1、第六章 圆,6.1 圆的有关性质,理解圆的有关概念,理解弧、弦、圆心角的概念,了解三角形的外心,掌握圆的性质、圆周角定理及其推论,理解圆内接四边形对角互补.,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,圆的有关概念与圆的对称性( 8年4考 ) 1.圆的有关概念 ( 1 )圆:圆是到定点的距离等于定长的点的集合;这个 定点 叫做圆心,这个 定长 叫做半径;圆心确定了圆的位置,半径确定了圆的大小. ( 2 )弧:圆上任意两点间的部分叫做弧;小于半圆的弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧. ( 3 )弦:连接圆上两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,直径是圆中最大的弦. ( 4 )圆心角:顶点在 圆心 的角叫
2、做圆心角. ( 5 )圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角. ( 6 )等圆:半径 相等 的圆叫做等圆. ( 7 )等弧:在同圆或等圆中,能够重合的弧叫做等弧. ( 8 )弦心距:圆心到弦的 距离 ,叫做弦心距.,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,2.圆的基本性质 ( 1 )同圆或等圆的半径 相等 . ( 2 )圆的直径等于同圆或等圆半径的 2 倍. ( 3 )圆既是中心对称图形,圆心是对称中心,也是轴对称图形,过圆心的每一条直线都是它的对称轴,还是旋转对称图形,绕圆心旋转任何一个角度都与原图形重合. 3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的
3、弧相等、所对的弦相等、所对弦的弦心距相等. 推论:在同圆或等圆中,圆心角相等,弦相等,弦的弦心距相等,弦所对的弧相等.如果以上四条中有一条成立,那么另外三条也成立.,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,4.垂径定理 ( 1 )垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ( 2 )垂径定理的推论: a.圆的两条平行弦所夹的弧相等. b.一条直线如果具有:经过圆心,垂直于弦,平分弦,平分弦所对的弧.这四条中有两条成立,则这条直线也满足其余的两条.,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,【答案】 D,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,【方法指导】 解
4、答与圆有关的计算问题 在解答与圆有关的计算问题时,垂径定理和勾股定理“形影不离”,常结合起来使用.一般地,求解时将已知条件集中在一个直角三角形中,这个直角三角形的斜边是圆的半径,一条直角边是弦心距,另一条直角边是弦的一半.如图,设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形高为h,则 +d2=r2,h=r-d,这两个等式是关于四个量r,a,d,h的一个方程组,只要已知其中任意两个量即可求出其余两个量.,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,提分训练 1.( 2018贵州安顺 )已知O的直径CD=10 cm,AB是O的弦,ABCD,垂足为M,且AB=8 cm,则AC的长为 ( ),C,考点扫描,考点1
5、,考点2,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,备课资料,2.( 2018广西玉林 )小华为了求出一个圆盘的半径,他用所学的知识,将一宽度为2 cm的刻度尺的一边与圆盘相切,另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16” ( 单位:cm ),请你帮小华算出圆盘的半径是 cm.,10,【解析】如图,记圆的圆心为O,连接OB,OC交AB于D点,OCAB,BD= AB,由图知AB=16-4=12 cm,CD=2 cm,BD=6 cm,设圆的半径为r,则OD=r-2,OB=r,在RtBOD中,根据勾股定理得OB2=BD2+OD2,r2=36+( r-2 )2,r=10 cm.,考点1,考点2,考
6、点扫描,备课资料,圆周角定理及其推论( 8年8考 ) 1.圆周角定理 ( 1 )圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 . ( 2 )圆周角定理的推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等. 半圆( 或直径 )所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径、所对的弧是半圆. 2.圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角 互补 ;圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角( 相邻的内角的对角 ).,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,温馨提示“圆的有关性质”常作的辅助线 ( 1 )有弦时,过圆心作弦的垂线段、过弦的一个端点作半径,这样由“弦的一半、
7、表示弦心距的垂线段、圆的半径”构成了直角三角形. ( 2 )有直径时,作出这条直径所对的圆周角,这个圆周角是直角;如果有圆周角是直角,作出它所对的弦,这条弦就是直径.,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,典例2 ( 2018陕西 )如图,ABC是O的内接三角形,AB=AC,BCA=65,作CDAB,并与O相交于点D,连接BD,则DBC的大小为 ( )A.15 B.35 C.25 D.45 【解析】AB=AC,BCA=65,CBA=BCA=65,A=50, CDAB,ACD=A=50,又ABD=ACD=50, DBC=CBA-ABD=15. 【答案】 A,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,【方
8、法指导】 ( 1 )解决与圆有关的角度的相关计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解,特别地,当有直径这一条件时,往往要用到直径所对的圆周角是直角这一性质. ( 2 )同圆的半径相等,有时还需要连接半径,用它来构造等腰三角形,有了等腰三角形,再利用等边对等角以及三线合一来进行证明和计算.,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,D,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,4.( 2018江苏扬州 )如图,已知O的半径为2,ABC内接于O,ACB=135,则AB= .,【解析】连接OA,OB,O的半径为2
9、,ABC内接于O,ACB=135, AOB=90,OA=OB=2,AB= .,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,典例3 如图,四边形ABCD为O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AOCD,垂足为E,连接BD,GBC=50,则DBC的度数为 ( ) A.50 B.60 C.80 D.85 【解析】由圆内接四边形的性质,得ADC=GBC=50. 又AOCD,DAE=40.延长AE交O于点F. 由垂径定理,得 ,DBC=2DAF=80. 【答案】 C 【方法指导】 有关圆周角、圆内接四边形的问题 题目中或图形中,有圆周角、圆内接四边形时,往往利用圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角、同弧
10、所对的圆周角相等,转移角,或利用圆内接四边形的对角互补、同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半,求角的度数.,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,B,A.45 B.50 C.55 D.60 【解析】四边形ABCD内接于O,ABC=105, ADC=180-ABC=180-105=75. ,BAC=25,DCE=BAC=25, E=ADC-DCE=75-25=50.,考点1,考点2,考点扫描,备课资料,【方法归纳】圆的基本性质应用歌 圆的问题不算难,常把半径直径连;有弦可作弦心距,它定垂直平分弦; 直径是圆最大弦,直圆周角立上边;直径垂直平分弦,垂径相似在心间; 圆周角、圆心角,细找关系把线连;
11、同弧圆周角相等,证题用它最多见.,考点扫描,备课资料,一、与垂径定理有关的辅助线 类型1 连半径构造直角三角形 求圆中的弦长时,通常连半径,由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解.,考点扫描,备课资料,典例1 ( 2018浙江衢州 )如图,AC是O的直径,弦BDAO于点E,连接BC,过点O作OFBC于点F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是 ( ),D,考点扫描,备课资料,类型2 作弦心距巧解题 已知弦长和圆的半径,常作弦心距,构造直角三角形,运用垂径定理和勾股定理求解是常用方法. 典例2 ( 2018湖北孝感 )已知O的半径为10 cm,AB,CD是O的两条弦
12、,ABCD, AB=16 cm,CD=12 cm,则弦AB和CD之间的距离是 cm. 【解析】分两种情况讨论:当弦AB和CD在圆心同侧时,如图1,AB=16 cm,CD=12 cm, AE=8 cm,CF=6 cm,OA=OC=10 cm,EO=6 cm,OF=8 cm,EF=OF-OE=2 cm;当弦AB和CD在圆心异侧时,如图2,AB=16 cm,CD=12 cm,AF=8 cm,CE=6 cm, OA=OC=10 cm,OF=6 cm,OE=8 cm,EF=OF+OE=14 cm.故弦AB与CD之间的距离为14 cm或2 cm.,2或14,考点扫描,备课资料,二、作直径,巧用直径所对的圆
13、周角是直角 典例3 如图,ACF内接于O,AB是O直径,弦CDAB于点E,若CD=BE=8,则sinAFC的值为 ( ),A,考点扫描,备课资料,三、与圆有关的动态问题 典例4 如图,AB是O的直径,弦BC=2 cm,F是弦BC的中点,ABC=60.若动点E以2 cm/s的速度从点A出发沿着ABA方向运动,设运动时间为t( s )( 0t4 ),连接EF,当t的值为 s时,BEF是直角三角形.,1或1.75或2.25或3,【解析】作FMAB于点M.AB是直径,ACB=90, BC=2 cm,B=60,AB=2BC=4( cm ),在RtFBM中, BF=CF=1 cm. . 当点E运动到与点O
14、或点M重合时,EFB是直角三角形, 当t的值为1或1.75或2.25或3 s时,BEF是直角三角形.,命题点1 垂径定理及其推论( 常考 ) 1.如图,O的两条弦AB,CD互相垂直,垂足为点E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则O的半径是 .,命题点2 圆周角定理及其推论( 常考 ) 2.如图,点P是等边三角形ABC外接圆O上的点,在以下判断中,不正确的是 ( ) A.当弦PB最长时,APC是等腰三角形 B.当APC是等腰三角形时,POAC C.当POAC时,ACP=30 D.当ACP=30时,BPC是直角三角形,C,3.如图,点A,B,C,D在O上,O点在D的内部,四边形OABC为平行
15、四边形,则OAD+OCD= .,60,【解析】根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半,所以AOC=2D,又因为四边形OABC是平行四边形,所以B=AOC,圆内接四边形对角互补,B+D=180,所以D=60,连接OD,则OA=OD,OD=OC,OAD=ODA,OCD=ODC,即有OAD+OCD=60.,4.( 2018安徽第20题 )如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5. ( 1 )用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧BC的交点E;( 保留作图痕迹,不写作法 ) ( 2 )若( 1 )中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.,5.如图,在O中,半径OC与弦AB垂直,垂足为E,以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F,D是CF的延长线与O的交点.若OE=4,OF=6,求O的半径和CD的长.,解:OC为小圆的直径, OFC=90,即OFCD. CF=DF. OEAB,OEF=OFC=90. 又FOE=COF, OEFOFC,
