1、材料力学总复习,强 度 计 算,问 题,内容,对象,构 件,基 本 变 形,组 合 变 形,轴向拉压,剪切,扭转,弯曲,拉压弯,偏心拉压,斜弯曲,弯扭组合,内力 计算,内力图,应力计算,强度计算,同基本变形,无,无,无,刚度计算,压杆稳定,压杆分类,稳定计算,临界力计算,临界应力计算,外力 分析,结 束,一、轴向拉伸与压缩总结,一、轴向拉伸与压缩总结,2.材料拉伸与压缩时的力学性能,1. 等截面拉(压)杆横截面上正应力,斜截面上的总应力：,正应力：,切应力：,3.轴向拉伸、压缩时的变形：,5.轴向拉伸、压缩的静不定问题,6.剪切和挤压的实用计算,4.拉伸与压缩时的强度条件：,拉伸与压缩时的强度
2、条件：,最大工作应力 材料极限应力,塑性材料,脆性材料,强度条件：,n1 安全因数,许用应力,强度校核,设计截面尺寸,确定许用荷载,满足安全,否则危险,FN1=10kN （拉力）FN2=50kN （拉力） FN3= - 5kN （压力）FN4=20kN （拉力）,发生在BC段内任一横截面上,例题 1 一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图.,例题2 一横截面为正方形的砖柱分上、下 两段,其受力情况、各段长度及横截面面积 如图所示.已知F = 50kN， 试求荷载引起的最大工作应力.,解：（1）作轴力图,（2） 求应力,结论： 在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力.,例题3 图示为一变截面
3、圆杆ABCD.已知F1=20kN，F2=35kN F3=35kN. l1=l3=300mm，l2=400mm， d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm. 试求：,（1） -、-、III-III截面的轴力并作轴力图,（2） 杆的最大正应力max,（3） B截面的位移及AD杆的变形,（2） 杆的最大正应力max,AB段,DC段,BC段,max = 176.8MPa 发生在AB段.,（3） B截面的位移及AD杆的变形,二、扭转变形,Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.,2. 的计算(Calculation of max),r,O,T,dA,dA,二、扭转变形时切应力：,1. 数
4、学表达式(Mathematical formula),扭转强度条件 (Strength Condition),1.圆轴扭转时的变形是用相对扭转角来度量的,扭转变形 (Torsional deformation),其中 d 代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角.,长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算,3.刚度条件（Stiffness condition),2.单位长度扭转角(Angle of twist per unit length),扭转角 GIp 称作抗扭刚度,称作许可单位长度扭转角 (Allowable angle of twist per unit length)
5、,A,B,C,解：作轴的扭矩图,MeA,MeB,MeC,分别校核两段轴的强度,例题1 图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC 段的直径 d2=100mm.扭转力偶矩为MA = 22 kNm, MB = 36 kNm ,MC =14 kNm. 已知材料的许用切应力 = 80MPa,试校核该轴的强度.,因此,该轴满足强度要求.,例题2 图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性 模量G=80GPa，DB=1. 试求： （1） AD杆的最大切应力; （2）扭转角 CA,解：画扭矩图,计算外力偶矩Me, DB= CB+ DC=1,Tmax= 3Me,（1）AD杆的最大切
6、应力,（2）扭转角 CA,三、梁弯曲变形,最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.,则公式改写为,三、梁弯曲时横截面上正应力的计算公式:,例题1 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. 铸铁的许用拉应力为 t = 30MPa ，许用压应力为c =160MPa. 已知截面对形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁的强度.,解：,最大正弯矩在截面C上,最大负弯矩在截面B上,B截面,C截面,四、应力状态及强度理论,最大正应力的方位,1.最大正应力及方位,（1）当x y 时,0 是x与max之间的夹角,（2）当xy 时,0 是x与min之间的夹角,（3）当x=y 时
7、,0 =45,主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来,则确定主应力方向的具体规则如下,若约定 | 0 | 45即0 取值在45范围内,最大切应力及方位,1.最大切应力的方位,令,相当应力（Equivalent stress）,把各种强度理论的强度条件写成统一形式,r 称为复杂应力状态的相当应力.,莫尔强度理论,例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.,S平面,例题 2 画出如图所示梁危险截面危险点的应力状态单元体,y,x,z,例题3 简支梁如图所示.已知 m-m 截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为 =-70MPa, =50MPa.确定A点的主应力及主平面的方位.,解：,把从A
8、点处截取的单元体放大如图,因为 x y ，所以 0= 27.5与min对应,例题4 图示单元体,已知 x =-40MPa,y =60MPa,xy=-50MPa.试求e-f截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.,解:（1）求 e-f 截面上的应力,（2） 求主应力和主单元体的方位,因为x y,所以0= -22.5与min对应,解: （1）求主平面方位,因为 x = y,且 x 0,例题5 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.,xy,所以0=-45与max 对应,（2）求主应力,1 = ,2 = 0 , 3 = - ,例题6 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, x = -1MPa ,
9、 y = - 0.4MPa , xy= - 0.2MPa , yx = 0.2MPa ,（1）绘出相应的应力圆,（2）确定此单元体在 =30和 =-40两斜面上的应力.,解: （1） 画应力圆,量取OA= x= - 1 , AD = xy= - 0.2,定出 D点;,OB =y= - 0.4和， BD = yx= 0.2 , 定出 D点.,以DD为直径绘出的圆即为应力圆.,将半径 CD 逆时针转动 2 = 60到半径 CE, E 点的坐标就代表 = 30斜截面上的应力。,（2）确定 = 30斜截面上的应力,（3）确定 = - 40斜截面上的应力,将半径 CD顺时针转 2 = 80到半径 CF,
10、 F 点的坐标就代表 = - 40斜截面上的应力.,例题7 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示,梁的横截面尺寸示于图中.试绘出截面C上a , b两点处的应力圆,并用应力圆求出这两点处的主应力.,解:（1）首先计算支反力, 并作出梁的剪力图和弯矩图,Mmax = MC = 80 kNm,FSmax =FC左 = 200 kN,（2）横截面 C上a 点的应力为,a点的单元体如图所示,由 x , xy 定出D 点,由y , yx 定出D点,以DD为直径作应力圆,O,（3）作应力圆,x =122.5MPa, xy =64.6MPa,y=0, xy =-64.6MPa,A1,A2 两点的横坐标分别代
11、 表 a 点的两个主应力1 和3,A1 点对应于单元体上 1所在的主平面,（4）横截面 C上b点的应力,b点的单元体如图所示,b 点的三个主应力为,1所在的主平面就是 x 平面, 即梁的横截面C,例题8 单元体的应力如图所示,作应力圆, 并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位.,解: 该单元体有一个已知主应力,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z 无关, 依据 x截面和y 截面上的应力画出应力圆. 求另外两个主应力,由 x , xy 定出 D 点,由 y , yx 定出 D 点,以 DD为直径作应力圆,A1,A2 两点的横坐标分别代表另外两个主应力 1 和 3,O, 1 =46MPa
12、, 3 =-26MPa,该单元体的三个主应力, 1 =46MPa, 2 =20MPa, 3 =-26MPa,根据上述主应力，作出三个应力圆,例题10 一直径 d =20mm的实心圆轴,在轴的的两端加扭矩Me=126Nm. 在轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成 -45方向的应变 =5.010-4 ,试求此圆轴材料的剪切弹性模量G.,Me,Me,A,45,x,解:围绕A点取一单元体,组合变形,拉伸正应力,最大弯曲正应力,杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为,计算危险点的应力（Calculating stress of the danger point）,F2,F2,l/2,l/2,压杆稳定,
13、2.其它支座条件下的欧拉公式(Eulers Formula for Other End Conditions),长度因数,相当长度,l,两端铰支,一端固定，另一端铰支,两端固定,一端固定，另一端自由,表9-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式, = 1, = 0.7, = 0.5, = 2,欧拉公式 的统一形式(General Euler Buckling Load Formula),（ 为压杆的长度因数）,（ 为压杆的长度因数）,1. 欧拉公式 的统一形式(General Euler Buckling Load Formula), l 为相当长度,2. 欧拉公式临界应力 (E
14、ulers critical stress),i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径.,则,则,令,令,二、 欧拉公式的应用范围(Applicable range for Eulers formula),只有在 cr p 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界压力 Fcr（临界应力 cr ）.,或,令,即l 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围.,当 1 但大于某一数值 2的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式.,1 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢， 可取 E=206GPa，p=200MPa，得,三. 常用的经验公式 ( The experimental f
15、ormula),式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.,2 是对应 直线公式的最低线.,直线公式,的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.,或,令,四、压杆的分类及临界应力总图(Classification of Columns and the Diagram of critical stress cr versus slenderness ratio ),1.压杆的分类（Classification of Columns ）,（1）大柔度杆（Long columns）,（2）中柔度杆（Intermediate columns ）,（3）小柔度杆（Short columns）,2.临界
16、应力总图,例题3 压杆截面如图所示. 两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴失 稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支. 已知，杆长 l=1m ，材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa. 求压杆的临界 应力.,解：,因为 z y ，所以压杆绕 z 轴先失稳，且 z =115 1，用欧拉公式计算临界力.,例题3 外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰支，材料为 Q235钢，承受轴向压力 F. 试求,（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；,（2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界应力.,已知： E = 200 GPa， p= 200 MPa ， s = 240 MPa ，用直 线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa.,解：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度,压杆 = 1,（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?,用直线公式计算,
