1、数学（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为 ，故选 A.2. 已知 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，故选 C.3. 如表是我国某城市在 2017 年 1 月份至 10 月份个月最低温与最高温（ ）的数据一览表月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10最高温5 9 9 11 17 24 27 30 31 21最低温已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的
2、是（ ）A. 最低温与最高位为正相关B. 每月最高温和最低温的平均值在前 8 个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在 1 月D. 1 月至 4 月的月温差（最高温减最低温）相对于 7 月至 10 月，波动性更大【答案】B【解析】月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10最高温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21最低温温差 17 12 8 13 10 7 8 7 6 11将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大，正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前 个月不是逐月增加， 错；由表格可知，月温差（最高温减最低温
3、）的最大值出现在 月， 正确；由表格可知 月至 月的月温差（最高温减最低温）相对于 月至 月，波动性更大， 正确，故选 .4. 已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ， ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，又 ， ，故选 A.5. 已知点 在双曲线 ： （ ， ）上， ， 分别为双曲线 的左、右顶点，离心率为 ，若 为等腰三角形，其顶角为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】不妨设点 在第一象限，因为 为等腰三角形，其顶角为 ，则 的坐标为，代入双曲线 的方程得 ，故选 D.6. 设 ， 满足约束条件 则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【
4、答案】A【解析】可行域为如图所示的 内部（包括边界） ， 表示经过原点 与可行域的点 连线的斜率，易求得 ，从而 ，故选 A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7. 某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何
5、体为放在正方体的四棱锥 ，如图，正方体的边长为 2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为 ，另两个侧面为直角三角形面积都为 ，可得这个几何体的表面积为 ，故选 C.8. 将曲线 ： 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 ： ，则 在 上的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】将曲线 ： 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度可得 ，令 ，得 ，再令 ，得 ，则 在 上的单调递增区间是，故选 B.9. 如图， 是正方体 的棱 上的一点（不与端点重合） ， 平面 ，
6、则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 ，如图， 平面 ，平面 平面为 的中点， 为 的中点， 正确，由异面直线的定义知 是异面直线，故 错；在矩形 中， 与 不垂直，故 错； 显然是错，故选 D.10. 执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ）A. 7 B. 10 C. 13 D. 16【答案】D【解析】 ，1 不是质数， ； ，4 不是质数， ； ，7是质数， ； ，10 不是质数， ； ，13 是质数， ，故输出的 .选 D.11. 函数 的部分图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 为奇函数，图象关于原点对称，排除 ；当时， ，排除 ；当
7、时， ，排除 ；故选 D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12. 已知函数 ，若有且只有两个整数 ， 使得 ，且，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可知， ，即 ， ，设，由 ，可知 ，在 上为减函数，在 上为增函数， 的图象恒过点 ，在同一坐标系中作出 的图象如下：若有且只有两个
8、整数 ，使得 ，且 ，则，即 ，解得 ，故选 C.【方法点睛】本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 设平面向量 与向量 互相垂直，且 ，若 ，则
9、_【答案】【解析】由平面向量 与向量 互相垂直可得 所以 ，又，故答案为 .【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量 的模（平方后需求 ）.14. 已知各项均为正数的等比数列 的公比为 ， ， ，则 _【答案】【解析】因为 为等比数列，所以 ，又因为各项均为正数，故答案为 2.15. 若 ， ，则 _【答案】【解析】 ，又 ，故 ，且，从而 ，故答案为 .16. 已知抛物线 ： 的
10、焦点为 ， ， 是抛物线 上的两个动点，若，则 的最大值为_【答案】【解析】由已知 ，得 的最大值为 ，故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，（1）求 大小；（2）求 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）利用 ，由二倍角的正弦公式可得 ，所以 ，即 ；（2）利用由正弦定理及余弦定理可得 ，即,再根据（1）利用余弦定理可得 ，两式结合即可得结果.试题解析：（1）因为 ， ，所以 ，所以 ，即 （2）由余弦定理得 ，又 ，所以 ，即 消去 得 ，方程
11、两边同除以 得 ，则 18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔唐三彩的生产至今已有 1300 多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的 100 件工艺品测得其重量（单位： ）数据，将数据分组如表：分组 频数 频率42628102合计 100（1）在答题卡上完成频率分布表；（2）以表中的频率作为概率，估计重量落在 中的概率及重量小于 2.45 的概率是多少？（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间 的中点值是2.25）作
12、为代表据此，估计这 100 个数据的平均值【答案】 （1）解析见分布表；（2） ；（3） .【解析】试题分析：（1）利用表格中数据，根据频数与频率的关系可完成成频率分布表；（2）利用互斥事件的概率公式可得重量落在 中的概率约为；（3）同一组数据常用该组区间的中点值与对应频率积求和，即可估计这 个数据的平均值.试题解析：（1）分组 频数 频率4 0.0426 0.2630 0.3028 0.2810 0.102 0.02合计 100 1.00（2）重量落在 中的概率约为 ，或 ，重量小于 2.45 的概率约为 （3）这 100 个数据的平均值约为19. 如图，四边形 是矩形， ， ， ， 平面
13、， （1）证明：平面 平面 ；（2）设 与 相交于点 ，点 在棱 上，且 ，求三棱锥 的体积【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）先证明 ，可得 ，再由线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理可得结论；（2）先证明为棱 的中点， 到平面的距离等于 ，利用相似三角形的性质可得 ，从而利用棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（1）证明：因为四边形 是矩形， ， ， ，所以 ， ，又 ，所以 ， 因为 ，所以 ，又 平面 ，所以 ，而 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 （2）解：因为 ， ，所以 又 ， ，所以 为棱 的中点， 到平面 的距离等于 由（1）知 ，所以
14、 ，所以 ，所以 20. 已知双曲线 的焦点是椭圆 ： （ ）的顶点， 为椭圆 的左焦点且椭圆 经过点 （1）求椭圆 的方程；（2）过椭圆 的右顶点 作斜率为 （ ）的直线交椭圆 于另一点 ，连结 并延长交椭圆 于点 ，当 的面积取得最大值时，求 的面积【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由双曲线 的焦点是椭圆 ： （ ）的顶点可得 再由椭圆 经过点 可得 ，从而可得求椭圆 的方程；（2）设直线 ：，联立 ： ，得 ，根据韦达定理及三角形面积公式将当 的面积用 表示，利用基本不等式等号成立的条件，可得当 的面积取得最大值时，求 的面积.试题解析：（1）由已知 得所以 的方程为
15、 （2）由已知结合（1）得， ， ，所以设直线 ： ，联立 ： ，得 ，得 ，（ ） ，当且仅当 ，即 时， 的面积取得最大值，所以 ，此时 ，所以直线 ： ，联立 ，解得 ，所以 ，点 到直线 ： 的距离为 ，所以 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.2
16、1. 已知函数 （1）若曲线 在 处的切线与 轴垂直，求 的最大值；（2）若对任意 ，都有 ，求 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由曲线 在 处的切线与 轴垂直，可得 ，再求出 的导函数 可得 在 上单调递减，所以（2） ，等价于函数在 上单调递减，即在 上恒成立，再利用导数研究函数的单调性，求出 的最大值即可的结果.试题解析：（1）由 ，得 ， ，令 ，则 ，可知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 （2）由题可知函数 在 上单调递减，从而 在 上恒成立，令 ，则 ，当 时， ，所以函数 在 上单调递减，则 ；当 时，令 ，得 ，所以函数 在 上单调递增
17、，在上单调递减，则 ，即，通过求函数 的导数可知它在 上单调递增，故 综上， ，即 的取值范围是 【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点 求斜率,即求该点处的导数 ；(2) 己知斜率 求切点参数，即解方程 ；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用 求解.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 的参数方程为 （ 为参数） （1
18、）将 ， 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为若 上的点 对应的参数为 ，点 在 上，点 为 的中点，求点 到直线 距离的最小值【答案】 （1） 表示以 为圆心，1 为半径的圆， 表示焦点在 轴上的椭圆；（2） .【解析】试题分析：（1）分别将曲线 、 的参数方程利用平方法消去参数，即可得到 ，的方程化为普通方程，进而得到它们分别表示什么曲线；（2） ，利用点到直线距离公式可得 到直线 的距离 ，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1） 的普通方程为 ，它表示以 为圆心，1 为半径的圆，的普通方程为 ，它表示中心在原点，焦点在 轴上的椭圆（2）由已知得 ，设 ，则 ，直线 ： ，点 到直线 的距离 ，所以 ，即 到 的距离的最小值为 选修 4-5：不等式选讲23. 已知 （1）证明： ；（2）若 ，求实数 的取值范围【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：(1)利用基本不等式求出 的最小值为 ，再利用二次函数配方法可证得结论；（2）分两种情况讨论，分别解关于 的不等式组，结合一元二次不等式的解法求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：（1）证明：因为 ，而 ，所以 （2）解：因为所以 或解得 ，所以 的取值范围是
