1、专题突破练 13 求数列的通项及前 n 项和1.(2018 江西南昌三模,文 17)已知数列a n的各项均为正数,且 -2nan-(2n+1)=0,nN *.(1)求数列a n的通项公式;(2)若 bn=2nan,求数列b n的前 n 项和 Tn.2.已知a n为公差不为零的等差数列,其中 a1,a2,a5 成等比数列 ,a3+a4=12.(1)求数列a n的通项公式;(2)记 bn= ,设b n的前 n 项和为 Sn,求最小的正整数 n,使得 Sn .3.(2018 山西太原三模,17)已知数列a n满足 a1= ,an+1= .(1)证明数列 是等差数列,并求a n的通项公式;(2)若数列
2、b n满足 bn= ,求数列 bn的前 n 项和 Sn.4.(2018 山东师大附中一模,文 17)已知等差数列a n是递增数列,且满足 a4a7=15,a3+a8=8.(1)求数列a n的通项公式;(2)令 bn= (n2),b 1= ,求数列 bn的前 n 项和 Sn.5.已知数列a n满足 a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(nN *).(1)证明:数列a n+1-an是等比数列;(2)求数列a n的通项公式和前 n 项和 Sn.6.已知等差数列a n满足:a n+1an,a1=1,该数列的前三项分别加上 1,1,3 后成等比数列,an+2log2bn=-1.(1)求数列a
3、 n,bn的通项公式;(2)求数列a nbn的前 n 项和 Tn.7.(2018 宁夏银川一中一模,理 17)设 Sn为数列a n的前 n 项和,已知 an0, +2an=4Sn+3.(1)求a n的通项公式:(2)设 bn= ,求数列b n的前 n 项和.8.设 Sn是数列a n的前 n 项和,a n0,且 4Sn=an(an+2).(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn= ,Tn=b1+b2+bn,求证:T n1 008,故所求的 n=1 009.3.(1)证明 an+1= , =2, 是等差数列, +(n-1)2=2+2n-2=2n,即 an= .(2)解 bn= , Sn=b1+
4、b2+bn=1+ + ,则 Sn= + ,两式相减得 Sn=1+ + =2 , Sn=4- .4.解 (1)解得 d= , an=1+ (n-1)= n+ .(2)bn= (n2),b 1= 满足上式, bn的通项公式为 bn= .Sn= +.5.(1)证明 an+2=3an+1-2an(nN *), an+2-an+1=2(an+1-an)(nN *), =2. a1=1,a2=3, 数列 an+1-an是以 a2-a1=2 为首项,公比为 2 的等比数列.(2)解 由(1)得,a n+1-an=2n(nN *), an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2n
5、-1+2n-2+2+1=2n-1,(nN *).Sn=(2-1)+(22-1)+(23-1)+(2n-1)=(2+22+23+2n)-n= -n=2n+1-2-n.6.解 (1)设等差数列a n的公差为 d,且 d0,由 a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3 后成等比数列,得(2+d) 2=2(4+2d),解得 d=2, an=1+(n-1)2=2n-1. an+2log2bn=-1, log2bn=-n,即 bn= .(2)由(1)得 anbn= .Tn= + ,Tn= + , - ,得 Tn= +2 + . Tn=1+ =3- =3- .7.解 (1)由 +2an=4
6、Sn+3,可知 +2an+1=4Sn+1+3.两式相减,得 +2(an+1-an)=4an+1,即 2(an+1+an)= =(an+1+an)(an+1-an). an0, an+1-an=2. +2a1=4a1+3, a1=-1(舍)或 a1=3.则a n是首项为 3,公差 d=2 的等差数列, an的通项公式 an=3+2(n-1)=2n+1.(2) an=2n+1, bn= , 数列 bn的前 n 项和 Tn= +.8.(1)解 4Sn=an(an+2),当 n=1 时,4a 1= +2a1,即 a1=2.当 n2 时,4S n-1=an-1(an-1+2).由 - 得 4an= +2an-2an-1,即 2(an+an-1)=(an+an-1)(an-an-1). an0, an-an-1=2, an=2+2(n-1)=2n.(2)证明 bn= , Tn=b1+b2+bn= 1- + 1- .
