1、12014 高中数学解直角三角形一解答题（共 28 小题）1 （2014山东） ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知a=3，cosA= ，B=A+ （）求 b 的值；（）求ABC 的面积2 （2014东城区一模）设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且（）求 的值；（）求 tan（AB）的最大值3 （2014浙江）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知ab，c= ，cos 2Acos2B= sinAcosA sinBcosB（）求角 C 的大小；（）若 sinA= ，求ABC 的面积4 （2014安徽）设 ABC 的内角为
2、 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c，且b=3，c=1，A=2B（）求 a 的值；（）求 sin（A+ ）的值5 （2014天津）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ac= b，sinB= sinC，（）求 cosA 的值；（）求 cos（2A ）的值6 （2014广东）在 ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则 = _ 7 （2014广西） ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA= ，求 B28 （2014辽宁）在 ABC 中，内角 A、B、C
3、的对边分别为 a，b，c，且 ac，已知 =2，cosB= ，b=3 ，求：（）a 和 c 的值；（）cos（BC ）的值9 （2014陕西） ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c（）若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin （A+C） ；（）若 a，b，c 成等比数列，求 cosB 的最小值10 （2014重庆）在 ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a+b+c=8（）若 a=2，b= ，求 cosC 的值；（）若 sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC，且 ABC 的面积 S= sinC，求 a 和 b 的值1
4、1 （2014陕西） ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c（）若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin （A+C） ；（）若 a，b，c 成等比数列，且 c=2a，求 cosB 的值12 （2014北京）如图，在 ABC 中，B= ，AB=8，点 D 在边 BC 上，且CD=2，cos ADC= （1）求 sinBAD；（2）求 BD，AC 的长13 （2014安徽）设 ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且 b=3，c=1，ABC 的面积为 ，求 cosA 与 a 的值14 （2014湖南）如图，在平面四边形 ABCD 中，DAA
5、B，DE=1，EC= ，EA=2，ADC= ，BEC= （）求 sinCED 的值；3（）求 BE 的长15 （2014河东区二模）在 ABC 中， ， （）求 sinA 的值；（）设ABC 的面积 ，求 BC 的长16 （2014湖南）如图，在平面四边形 ABCD 中，AD=1，CD=2，AC= （）求 cosCAD 的值；（）若 cosBAD= ，sinCBA= ，求 BC 的长17 （2013浙江）在锐角 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2asinB= b（）求角 A 的大小；（）若 a=6，b+c=8，求ABC 的面积18 （2013北京）在 ABC 中， a
6、=3，b=2 ，B=2A（）求 cosA 的值；（）求 c 的值19 （2013湖北）在 ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（）求角 A 的大小；（）若ABC 的面积 S=5 ，b=5，求 sinBsinC 的值20 （2013山东）设 ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 a+c=6，b=2，（1）求 a，c 的值；4（2）求 sin（A B）的值21 （2013江西）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cosC+（cosAsinA）cosB=0 （1）求角 B 的大小；（2）若 a+
7、c=1，求 b 的取值范围22 （2013重庆）在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且a2=b2+c2+ bc（）求 A；（）设 a= ，S 为ABC 的面积，求 S+3cosBcosC 的最大值，并指出此时 B 的最值23 （2013江西）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1（1）求证：a，b，c 成等差数列；（2）若 C= ，求 的值24 （2013天津）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c已知bsinA=3csinB，a=3， （） 求 b 的值；（） 求 的值25
8、 （2013重庆）在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且a2+b2+ ab=c2（1）求 C；（2）设 cosAcosB= ， = ，求 tan 的值26 （2012安徽）设 ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC（）求角 A 的大小；（）若 b=2，c=1，D 为 BC 的中点，求 AD 的长27 （2012北京模拟）设 ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，且acosB=3，bsinA=4（）求边长 a；（）若ABC 的面积 S=10，求 ABC 的周长 l528 （2
9、012江西） ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 3cos（B C）1=6cosBcosC（1）求 cosA；（2）若 a=3，ABC 的面积为 ，求 b，c 62014 高中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共 28 小题）1 （2014山东） ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知a=3，cosA= ，B=A+ （）求 b 的值；（）求ABC 的面积考点： 正弦定理菁优网版权所有专题： 解三角形分析： （）利用 cosA 求得 sinA，进而利用 A 和 B 的关系求得 sinB，最后利用正弦定理求得 b 的值（）利用 sinB，求得 cosB
10、的值，进而根两角和公式求得 sinC 的值，最后利用三角形面积公式求得答案解答： 解：（）cosA= ，sinA= = ，B=A+ sinB=sin（A+ ）=cosA= ，由正弦定理知 = ，b= sinB= =3 （）sinB= ，B=A+ cosB= = ，sinC=sin（AB）=sin （A+B）=sinAcosB+cosAsinB= （ ）+ = ，S= absinC= 33 = 点评： 本题主要考查了正弦定理的应用解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用72 （2014东城区一模）设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，
11、c，且（）求 的值；（）求 tan（AB）的最大值考点： 正弦定理；两角和与差的正切函数菁优网版权所有分析： 本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，（）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中 ，进行转化得到 sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求 的值（）由（）的结论，结合角 A，B，C 为 ABC 的内角，我们易得tanA=4tanB0 ，则 tan（A B）可化为 ，再结合基本不等式即可得到tan（AB）的最大值解答： 解：（）在ABC 中， ，由正弦定理得即 sinAcosB=4cosAsinB，则 ；（）由 得tanA=4tanB0当且仅当 时，等号成
12、立，故当 时，tan（AB）的最大值为 点评： 在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式83 （2014浙江）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知ab，c= ，cos 2Acos2B= sinAcosA sinBcosB（）求角 C 的大小；（）若 sinA= ，求ABC 的面积考点： 正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦菁优网版权所有专题： 解三角形分析： （）ABC 中，由条件利用二倍角公式化简可得 2sin（A+B）sin（A B）=2 cos（A+B）sin（A B） 求得 tan（
13、A+B）的值，可得 A+B 的值，从而求得 C 的值（）由 sinA= 求得 cosA 的值再由正弦定理求得 a，再求得 sinB=sin（A+B ）A的值，从而求得ABC 的面积为 的值解答： 解：（）ABC 中，a b， c= ，cos 2Acos2B= sinAcosA sinBcosB， = sin2A sin2B，即 cos2Acos2B= sin2A sin2B，即 2sin（A+B）sin（AB）=2 cos（A+B）sin（AB ） ab， AB， sin（AB）0，tan（A+B）= ， A+B= ，C= （）sinA= ，C= ，A ，或 A （舍去） ，cosA= = 由
14、正弦定理可得， = ，即 = ， a= sinB=sin（A+B）A=sin（A+B）cosA cos（A+B）sinA= （ ） =，9ABC 的面积为 = = 点评： 本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题4 （2014安徽）设 ABC 的内角为 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c，且b=3，c=1，A=2B（）求 a 的值；（）求 sin（A+ ）的值考点： 正弦定理；两角和与差的正弦函数菁优网版权所有专题： 综合题；三角函数的求值分析： （）利用正弦定理，可得 a=6cosB，再利用余弦定理，即可求 a 的值；（）求出 sinA，cosA，即可求
15、sin（A+ ）的值解答： 解：（）A=2B， ，b=3 ，a=6cosB，a=6 ，a=2 ；（）a=6cosB，cosB= ，sinB= ，sinA=sin2B= ，cosA=cos2B=2cos 2B1= ，sin（A+ ）= （sinA+cosA）= 点评： 本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题5 （2014天津）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ac= b，sinB= sinC，（）求 cosA 的值；（）求 cos（2A ）的值10考点： 正弦定理；两角和与差的余弦函数菁优网版权所有专题： 三角函数的求值分析
16、： （）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出 a，利用余弦定理表示出 cosA，将表示出的 a，b 代入计算，即可求出 cosA 的值；（）由 cosA 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出 sin2A 与 cos2A 的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值解答： 解：（）将 sinB= sinC，利用正弦定理化简得：b= c，代入 ac= b，得：a c=c，即 a=2c，cosA= = = ；（）cosA= ，A 为三角形内角，sinA= = ，cos2A=2co
17、s2A1= ，sin2A=2sinAcosA= ，则 cos（2A ）=cos2Acos +sin2Asin = + = 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键6 （2014广东）在 ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则 = 2 考点： 正弦定理菁优网版权所有专题： 三角函数的求值分析： 已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果解答： 解：将 bcosC+ccosB
18、=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB ，即 sin（B+C）=2sinB，sin（B+C ）=sinA，sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则 =2故答案为：211点评： 此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键7 （2014广西） ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA= ，求 B考点： 正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用菁优网版权所有专题： 解三角形分析： 由 3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得 3sinAcosC=2sinC
19、cosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得 tanC，利用 tanB=tan（A+B ）=tan（A+B）即可得出解答： 解： 3acosC=2ccosA，由正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA，3tanA=2tanC，tanA= ，2tanC=3 =1，解得 tanC= tanB=tan（A+C ） =tan（A+C ）= = =1，B（0，） ，B=点评： 本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题8 （2014辽宁）在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，且
20、 ac，已知 =2，cosB= ，b=3 ，求：（）a 和 c 的值；（）cos（BC ）的值考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数菁优网版权所有专题： 三角函数的求值12分析： （）利用平面向量的数量积运算法则化简 =2，将 cosB 的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将 b，cosB 以及 ac 的值代入得到 a2+c2=13，联立即可求出 ac 的值；（）由 cosB 的值，利用同角三角函数间基本关系求出 sinB 的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出 sinC 的值，进而求出 cosC 的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代
21、入计算即可求出值解答： 解：（） =2，cosB= ，cacosB=2，即 ac=6，b=3，由余弦定理得：b 2=a2+c22accosB，即 9=a2+c24，a2+c2=13，联立得：a=3，c=2；（）在ABC 中，sinB= = = ，由正弦定理 = 得：sinC= sinB= = ，a=b c， C 为锐角，cosC= = = ，则 cos（BC） =cosBcosC+sinBsinC= + = 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键9 （2014陕西） ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，
22、c（）若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin （A+C） ；（）若 a，b，c 成等比数列，求 cosB 的最小值考点： 余弦定理；正弦定理菁优网版权所有专题： 三角函数的求值分析： （）由 a，b，c 成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（）由 a，bc 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出 cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出 cosB 的最小值解答： 解：（）a，b，c 成等差数列，2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，13sinB=s
23、in（A+C ）=sin （A+C） ，sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C） ；（）a，b，c 成等比数列，b2=ac，cosB= = = ，当且仅当 a=c 时等号成立，cosB 的最小值为 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键10 （2014重庆）在 ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a+b+c=8（）若 a=2，b= ，求 cosC 的值；（）若 sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC，且 ABC 的面积 S= sinC，求 a 和 b 的值考点： 余弦定理；正弦定理
24、菁优网版权所有专题： 三角函数的求值分析： （）由 a+b+c=8，根据 a=2，b= 求出 c 的长，利用余弦定理表示出 cosC，将三边长代入求出 cosC 的值即可；（）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到 a+b=3c，与 a+b+c=8 联立求出a+b 的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入 S= sinC 求出 ab 的值，联立即可求出 a 与 b 的值解答： 解：（）a=2，b= ，且 a+b+c=8，c=8（a+b）= ，由余弦定理得：cosC= = = ；（）由 sinAcos2 +sinBcos2
25、 =2sinC 可得：sinA +sinB =2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，14sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，a+b+c=8，a+b=6，S= absinC= sinC，ab=9，联立解得：a=b=3点评： 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键11 （2014陕西） ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c（）若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin （A+C
26、） ；（）若 a，b，c 成等比数列，且 c=2a，求 cosB 的值考点： 余弦定理；等差数列的通项公式；等差关系的确定菁优网版权所有专题： 三角函数的求值分析： （）由 a，b，c 成等差数列，利用等差数列的性质得到 a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；（）由 a，b，c 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将 c=2a 代入表示出 b，利用余弦定理表示出 cosB，将三边长代入即可求出 cosB 的值解答： 解：（）a，b，c 成等差数列，a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，sinB=sin（A+C ）=sin （A+C） ，则 sinA+s
27、inC=2sin（A+C） ；（）a，b，c 成等比数列，b2=ac，将 c=2a 代入得： b2=2a2，即 b= a，由余弦定理得：cosB= = = 点评： 此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键12 （2014北京）如图，在 ABC 中，B= ，AB=8，点 D 在边 BC 上，且CD=2，cos ADC= （1）求 sinBAD；（2）求 BD，AC 的长15考点： 余弦定理的应用菁优网版权所有专题： 解三角形分析： 根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论解答： 解：（1）在ABC 中，cos ADC= ，sinADC= = =
28、 ，则 sinBAD=sin（ ADCB）=sinADC cosBcosADCsinB= =（2）在ABD 中，由正弦定理得 BD= = ，在ABC 中，由余弦定理得 AC2=AB2+CB22ABBCcosB=82+5228 =49，即 AC=7点评： 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大13 （2014安徽）设 ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且 b=3，c=1，ABC 的面积为 ，求 cosA 与 a 的值考点： 余弦定理的应用菁优网版权所有专题： 计算题；解三角形分析： 利用三角形的面积公式，求出 sinA= ，利用平
29、方关系，求出 cosA，利用余弦定理求出 a 的值解答： 解： b=3，c=1，ABC 的面积为 ，16 = ，sinA= ，又 sin2A+cos2A=1cosA= ，由余弦定理可得 a= =2 或 2 点评： 本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题14 （2014湖南）如图，在平面四边形 ABCD 中，DAAB，DE=1，EC= ，EA=2，ADC= ，BEC= （）求 sinCED 的值；（）求 BE 的长考点： 余弦定理的应用；正弦定理菁优网版权所有专题： 解三角形分析： （）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论（）利用两角和的余弦公
30、式，结合正弦定理即可得到结论解答： 解：（）设 =CED，在CDE 中，由余弦定理得 EC2=CD2+ED22CDDEcosCDE，即 7=CD2+1+CD，则 CD2+CD6=0，解得 CD=2 或 CD=3， （舍去） ，在CDE 中，由正弦定理得 ，则 sin= ，即 sinCED= （）由题设知 0 ，由（ ）知 cos= ，17而AEB= ，cosAEB=cos（ ）=cos cos+sin sin=，在 RtEAB 中，cosAEB= ，故 BE= 点评： 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大15 （2014河东区二模）在 ABC 中，
31、， （）求 sinA 的值；（）设ABC 的面积 ，求 BC 的长考点： 三角形中的几何计算菁优网版权所有专题： 计算题分析： （）由 cosB，cosC 分别求得 sinB 和 sinC，再通过 sinA=sin（B+C） ，利用两角和公式，进而求得 sinA（）由三角形的面积公式及（1）中的 sinA，求得 ABAC 的值，再利用正弦定理求得 AB，再利用正弦定理进而求得 BC解答： 解：（）由 ，得 ，由 ，得 所以 （）由 得 ，由（）知 ，故 ABAC=65，又 ，故 ， 18所以 点评： 本题主要考查了正弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用属基础题16 （2014湖南）如图，
32、在平面四边形 ABCD 中，AD=1，CD=2，AC= （）求 cosCAD 的值；（）若 cosBAD= ，sinCBA= ，求 BC 的长考点： 解三角形的实际应用菁优网版权所有专题： 解三角形分析： （）利用余弦定理，利用已知条件求得 cosCAD 的值（）根据 cosCAD，cos BAD 的值分别，求得 sinBAD 和 sinCAD，进而利用两角和公式求得 sinBAC 的值，最后利用正弦定理求得 BC解答：解：（）cos CAD= = = （）cosBAD= ，sinBAD= = ，cosCAD= ，sinCAD= =sinBAC=sin（BADCAD）=sinBADcosCAD
33、cosBADsinCAD= + = ，由正弦定理知 = ，19BC= sinBAC= =3点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用考查了学生对基础知识的综合运用17 （2013浙江）在锐角 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2asinB= b（）求角 A 的大小；（）若 a=6，b+c=8，求ABC 的面积考点： 正弦定理；余弦定理菁优网版权所有专题： 解三角形分析： （）利用正弦定理化简已知等式，求出 sinA 的值，由 A 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数；（）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将 a，
34、b+c 及 cosA 的值代入求出 bc 的值，再由 sinA 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 的面积解答： 解：（）由 2asinB= b，利用正弦定理得： 2sinAsinB= sinB，sinB0， sinA= ，又 A 为锐角，则 A= ；（）由余弦定理得：a 2=b2+c22bccosA，即 36=b2+c2bc=（b+c） 23bc=643bc，bc= ，又 sinA= ，则 SABC= bcsinA= 点评： 此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键18 （2013北京）在 ABC 中， a=3，b=2 ，B=2A（）求 cosA 的值
35、；（）求 c 的值考点： 正弦定理；余弦定理菁优网版权所有专题： 解三角形分析： （）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得 cosA 的值20（）由条件利用余弦定理，解方程求得 c 的值解答： 解：（）由条件在ABC 中，a=3， ，B=2A，利用正弦定理可得 ，即 = 解得 cosA= （）由余弦定理可得 a2=b2+c22bccosA，即 9= +c222 c ，即 c28c+15=0解方程求得 c=5，或 c=3当 c=3 时，此时 a=c=3，根据B=2A ，可得 B=90，A=C=45 ，ABC 是等腰直角三角形，但此时不满足 a2+c2=b2，故舍去综上，c=5点评： 本题主要考查正
36、弦定理和余弦定理，以及二倍角公式的应用，注意把 c=3 舍去，这是解题的易错点，属于中档题19 （2013湖北）在 ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（）求角 A 的大小；（）若ABC 的面积 S=5 ，b=5，求 sinBsinC 的值考点： 余弦定理；正弦定理菁优网版权所有专题： 解三角形分析： （I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式 即可得到 bc=20又 b=5，解得 c=4由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，即可得出 a又由正弦定理得即可得到即可得出解答： 解：（）由
37、cos2A3cos（B+C）=1，得 2cos2A+3cosA2=0，即（2cosA 1） （cosA+2）=0，解得 （舍去） 因为 0A，所以 （）由 S= = = ，得到 bc=20又 b=5，解得 c=4由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，故 21又由正弦定理得 点评： 熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键20 （2013山东）设 ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 a+c=6，b=2，（1）求 a，c 的值；（2）求 sin（A B）的值考点： 余弦定理；同角三角函数间的基本关系
38、；两角和与差的正弦函数；正弦定理菁优网版权所有专题： 解三角形分析： （1）利用余弦定理列出关系式，将 b 与 cosB 的值代入，利用完全平方公式变形，求出 acb 的值，与 a+c 的值联立即可求出 a 与 c 的值即可；（2）先由 cosB 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinB 的值，再由 a，b及 sinB 的值，利用正弦定理求出 sinA 的值，进而求出 cosA 的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值解答： 解：（1）a+c=6，b=2，cosB= ，由余弦定理得：b 2=a2+c22accosB=（a+c） 22ac ac=36
39、 ac=4，整理得：ac=9，联立解得：a=c=3；（2）cosB= ，B 为三角形的内角，sinB= = ，b=2，a=3 ，sinB= ，由正弦定理得：sinA= = = ，a=c，即 A=C， A 为锐角，cosA= = ，则 sin（AB ）=sinAcosB cosAsinB= = 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键2221 （2013江西）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cosC+（cosAsinA）cosB=0 （1）求角 B 的大小；（2）若 a+c=1，求
40、 b 的取值范围考点： 余弦定理；两角和与差的余弦函数菁优网版权所有专题： 解三角形分析： （1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据 sinA 不为 0 求出 tanB 的值，由 B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将 a+c 及 cosB 的值代入表示出 b2，根据 a 的范围，利用二次函数的性质求出 b2 的范围，即可求出 b 的范围解答： 解：（1）由已知得：cos（A+B）+cosAcosB sinAcosB=0，即 sinAsinB sinAcosB=0，sinA0，sinB co
41、sB=0，即 tanB= ，又 B 为三角形的内角，则 B= ；（2）a+c=1，即 c=1a，cosB= ，由余弦定理得：b 2=a2+c22accosB，即 b2=a2+c2ac=（a+c） 23ac=13a（1a）=3（a） 2+ ，0 a1， b21，则 b1点评： 此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键22 （2013重庆）在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且a2=b2+c2+ bc（）求 A；（）设 a= ，S 为ABC 的面积，求 S+3cosBcosC 的最大值，并指出此时 B 的最值
42、考点： 余弦定理；正弦定理菁优网版权所有23专题： 解三角形分析： （）由余弦定理表示出 cosA，将依照等式变形后代入求出 cosA 的值，由 A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数；（）由（）求出 sinA 的值，由三角形的面积公式及正弦定理列出关系式，表示出 S，代入已知等式中提取 3 变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的图象与性质即可求出 S+3cosBcosC 的最大值，以及此时B 的值解答：解：（）由余弦定理得：cosA= = = ，A 为三角形的内角， A= ；（）由（）得 sinA= ，由正弦定理得：b= ，csinA=
43、asinC 及 a= 得：S= bcsinA= asinC=3sinBsinC，则 S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（BC ） ，则当 BC=0，即 B=C= = 时，S+3cosBcosC 取最大值 3点评： 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键23 （2013江西）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1（1）求证：a，b，c 成等差数列；（2）若 C= ，求 的值考点： 余弦定理；等差数列的通项公式菁优网版权所
44、有专题： 解三角形分析： （1）由条件利用二倍角公式可得 sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，由此可得 a，b，c 成等差数列（2）若 C= ，由（1）可得 c=2ba，由余弦定理可得 （2ba） 2=a2+b22abcosC，化简可得 5ab=3b2，由此可得 的值解答： 解：（1）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B24再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，故 a，b，c
45、成等差数列（2）若 C= ，由（1）可得 c=2ba，由余弦定理可得 （2ba）2=a2+b22abcosC=a2+b2+ab化简可得 5ab=3b2， = 点评： 本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题24 （2013天津）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c已知bsinA=3csinB，a=3， （） 求 b 的值；（） 求 的值考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦定理菁优网版权所有专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（） 直接利用正弦定理推出 bsinA=as
46、inB，结合已知条件求出 c，利用余弦定理直接求 b 的值；（） 利用（）求出 B 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解 的值解答：解：（）在ABC 中，有正弦定理 ，可得 bsinA=asinB，又 bsinA=3csinB，可得 a=3c，又 a=3，所以 c=1由余弦定理可知：b 2=a2+c22accosB， ，即 b2=32+1223cosB，可得 b= （）由 ，可得 sinB= ，所以 cos2B=2cos2B1= ，sin2B=2sinBcosB= ，所以 = = =25点评：本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力25 （2013重庆）在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且a2+b2+ ab=c2（1）求 C；（2）设 cosAcosB= ， = ，求 tan 的值考点：余弦定理；同角三角函数间的基本
