1、2018 年黄石市中高三年级五月适应性考试数学（文史类）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合 ，则 =（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合 ， ，然后根据交集的定义求出【详解】则故选【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题2.若复数 ，则 的共轭复数所对应点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】，则 的共轭复数 所对应点在第一象限故选 A3.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 ，下列命题中正确的是（ ）A.
2、若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】D【解析】选项 A 中，直线 可能相交、平行或异面，故不正确选项 B 中，直线 可能平行或异面，故不正确选项 C 中，平面 可能平行或相交，故不正确选项 D 中，由面面垂直的判定定理可得正确选 D4.程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第 33 问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数
3、S 为（ ）A. 120 B. 84 C. 56 D. 28【答案】B【解析】运行程序：i=1,n=1,s=1,17，i=2,n=3,s=4,27，i=3,n=6,s=10,37，i=4,n=10,s=20,47，i=5.n=15,s=35,57，i=6,n=21,s=56,67，i=7,n=28,s=84,77,s=84.故选 C.5.一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于 2 的区域内的概率为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出满足条件的正三角形 的面积，再求出满足条件正三角形 内的点到正三角形的顶点 的距离均不小于 的图形的面
4、积，然后代入几何概型公式即可求得答案【详解】满足条件的正三角形如图所示其中正三角形 的面积满足到正三角形 的顶点 的距离都大于 的平面区域如图中阴影部分所示则则使取到的点到三个顶点 的距离都大于 的概率为：故选【点睛】本题是一道关于几何概型的题目，解决几何概型问题时，首先分析基本事件的总体，再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，然后求出结果。6.已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的一个单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据函数 的部分图象，可得 求得 ,函数再把 代入函数的解析式,可得 ， 故函数 .令 求得 ，当 时，函数 的一个单调递增区间是 .故选：D
5、.7.若变量 满足约束条件 ,则 的最大值是（ ）A. B. 0 C. D. 【答案】A【解析】作出束条件 表示的可行域，如图， 表示点 与可行域内的 动点 连线的斜率，由 可得 ， 由图可知 最大值就是 ，故选 A.8.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，这是一个柱体，体积为 .考点：三视图.9.若 是第二象限角，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 位第二象限角，且 ，所以 ，所以，故选 C.10.定义在 上的函数 是它的导函数，则恒有 成立，则 （ ）A. B. C. D. 【答案
6、】B【解析】根据题意，设 ，则 ，又由当 时，恒有 成立，则 ，则函数 在 上为增函数，又因为 ，所以 ，即 ，即 ，故选 B.点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到导数的公式的逆用，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小等知识点的运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中根据题意构造新函数，利用新函数的单调性比较大小是解答的关键.11.如图，椭圆 的焦点为 ，过 的直线交椭圆于 两点，交 轴于点 .若是线段 的三等分点，则 的周长为（ ）A. 20 B. 10 C. D. 【答案】D【解析】由通径公式可得： ，且 ，由中点坐标公式可得： ，为
7、线段 的中点，结合中点坐标公式可得： ，点 在椭圆上，则： ，由题意可知 ，则： ，结合椭圆的性质可得： ，由椭圆的定义可知， 的周长为 .本题选择 D 选项.12.已知定义在 上的函数 对任意 都满足 ，且当 时， ，则函数 的零点个数为 ( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】当 时，则 ，此时有 ， ， ，函数 是周期为 2 的周期函数令 ，则 ，由题意得函数 的零点个数即为函数 的图象与函数 的图象交点的个数在同一坐标系内画出函数 和函数 的图象（如图所示） ，结合图象可得两函数的图象有三个交点，函数 的零点个数为 3.选 B点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数
8、值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知正方形 的边长为 2，则 _.【答案】4【解析】 为正方形 故答案为14.动圆 M 过点（3，2）且与直线 y=1 相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_【答案】x 26x2y+12=0【解析】【分析】设出圆心的坐标，利用已知条件列出方程即可求解【详解】设动圆
9、圆心 ，动圆 过点 且与直线 相切，可得化简可得则动圆圆心 的轨迹方程为故答案为【点睛】本题主要考查了轨迹方程，解题的关键是根据圆与直线相切，得到动圆 到直线与到点 的距离相等，属于基础题。15.已知函数 y=f（x）=x 3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值，其图象在 x=1 处的切线平行于直线6x+2y+5=0，则 f（x）极大值与极小值之差为_【答案】4【解析】y3x 26ax3b，y3x 26x，令 3x26x0，得 x0 或 x2.f(x) 极大值 f(x) 极小值 f(0)f(2)4.16.在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，且 ，则 面积的最大值为_【答案】【解析】
10、【分析】利用余弦定理求解 ，根据基本不等式即可求解 面积的最大值【详解】由 可得：根据余弦定理可得：，即当且仅当 时取等号，则面积则 面积的最大值为【点睛】本题主要考查了三角形中的几何运算，同时考查了余弦定理和解不等式等有关知识，属于中档题。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17.已知等差数列 的前 n 项和为 ，公差为 2，且 ， ， 成等比数列（1）求数列 的通项公式；（2）设 求数列 的前 n 项和 【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（）由已知 ，
11、， 及 可得 ，则数列 的通项公式易求；（） ，显然利用裂项相消法求和试题解析：（）由 ， ， 成等比数列得 化简得 ，又 ，解得故数列 的通项公式 （ ）（）由（）得考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和18.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BC=3，AB=4，AC=CC 1=5，M，N 分别是 A1B，B 1C1的中点(1)求证：MN/平面 ACC1A1；(2)求点 N 到平面 MBC 的距离【答案】(1)见解析；（2） .【解析】试题分析：(1)连结 ，结合几何关系可证得 ，结合线面平行的判断定理可得 MN/平面ACC1A1；(2)由题意可得： ，且点 M 到平面的 的距离为
12、，利用三棱锥转换顶点体积相等可得点 N 到平面 MBC 的距离为 .试题解析：(1)证明：如图，连接 ,因为该三棱柱是直三棱柱， ,则四边形 为矩形，由矩形性质得 过 的中点 M, 在 中，由中位线性质得 ，又 ， ,.(2)解： ， ,又点 M 到平面的 的距离为 ， 设点 与平面 的距离为 ，由 可得 ，即 ，解得 ，即点 到平面 的距离为 .点睛：涉及到三棱锥的问题一般都考查体积问题，求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积19.随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来” ，
13、遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了 200 人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：经常使用 偶尔或不用 合计30 岁及以下 70 30 10030 岁以上 60 40 100合计 130 70 200（）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关？（）现从所抽取的 30 岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取 5 人.（1）分别求这 5 人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（2）从这 5 人中，再随机选出 2 人赠送一件礼品，求选出的 2 人中至少有 1
14、人经常使用共享单车的概率.参考公式： ，其中 .参考数据：P(K2k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【答案】 （1）能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关；（2）选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率 .【解析】试题分析：（1）计算 k2，与 2.027 比较大小得出结论，（2） （i）根据分层抽样即可求出，（ii）设这 5 人中，经常使用共享单车的 3 人分别为 a，b，c；偶尔或不用共享单车的 2 人分别为 d，e，根据古典概率公式计算即可试题解析
15、：（1）由列联表可知， .因为 ，所以能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关.（2） （ i）依题意可知，所抽取的 5 名 30 岁以上的网友中，经常使用共享单车的有（人） ，偶尔或不用共享单车的有 （人）.（ ii）设这 5 人中，经常使用共享单车的 3 人分别为 ， ， ；偶尔或不用共享单车的 2 人分别为 ， .则从 5 人中选出 2 人的所有可能结果为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种.其中没有 1 人经常使用共享单车的可能结果为 共 1 种，故选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率 .点睛：古典概型中基本事件数的探求
16、方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.20.已知抛物线 y2=2px（p0）上点 M（3，m）到焦点 F 的距离为 4（）求抛物线方程；（）点 P 为准线上任意一点，AB 为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线 PA，PB，PF 的斜率为 k1，k 2，k 3，问是否存在实数 ，使得 k1+k2=k 3恒成立若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由【答
17、案】 （1）抛物线方程为 y2=4x；（2）见解析.【解析】【分析】由抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离即可求出 ，即可得到方程求出焦点和准线，设出直线 ，联立方程，消去 得到 的方程，运用韦达定理，设， ， ，运用斜率公式，化简整理，注意点在抛物线上，且全部转化为 的式子，即可判断【详解】 （I）抛物线 y2=2px（p0）的焦点为（ ，0） ，准线为 x= ，由抛物线的定义可知：4=3 ，p=2抛物线方程为 y2=4x；（II）由于抛物线 y2=4x 的焦点 F 为（1，0） ，准线为 x=1，设直线 AB：x=my+1，与 y2=4x 联立，消去 x，整理得：y24my4=0，设
18、 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，P（1，t） ，有易知 ，而= = =2k3存在实数 =2，使得 k1+k2=k 3恒成立【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的定义，性质和方程，同时也考查了联立方程，运用韦达定理，斜率公式，考查了运算化简的能力，属于中档题。21.已知函数 f（x）= +xlnx，g（x）=x 3x 23（1）讨论函数 h（x）= 的单调性；（2）如果对任意的 s，t ，2，都有 f（s）g（t）成立，求实数 a 的取值范围【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1） 的定义域为 ， ，当 时， ，当 时，可得 ，判断 在
19、上的符号情况，即得其单调区间；（2）如果对任意的，都有 成立，则 ，可先求出 ，得到 再上恒成立，构造函数 ，求出 的最大值，即得求实数 的取值范围试题解析：（1）h（x）= = +lnx，h（x）= ，a0，h（x）0，函数 h（x）在（0，+）上单调递增a0 时，h（x）0，则 x（ ，+） ，函数 h（x）的单调递增区间为（ ，+） ，h（x）0，则 x（0， ） ，函数 h（x）的单调递减区间为（0， ） （2）g（x）=x 3x 23，g（x）=3x（x ） ，由上表可知，g（x）在 x=2 处取得最大值，即 g（x） max=g（2）=1所以当 x ，2时，f（x）= +xlnx1
20、 恒成立，等价于 axx 2lnx 恒成立，记 u（x）=xx 2lnx，所以 au（x） max，u（x）=1x2xlnx，可知 u（1）=0，当 x（ ，1）时，1x0，2xlnx0，则 u（x）0，u（x）在 x（ ，2）上单调递增；当 x（1，2）时，1x0，2xlnx0，则 u（x）0，u（x）在（1，2）上单调递减；故当 x=1 时，函数 u（x）在区间 ，2，上取得最大值 u（1）=1，所以 a1，故实数 a 的取值范围是1，+） 考点：利用导数研究函数的单调性和极值、最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了不等式的恒成立与有解问题，考查了分类
21、讨论、转化的数学思想，属于难题.本题中第（1）问研究函数的单调性时，因为是研究在 上的单调性，所以关键是把握好讨论的标准即 是否有解；第（2）解答的关键是分别考虑两个变量的恒成立，逐个转化为最值，利用导数求出其在 上的最值，求得实数 的范围.22.已知曲线 C 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 过点 M(1,0)，倾斜角为（1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的标准参数方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点，求 【答案】 （1）C： ， ；（2） .【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线 的普通方程为 直线 ： （ 为
22、参数）(2)联立直线的参数方程与二次曲线，解析弦长公式可得 .试题解析：解：（）对于 由 得 ，所以曲线 的普通方程为 由直线 过点 ，倾斜角为 得 （ 为参数） （）设 两点对应的参数分别为 ，将直线 的参数方程 （ 为参数）代入曲线中，可得化简得： ， 23.已知关于 的不等式 有解，记实数 的最大值为 .(1)求 的值；(2)正数 满足 ，求证： .【答案】 （1）4；（2）见解析.【解析】试题分析：（）根据题意，将问题转化为求式子 最大值，即先求函数的最大值，其最大值为 ，再求不等式 ，从而问题得解；（）由（）可知 ，即 ，则 ，又因为 ，所以 .试题解析：（） ， 若不等式 有解，则满足 ，解得 . .（）由（）知正数 满足 ， ，当且仅当 时，取等号.考点：1.含绝对值函数的最值和不等式的求解；2.等量代换、均值不等式在不等式证明中的应用.
