2012海淀高三二模文科数学试题及答案.doc

1、2012 海淀高三二模数学文科 第 1 页 共 8 页海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习 数 学（文科）2012.05一、选择题：本大 题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、函数 的值域是 21,2yxx=-+CPxy交于 两点，点 是坐标原点. 给出三个命题： ； 的面积为定值；ABOAB=OA曲线 上存在两点 ，使得 为等腰直角三角形其中真命题的个数是 C,MN（A） （B） （C） （D）开始 2x=-2输出结束是否输入 x主主主主主主主主主2012 海淀高三二模数学文科 第 2 页 共 8 页二、填

2、空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在题中横线上.9、复数 ，则 = . 31iz+z10、已知双曲线 的渐近线方程是 ，那么此双曲线的离心率为 . 来源:21xyab- 2yx=Z#xx#k.Com11、在 中，若 ， ， 的面积为 ，则 = . ABC20=6cABC93a12、在面积为 1 的正方形 内部随机取一点 ，则 的面积大于等于 的概率是_ABDP1413、某同学为研究函数 的性质，构造了如图所示的两个边长为 1 的22()1(1)01)fxx=+-正方形 和 ，点 是边 上的一个动点，设 ，ABCEFPCCx=则 . 请你参考这些信息，推知函数 的(

3、)Pfx+()f极值点是 ；函数 的值域是 . 14、已知定点 ，直线 （ 为常数）. 若点 到直线 的距离相等，(0,2),)MN-:20lkxy-+=k,MNl则实数 的值是 ；对于 上任意一点 ， 恒为锐角，则实数 的取值范围是 . klPMN三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15、 （本小题满分 13 分）已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ， ，且 成等比数列. nanS0d5346Sa=+139,a（）求数列 的通项公式； （）求数列 的前 项和公式 .1nS16、 （本小题满分 13 分）在一次“知识竞赛”活动中，有 四道题，其

4、中 为难度相同的容易题， 为中档题，12,ABC12,AB为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.C（）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；（）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.EFA BCDP2012 海淀高三二模数学文科 第 3 页 共 8 页17、 （本小题满分 14 分）在正方体 中, 棱 的中点分别是 , 如图所示ABCD,ABCD,EFGH（）求证： 平面 ；EFG（）求证： 平面 ；（）判断点 是否共面? 并说明理由.,H18、 （本小题满分 13 分）已知函数 （ ， ）.2()3xaf0aR（）求函数 的单调区间；（）当 时，若对任意

5、，有 成立，求实数 的最小值.1a12,)x12()fxfm19、 （本小题满分 13 分）已知椭圆 : 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上.C21(0)xyab(1,0)F2(1,)C（）求椭圆 的标准方程；（）已知点 ，动直线 过点 ，且直线 与椭圆 交于 ， 两点，证明： 为定值. 5(,0)4QlFlCABQAB20、 （本小题满分 14 分）将一个正整数 表示为 的形式，其中 ， ，且n12(*)paa+N *iaN1,2ip=，记所有这样的表示法的种数为 （如 4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故paa21 nf）.5)4(f（）写出 的值，并说明理由

6、；)5(,3f（）证明： （ ） ；1n+-1,2n=（）对任意正整数 ，比较 与 的大小，并给出证明)(f )2()nfNMHGFED CBAD CBA2012 海淀高三二模数学文科 第 4 页 共 8 页来源:Zxxk.Com海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文科）201205参考答案 一.选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D C A C A A C二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9、 ；10、 ；11） ；12、 ；13、 ， ；14、1或 ；2563125,2+31(,)(,)7-+注：（13）

7、 、 （14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 （本小题满分 13 分）解：（）因为 ，所以 . 3 分5346Sa=+1154(2)62daa=+因为 成等比数列，所以 . 5 分19, (8)由，及 可得： .6 分0d1,d所以 . 7 分2na=（）由 可知： .来源:学9 分2(2)nnS+=所以 . 11 分11()n-所以 121nSS-+ 11123nn=-+-+. 13 分=-所以 数列 的前 项和为 . 1nS1n+16、 （本小题满分 13 分）解：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取

8、一题，所有可能的结果有 16 个，它们是：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，1(,)A12(,)1(,)AB1(,)C21(,)A2(,)2(,)AB2(,)C1(,)A2(,)B(,)2012 海淀高三二模数学文科 第 5 页 共 8 页， ， ， ， ， . 3 分(,)BC1(,)A2(,)(,)CB(,)（）用 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同” ，则 包含的基本事件有： ， ，MM1(,)A12(,)， ， ， . 所以 .8 分21(,)2(,)(,)(,)63()=18P（）用 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度” ，则 包含的基本事件有： ，N N1(

9、,)B， ， ， . 所以 .13 分2(,)BA1(,)C2(,)A(,)CB5()6N17、 （本小题满分 14 分）（）证明：连接 .在正方体 中， ， .DADBC所以 四边形 是平行四边形.所以 .AB因为 分别是 的中点，,FG,C所以 .所以 . 2 分F因为 是异面直线，所以 平面 .,EAEFG因为 平面 ， 所以 平面 .4 分 D（）证明：连接 .BC在正方 体 中， 平面 ， 平面 ，ABCBCB所以 .在正方形 中， ，因为 平面 ， 平面 ，AA，B=所以 平面 . 6 分CAB因为 平面 ，所以 .7 分 C因为 ，所以 .FGFG同理可证： .E因为 平面 ，

10、平面 ， ，EF=所以 平面 . 9 分AC（）点 不共面. 理由如下： 10 分,DHF假设 共面. 连接 . ,CAH由（）知， ， AB因为 平面 ， 平面 . CDB所以 平面 . 12 分D因为 ，所以 平面 平面 .H HFCF因为 平面 ，所以 .A A所以 ，而 与 相交，矛盾.CFBBHGFED CBAD CBAHGFED CBAD CBAHGFED CBAD CBA2012 海淀高三二模数学文科 第 6 页 共 8 页所以 点 不共面. 14 分,ADHF18、 （本小题满分 13 分）解： .令 ，解得 或 . 2 分22()3)xaf()0fxxa3（）当 时， ， 随

11、着 的变化如下表0()ffx,3a3a(3,)aa(,)a()f 00x 极小值 极大值 函数 的单调递增区间是 ，函数 的单调递减区间是 ， .4 分()f (3,)a()fx(,3)a(,)当 时， ， 随着 的变化如下表0a()fxfxx,(,3)a(,)()f00x 极小值 极大值 函数 的单调递增区间是 ，函数 的单调递减区间是 ， . 6 分()f (,3)a()fx(,)a(3,)（）当 时，由（）得 是 上的增函数，是 上的减函数.1afx1(1,)又当 时， . 8 分x2()03f所以 在 上的最小值为 ，最大值为 .10 分f,()6f()2f所以 对任意 ， .12)x

12、12(13xf所以 对任意 ，使 恒成立的实数 的最小值为 .13 分,3,()fm319、 （本小题满分 13 分）（）解： 由题意知： . 根据椭圆的定义得： ，即 .3 分1c=222(1)()a=-+2a=所以 .所以 椭圆 的标准方程为 . 4 分2b-C2xy（）证明：当直线 的斜率为 0 时 ， .l(2,)(,0)AB则 .6 分557(2,)(441QAB2012 海淀高三二模数学文科 第 7 页 共 8 页当直线 的斜率不为 0 时，设直线 的方程为： ， .l l1xty=+()12,AxyB由 可得： . 显然 .21,xyt+= 2()0tt-9 分12,.tyt-=

13、+因为 ， ，1xy21xty=所以 1 2125(,)(,)()44ttyy-+212126tyty=+22146tt. 即 . 13 分27()tt-=-716QAB20、 （本小题满分 14 分）（）解：因为 3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以 3)(f因为 5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，所以 3 分7)5(f（）证明：因为 ，把 的一个表示法中 的 去掉，就可得到一个 的表示法；反之，21n1n1a=1n在 的一个表示法前面添加一个 “1+”，就得到一个 的表示法，即 的表示法中 的表示法种数等n +n1a=于 的表示法种数，所以 表示的是 的表示法中 的表示法数 .)(1(nff11a即 8 分)+-（）结论是 .)(f )2()2nf证明如下：由结论知，只需证 ).1()2(1nff由（）知： 表示的是 的表示法中 的表示法数， 是)(1(fnf1a )1()2(nff的表示法中 的表示法数2na考虑到 ，把一个 的 的表示法中的 加上 1，就可变为一个 的 的表示法，21np 1a2012 海淀高三二模数学文科 第 8 页 共 8 页这样就构造了从 的 的表示法到 的 的表示法的一个对应，所以有1an1a2n14 分).()2()(fffnf