1、线性代数B,任课教师:胡凤珠,秩(rank)是矩阵更深层的性质，是矩阵理论的核心概念 秩是德国数学家弗洛贝尼乌斯在1879年首先提出的 矩阵的秩是讨论线性方程组解的存在性、向量组的线性相关性等问题的重要工具,矩阵的秩,课本2.6 矩阵的秩,一、矩阵的秩的概念,二、矩阵的秩的求法,r,行阶梯形矩阵,r,行最简形矩阵,c,标准形,(形式不唯一),(形式唯一),矩阵常用的三种特殊的等价形式：,标准形由数r完全确定，r也就是A的行阶梯形中非零行的行数 这个数便是矩阵A的秩,一、矩阵的秩的概念,r,行阶梯形矩阵,r,行最简形矩阵,c,标准形,(形式不唯一),(形式唯一),矩阵常用的三种特殊的等价形式：,
2、由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可以借助行列式来定义矩阵的秩,一、矩阵的秩的概念,1、k 阶子式,例如,是 A的一个二阶子式,定义1 在mn矩阵A中 任取 k 行 k 列 位于这些行 列 交叉处 的 k2 个元素 不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式,定义2 设在mn矩阵A中有一个不等于零的r阶子式 D 且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么数 r 称为 矩阵A的秩 D 称为矩阵A的最高阶非零子式,2、矩阵的秩,提示,例1和例2综合 求矩阵A和B的秩 其中,在A中 容易看出一个2阶子式,A的3阶子式只有一个|A| 经计算可知|A|0 因此r(
3、A)2,以3个非零行的首非零元为对角元的3阶子式,是一个上三角行列式 它显然=24不等于0 因此r(B)3,B是一个有3个非零行的行阶梯形矩阵 其所有4阶子式全为零,对于行阶梯形矩阵 它的秩就等于非零行的行数,3、矩阵的秩的性质,(1)若矩阵A中有某个 s 阶子式不为0 则r(A) s 若A中所有 t 阶子式全为0 则r(A)t (2) 若A为mn矩阵 则 0 r(A) minm n r(Amn) minm n,(4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 r(A)n当|A|0时 r(A)n 可逆矩阵(非奇异矩阵),又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇异矩阵),又称为降秩矩阵,可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵
4、。,(3) r(A)r(AT)，,在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的 r 阶子式?,解答：可能有 .,例如, r(A)3,是等于0的2阶子式,是等于0的3阶子式,补充例3,定理1 若A与B等价 则 r(A)r(B),根据这一定理 为求矩阵的秩 只要把矩阵用初等(行)变换变成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩,二、矩阵的秩的求法,问题：经过初等变换后，矩阵的秩 变 吗？,任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵。,即初等变换不改变矩阵的秩 .,因为,解,所以r(A)3,为求A的最高阶非零子式 考虑由A的 1、2、4 列构成的矩阵,又因A0的子式
5、,所以这个子式是A的最高阶非零子式,行变换,可见r(A0 )3,行阶梯形矩阵,例5,即AB与B等价,例6,小结,(2)初等变换法,1. 矩阵的秩的概念,2. 求矩阵的秩的方法,(1)定义法,把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,寻找矩阵中非零子式的最高阶数;,P67:31,练习题 P67:31,32,P67:31,练习题 P67:31,32,P67:31,练习题 P67:31,32,继续讨论x的值的变化对矩阵A的秩的影响，结果同解法一。,P67:32,练习题 P67:31,32,P67:32,练习题 P67:31,32,第一章,P21 ,2,P21 ,5(3),P21 ,5(3),习题1-5, P25 :5,(4),P40:3(3)、(4),(3),4,P40-4,6,P40-6,作业：P46:1(1),7(1)；P66:18,P46:1(1),求下列矩阵的逆矩阵,7(1),P66:18,P66:22,分块矩阵,P60:4(4),矩阵的初等变换,P60:4(4),矩阵的初等变换,P60 5(2),矩阵的初等变换,也可以先求A-2E的逆，再运算求B,
