1、专题能力训练 17 直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F,且斜率为 的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴的上方), l 为 C 的准线,点 N3在 l 上且 MNl,则 M 到直线 NF 的距离为( )A. B.2 C.2 D.35 2 3 32.与抛物线 y2=8x 相切倾斜角为 135的直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别是 A 和 B,那么过 A,B 两点的最小圆截抛物线 y2=8x 的准线所得的弦长为( )A.4 B.2 C.2 D.2 23.设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|
2、BF| ,则 l 的方程为( )A.y=x-1 或 y=-x+1B.y= (x-1)或 y=- (x-1)33 33C.y= (x-1)或 y=- (x-1)3 3D.y= (x-1)或 y=- (x-1)22 224.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1: =1(a0,b0)的渐近线与抛物线 C2:x2=2py(p0)交于2222点 O,A,B.若OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为 . 5.(2018 全国 ,文 20)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A,B两点,|AB|=8.(1)求 l 的方程.(2)
3、求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程.6.已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(-2,0),B(2,0),焦点在 x 轴上,离心率为 .32(1)求椭圆 C 的方程;(2)点 D 为 x 轴上一点,过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M,N,过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E.求证:BDE 与BDN 的面积之比为 4 5.7.在平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: =1(ab0)右焦点的直线 x+y- =0 交 M 于 A,B 两点,22+223P 为 AB 的中点 ,且 OP 的斜率为.(1)求 M 的方程 ;(2)C,D 为 M 上两点 ,若四边形 ACB
4、D 的对角线 CDAB,求四边形 ACBD 面积的最大值.8.已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,右焦点为 F(1,0),A,B 是椭圆 C 的左、右顶点,D 是椭圆 C 上异于A,B 的动点,且ADB 面积的最大值为 .2(1)求椭圆 C 的方程.(2)是否存在一定点 E(x0,0)(00).(1)证明:kb0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点 P22+22在椭圆 E 上.(3,12)(1)求椭圆 E 的方程;(2)设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 M,直线 OM12与椭圆 E 交于 C,D,证明:|MA|MB|=
5、|MC|MD|.11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E: =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为,两准22+22线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上,且位于第一象限,过点 F1 作直线 PF1 的垂线 l1,过点 F2 作直线PF2 的垂线 l2.(1)求椭圆 E 的标准方程;(2)若直线 l1,l2 的交点 Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标.专题能力训练 17 直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.C 解析 由题意可知抛物线的焦点 F(1,0),准线 l 的方程为 x=-1,可得直线 MF:y= (x-1),与抛物线3y2=4x 联立,消去 y 得 3x2-
6、10x+3=0,解得 x1=,x2=3.因为 M 在 x 轴的上方,所以 M (3,2 ).3因为 MNl,且 N 在 l 上,所以 N(-1,2 ).3因为 F(1,0),所以直线 NF:y=- (x-1).所以 M 到直线 NF 的距离为 =2 .3|3(3-1)+23|(- 3)2+1232.C 解析 设直线 l 的方程为 y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得 y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以 =82-4(-8b)=0,解得 b=-2,故直线 l 的方程为 x+y+2=0,从而 A(-2,0),B(0,-2).因此过 A,B 两点的最小圆即为以 AB 为直径的圆,其
7、方程为(x+1) 2+(y+1)2=2,而抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2,此时圆心(- 1,-1)到准线的距离为 1,故所截弦长为 2 =2.(2)2-123.C 解析 由题意可得抛物线焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1.当直线 l 的斜率大于 0 时,如图 ,过 A,B 两点分别向准线 x=-1 作垂线,垂足分别为 M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.设|AM|=|AF|=3t(t0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,在AMK 中,由 ,得 ,|=| 3= +4解得 x=2t,则 cosNBK= ,|=12 NBK=60
8、,则GFK= 60,即直线 AB 的倾斜角为 60. 斜率 k=tan 60= ,故直线方程为 y= (x-1).3 3当直线 l 的斜率小于 0 时,如图 ,同理可得直线方程为 y=- (x-1),故选 C.34. 解析 双曲线的渐近线为 y=x.由 得 A .32 =,2=2, (2,222)由=-,2=2,得 B .(-2,222) F 为OAB 的垂心,(0,2) kAFkOB=-1,即 =-1,222 -22 -0( -)解得 ,22=54 ,即可得 e= .22=94 325.解 (1)由题意得 F(1,0),l 的方程为 y=k(x-1)(k0).设 A(x1,y1),B(x2,
9、y2).由 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=(-1),2=4 =16k2+160,故 x1+x2= .22+42所以|AB|=|AF|+|BF|=(x 1+1)+(x2+1)= ;42+42由题设知 =8,解得 k=-1(舍去),k=1.42+42因此 l 的方程为 y=x-1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为 (3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y0),则0=-0+5,(0+1)2=(0-0+1)22 +16.解得 0=3,0=2或 0=11,0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=
10、16 或(x-11) 2+(y+6)2=144.6.(1)解 设椭圆 C 的方程为 =1(ab0).22+22由题意得 解得 c= .=2,=32, 3所以 b2=a2-c2=1.所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.24(2)证明 设 M(m,n),则 D(m,0),N(m,-n).由题设知 m2,且 n0.直线 AM 的斜率 kAM= ,+2故直线 DE 的斜率 kDE=- .+2所以直线 DE 的方程为 y=- (x-m),直线 BN 的方程为 y= (x-2).+2 2-联立=-+2 (-),= 2-(-2),解得点 E 的纵坐标 yE=- .(4-2)4-2+2由点 M 在椭圆 C 上
11、,得 4-m2=4n2.所以 yE=- n.45又 SBDE= |BD|yE|= |BD|n|,SBDN= |BD|n|,12 25 12所以BDE 与BDN 的面积之比为 4 5.7.解 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则 =1, =1, =-1,212+212222+2222-12-1由此可得 =- =1.2(2+1)2(2+1) 2-12-1因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, ,所以 a2=2b2.00=12又由题意知,M 的右焦点为( ,0),所以 a2-b2=3.3所以 a2=6,b2=3.所以 M 的方程为 =1.26+23(2)由 解得
12、 因此|AB|= .+- 3=0,26+23=1, =433,=- 33或 =0,=3. 463由题意可设直线 CD 的方程为 y=x+n ,(-533 b0),22+22由已知可得ADB 的面积的最大值为 2ab=ab= . 12 2 F(1,0)为椭圆右焦点, a2=b2+1. 由 可得 a= ,b=1,2故椭圆 C 的方程为 +y2=1.22(2)过点 E 取两条分别垂直于 x 轴和 y 轴的弦 M1N1,M2N2,则 ,1|1|2+1|1|2=1|2|2+1|2|2即 ,解得 x0= ,21-202= 1(0+2)2+ 1(0- 2)2 63 E 若存在必为 ,定值为 3.(63,0)
13、证明如下:设过点 E 的直线方程为 x=ty+ ,代入 C 中得( t2+2)y2+ ty- =0.(63,0) 63 263 43设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=- =- ,y1y2=- ,2632+2 263(2+2) 43(2+2)1|2+1|2=1(1+2)21+1(1+2)22=11+2(121+122)=11+2(1+2)2-2122122= =3.11+2 -263(2+2)2+ 83(2+2) - 43(2+2)2综上得定点为 E ,定值为 3.(63,0)二、思维提升训练9.证明 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 =1, =1.214+
14、213 224+223两式相减,并由 =k 得 k=0.1-21-2 1+24 +1+23由题设知 =1, =m,于是 k=- .1+22 1+22 34由题设得 0b0)过点 P ,22+22 ( 3,12)故 =1,解得 b2=1.342+142所以椭圆 E 的方程是 +y2=1.24(2)证明 设直线 l 的方程为 y=x+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组 得 x2+2mx+2m2-2=0, 24+2=1,=12+,方程 的判别式为 =4(2-m2).由 0,即 2-m20,解得- 0,y00.当 x0=1 时,l 2 与 l1 相交于 F1,与题设不符.当 x0
15、1 时,直线 PF1 的斜率为 ,直线 PF2 的斜率为 .00+100-1因为 l1PF 1,l2PF 2,所以直线 l1 的斜率为- ,直线 l2 的斜率为- ,0+100-10从而直线 l1 的方程:y=- (x+1), 0+10直线 l2 的方程:y=- (x-1). 0-10由 ,解得 x=-x0,y= ,20-10所以 Q .(-0,20-10 )因为点 Q 在椭圆上,由对称性 ,得 =y0,20-10即 =1 或 =1.2020 20+20又 P 在椭圆 E 上,故 =1.204+203由 解得 x0= ,y0= 无解.因此点 P 的坐标为 .20-20=1,204+203=1, 477377;20+20=1,204+203=1, (477,377)
