湖南张家界中考)阅读理解题在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x0，y 0)到直线 AxByC0(A 2B 20)的距离公式为：d，|Ax0 By0 c|A2 B2例如，求点 P(1，3)到直线 4x3y30 的距离解：由直线 4x3y30 知：A4，B3，C3，所以 P(1，3)到直线 4x3y30 的距离为：d 2.|41 33 3|42 32根据以上材料，解决下列问题：(1)求点 P1(0，0)到直线 3x4y50 的距离；(2)若点 P2(1，0)到直线 xyC0 的距离为 ，求实数 C 的值2【分析】(1)根据点到直线的距离公式即可求解；(2)根据点到直
4、线的距离公式，列出方程即可解决问题【自主解答】32(2018山东济宁中考)知识背景当 a0 且 x0 时，因为( )20，所以 x2 0，从而 x 2 (当 x 时取等号)xax a ax ax a a设函数 yx (a0，x0)，由上述结论可知，当 x 时，该函数有最小值为 2 .ax a a应用举例已知函数 y1x(x0)与函数 y2 (x0)，则当 x 2 时，y 1y 2x 有最小值为 2 4.4x 4 4x 4解决问题(1)已知函数 y1x3(x3)与函数 y2(x3) 29(x3)，当 x 取何值时， 有最小值？最小值是y2y1多少？(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是
5、设备的安装调试费用，共 490 元；二是设备的租赁使用费用，每天 200 元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为 0.001.若设该设备的租赁使用天数为 x 天，则当 x 取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？类型三 迁移发展型问题(2018山东淄博中考)(1)操作发现：如图 1，小明画了一个等腰三角形 ABC，其中 ABAC，在ABC 的外侧分别以 AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD，ACE，分别取 BD，CE，BC 的中点 M，N，G，连结 GM，GN.小明发现了：线段 GM 与 GN 的数量关系是_；位置关系是_(2)类比思考：4如图
6、 2，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形，其中 ABAC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由(3)深入研究：如图 3，小明在(2)的基础上，又作了进一步探究向ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ABD，ACE，其他条件不变，试判断GMN 的形状，并给与证明【分析】(1)利用 SAS 判断出ACDAEB，得出 CDBE，ADCABE，进而判断出BDCDBH90，即BHD90，最后用三角形中位线定理即可得出结论；(2)同(1)的方法即可得出结论；(3)同(1)的方法得出 MGNG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论【自主解答】此类题
7、型要从提供的材料中，通过阅读理解其复杂的思想方法，将其概括成数学模型去解决同类或更高层次的另一类相关命题，在解题过程中，类比材料所给的原有问题，从中将相关的知识、思想方法、解题策略迁移到新的问题中，是解决此类问题的关键所在3问题背景：如图 1，ABC 为等边三角形，作 ADBC 于点 D，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 30后，BA，BC 边与射线5AD 分别交于点 E，F，求证：BEF 为等边三角形迁移应用：如图 2，ABC 为等边三角形，点 P 是ABC 外一点，BPC60，将BPC 绕点 P 逆时针旋转 60后，PC 边恰好经过点 A，探究 PA，PB，PC 之间存在的数量关系，并证明你
8、的结论；拓展延伸：如图 3，在菱形 ABCD 中，ABC60，将ABC 绕点 B 顺时针旋转到如图所在的位置得到MBN，F 是BM 上一点，连结 AF，DF，DF 交 BN 于点 E，若 B，E 两点恰好关于直线 AF 对称(1)证明BEF 是等边三角形；(2)若 DE6，BE2，求 AF 的长类型四 方法模拟型问题6(2018贵州贵阳中考)如图 1，在 RtABC 中，以下是小亮探究 与 之间关系的方法：asin A bsin B sin A ， sin B ，ac bcc ，c ，asin A bsin B .asin A bsin B根据你掌握的三角函数知识在图 2 的锐角ABC 中，探
9、究 ， ， 之间的关系，并写出探asin A bsin B csin C究过程图 1 图 2【分析】三式相等，理由为：过 A 作 ADBC，过点 B 作 BEAC，在 RtABD 中，利用锐角三角函数定义表示出 AD，在 RtADC 中，利用锐角三角函数定义表示出 AD，两者相等即可得证【自主解答】4(2018山西中考)综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图 1，在矩形 ABCD 中，AD2AB，E 是 AB 延长线上一点，且 BEAB，连结 DE，交 BC 于点 M，以 DE 为一边在 DE 的左下方作正方形 DEFG，连结 AM.7试判断线段 AM 与 DE 的位
10、置关系探究展示：勤奋小组发现，AM 垂直平分 DE，并展示了如下的证明方法：证明：BEAB，AE2AB.AD2AB，ADAE.四边形 ABCD 是矩形，ADBC. .(依据 1)EMDM EBABBEAB， 1.EMDM.EMDM即 AM 是ADE 的 DE 边上的中线，又ADAE，AMDE.(依据 2)AM 垂直平分 DE.反思交流：(1)上述证明过程中的“依据 1”“依据 2”分别是指什么？试判断图 1 中的点 A 是否在线段 GF 的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；(2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图 2，连结 CE，以 CE 为一边在 CE 的左下方作正方形 CEF
11、G，发现点 G 在线段 BC 的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：(3)如图 3，连结 CE，以 CE 为一边在 CE 的右上方作正方形 CEFG，可以发现点 C，点 B 都在线段 AE 的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形 ABCD 和正方形 CEFG 的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明8参考答案类型一【例 1】 当 DG ，CG2 时，满足 DG2CG 2CD 2，此时 HG ，可得正方形 EFGH 的面积为13 13 1313.当 DG8，CG1 时，满足 DG2CG 2CD 2，此时 HG7，可得正方形 EFGH 的面积为 49
12、.当 DG7，CG4 时，此时 HG3，四边形 EFGH 的面积为 9.故答案为 9，13 和 49.变式训练1解：(1)ABC 是比例三角形，且 AB2，BC3，当 AB2BCAC 时，得 43AC，解得 AC ；43当 BC2ABAC 时，得 92AC，解得 AC ；92当 AC2ABBC 时，得 AC26，解得 AC (负值舍去)，6当 AC 或 或 时，ABC 是比例三角形43 92 6(2)ADBC，ACBCAD.又BACADC，ABCDCA， ，即 CA2BCAD.BCCA CAADADBC，ADBCBD.BD 平分ABC，ABDCBD，ADBABD，ABAD，CA 2BCAB，A
13、BC 是比例三角形(3)如图，过点 A 作 AHBD 于点 H.ABAD，BH BD.12ADBC，ADC90，BCD90，BHABCD90.又ABHDBC，ABHDBC，9 ，即 ABBCBHDB，ABDB BHBCABBC BD2.12又ABBCAC 2， BD2AC 2， .12 BDAC 2类型二【例 2】 (1)d 1.|30 40 5|32 42(2) ，|C1|2，2|11 10 C|2C12，C 13，C 21.变式训练2解：(1) (x3) ，y2y1 （ x 3） 2 9x 3 9x 3当 x3 时， 有最小值，9x 3 y2y1x0 或6(舍弃)时，有最小值 6.(2)设
14、该设备平均每天的租赁使用成本为 w 元，则 w490 200x 0.001x2x 0.001x200，490x当 0.001x 时，w 有最小值，490xx700 或700(舍弃)时，w 有最小值，最小值为 201.4 元类型三【例 3】 (1)MGNG MGNG如图，连结 BE，CD 相交于 H.ABD 和ACE 都是等腰直角三角形，ABAD，ACAE，BADCAE90，CADBAE，ACDAEB(SAS)，10CDBE，ADCABE，BDCDBHBDCABDABEBDCABDADCADBABD90，BHD90，CDBE.点 M，G 分别是 BD，BC 的中点，MG 綊 CD.同理 NG 綊
15、 BE，12 12MGNG，MGNG，MGNG，MGNG.(2)连结 CD，BE 相交于点 H，同(1)的方法得 MGNG，MGNG.(3)如图，连结 EB，DC，延长线相交于 H，同(1)的方法得 MGNG，同(1)的方法得ABEADC，AEBACD，CEHECHAEHAEC180ACDACEACD45180ACD4590，DHE90，同(1)的方法得 MGNG，GMN 是等腰直角三角形变式训练3解：问题背景：证明：ABC 为等边三角形，ABACBC，BACABCACB60.由题意得ABE30，EBF60，EBDFBD30.BDAD，BED60，BEF 为等边三角形迁移应用：PCPAPB.证
16、明：如图，在 PC 上截取 PGPB，连结 BG.11BPC60，BPG 为等边三角形，BGBP，PBG60，PBBG，PBAABGABGGBC60，PBAGBC.又 ABBC，APBCBG，PAGC，PCPGCGPBPA.拓展延伸：(1)如图，B，E 两点关于直线 AF 对称，FEFB.EBF60，BEF 是等边三角形(2)由(1)知，BEF 是等边三角形，如图，连结 AE，过点 A 作 AHDE 于点 H.B，E 两点关于直线 AF 对称，AEAB.四边形 ABCD 是菱形，ABAD，AEAD，DHHE DE3，12HFHEEF325.由(1)知，BEF 是等边三角形，FAEB，EFA E
17、FB30.12在 RtAHF 中，cosHFA ，HFAF 32AF .HFcos 30103 10 33类型四【例 4】 .理由如下：asin A bsin B csin C12如图，过 A 作 ADBC，过点 B 作 BEAC.在 RtABD 中，sin B ，ADc即 ADcsin B，在 RtADC 中，sin C ，ADb即 ADbsin C，csin Bbsin C，即 ，bsin B csin C同理可得 ，asin A csin C则 .asin A bsin B csin C变式训练4解：(1)依据 1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例)依
18、据 2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”)点 A 在线段 GF 的垂直平分线上(2)证明：如图，过点 G 作 GHBC 于点 H.四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 AB 的延长线上，CBEABCGHC90，BCEBEC90.四边形 CEFG 为正方形，CGCE，GCE90，BCEBCG90，BECBCG，GHCCBE，HCBE.13四边形 ABCD 是矩形，ADBC.AD2AB，BEAB，BC2BE2HC，HCBH，GH 垂直平分 BC，点 G 在 BC 的垂直平分线上(3)点 F 在 BC 边的垂直平分线上(或点 F 在 AD 边的垂直平分线上)证明：如图，过点 F 作 FMBC 于点 M，过点 E 作 ENFM 于点 N.BMNENMENF90.四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 AB 的延长线上，CBEABC90，四边形 BENM 为矩形BMEN，BEN90.1290.四边形 CEFG 为正方形，EFEC，CEF90，2390，13.CBEENF90，ENFEBC，NEBE，BMBE.四边形 ABCD 是矩形，ADBC.AD2AB，ABBE，BC2BM，BMMC，FM 垂直平分 BC，点 F 在 BC 边的垂直平分线上
