1、三 排序不等式,1.基本概念 设有两个有序实数组:a1a2an,b1b2bn,c1,c2,cn是b1,b2,bn的任意一个排列.则 (1)顺序和为a1b1+a2b2+anbn; (2)乱序和为a1c1+a2c2+ancn; (3)反序和为a1bn+a2bn-1+anb1.,名师点拨对于给定的两组数,顺序和与反序和是唯一的,而乱序和不止一个.,做一做1 已知两组数:1,2,3和10,15,30,则顺序和等于 ,反序和等于 ,乱序和分别为 、 、 、 . 解析：顺序和等于110+215+330=130; 反序和等于130+215+310=90; 乱序和分别为110+230+315=115,115+
2、210+330=125,115+230+310=105,130+210+315=95. 答案：130 90 115 125 105 95,2.排序不等式(排序原理) 设a1a2an,b1b2bn为两组实数,c1,c2,cn是b1,b2,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+anb1a1c1+a2c2+ancna1b1+a2b2+anbn,当且仅当a1=a2=an或b1=b2=bn时,反序和等于顺序和.,名师点拨1.排序不等式(排序)是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的
3、“次序”,两种较为简单的是“顺与反”,而乱序和则是不按“常规”的顺序. 2.排序不等式中取等号的条件是a1=a2=an或b1=b2=bn,对于我们解决某些问题非常关键,它是命题成立的一种条件,因此要牢记.,做一做2 已知两组数1,2,3和25,30,45.若c1,c2,c3是25,30,45的一个排列,则c1+2c2+3c3的最大值是 ,最小值是 . 解析：c1+2c2+3c3的最大值应该是顺序和125+230+345=220,最小值则为反序和145+230+325=180. 答案：220 180,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)对于给定的两组
4、数,顺序和、反序和与乱序和都是唯一的. ( ) (2)对于任意给定的两组数,反序和不大于顺序和. ( ) (3)设a1,a2,a3是1,2,3的一个排序,则a1+2a2+3a3的最大值是14. ( ) (4)若a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则 的最大值是4. ( ),探究一,探究二,利用排序不等式证明不等式 【例1】 设a1,a2,an是1,2,n的一个排列,分析：构造数组,利用排序不等式证明.,探究一,探究二,反思感悟当所证不等式中涉及的变量已经给出大小关系时,可以根据待证不等式各部分的结构特点,构造数组,从而可以将待证不等式中的各部分视作是给定数组的顺序和、反序和或乱序
5、和,从而借助排序不等式证得结论.,探究一,探究二,变式训练1 设x,y,z为正数,探究一,探究二,【例2】 已知a,b,c0,分析：由于所要证的不等式中a,b,c的“地位”是对称的,因此可以先设出a,b,c的大小.,探究一,探究二,反思感悟当所证不等式中涉及的变量没有给出大小关系,并且所证不等式与这些变量的大小关系无关时,通常可以先限定或假设出这些变量之间的大小顺序,再将待证不等式中的各部分视作是给定数组的顺序和、反序和或乱序和,从而借助排序不等式证得结论.,探究一,探究二,探究一,探究二,利用排序不等式求最值 【例3】 若a,b,c0,分析：利用排序不等式求解最小值关键是首先找出两组有序数组
6、,然后根据反序和乱序和顺序和求解最小值.,探究一,探究二,反思感悟利用排序不等式求最值的方法 利用排序不等式求最值时,先要对求解不等式及已知条件仔细分析,观察不等式的结构,明确两个数组的大小顺序,分清顺序和、乱序和及反序和.由于乱序和是不确定的,根据需要写出其中的一个即可.一般最值是顺序和或反序和.,探究一,探究二,变式训练3 若a1,a2,a30,且a1+a2+a3=1,1 2 3 4 5,1.已知两组数a1a2a3a4a5,b1b2b3b4b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将bi(i=1,2,3,4,5)重新
7、排列后记为c1,c2,c3,c4,c5,则a1c1+a2c2+a3c3+a4c4+a5c5的最大值与最小值分别为( ) A.132,6 B.304,212 C.22,6 D.21,36 解析：顺序和最大,所以最大值为a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=304;反序和最小,所以最小值为a1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1=212. 答案：B,1 2 3 4 5,2.设a1,a2,an都是正数,b1,b2,bn是a1,a2,an的任意一个排列,则的最小值为( ) A.1 B.n C.n2 D.无法确定,答案：B,1 2 3 4 5,3.某班学生要开联欢会,需要购买价格不同的礼品4件、5件及2件,现选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品,则购买最少和最多花的钱数分别为( ) A.19元,24元 B.19元,20元 C.19元,25元 D.25元,27元 解析：由排序不等式可知,最少为23+42+51=19(元),最多为21+42+53=25(元). 答案：C,1 2 3 4 5,4.设ab0,则a3+b3与a2b+ab2的大小关系是 . 解析：因为ab0,所以a2b20,于是顺序和aa2+bb2=a3+b3,反序和为a2b+ab2,由排序不等式可得a3+b3a2b+ab2. 答案：a3+b3a2b+ab2,1 2 3 4 5,
