1、1第 十 二 讲 角 的 初 步认 识 （ 一 ）一、知识精 讲1.角的 定义 角的定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 角的定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。2.角的 大小 比较（1）叠合法； （2）度量法3.余角 和补 角如果两个角的和是 90，那么称这两个角互为余角。 如果两个角的和是 180，那么称这两个角互为补角。4.角平 分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.二、典例解 析【例 1】 （2 017 汉 阳 区 期 末 ） 如图 ， 在锐角 AOB 内部 ， 画 1 条射线 ， 可得 3 个锐角画 2 条射线， 可得 6
2、个锐角， 画 3 条射线， 可得 10 个锐角， ， 按此 规律，画 9 条不同射线，可得锐角 个.【练 1】 如图，在 AOB 内部引出两条射线 OC， OD，则图中小于平角的角共 有（ ）个A.3 B.4 C.5 D.6【练 2】 在 AOB 内部从 O 点引出 n 条射线，图中小于平角的角共有多少 个？2【练 3】 从 O点引出 n 条射线，图中小于平角的角共有多少个？【例 2】 （2 017 武昌 区期末 ） 一个角的余角比它的补角的 14大 15， 求这个角的度数.【练 4】 若 AOB 和 BOC 互 为 邻 补 角 ， 且 AOB 比 BOC 大18， 则 AOB 的 度 数 是
3、（ ）A.54 B.81 C.99 D162【练 5】 如图， O 是直线 AB 上一点， OC， OD， OE 是三条射线，则图中互补 的角共有（ ）对A.3 B.3 C.4 D.5【例 3】 （2 017 东湖 开发 区 ） 如 图 ， 直 线 AB、 CD 相 交 于 点 O， OM 平 分 BOD， ON平 分 BOC， 1 2 7 1， 求 BOD 和 AON 的 度 数 .3【例 4】 （2 017 江岸 区 期末） 如图， 在同一平面内， O A O B 于 O， 射线 O M 平分 A O B，从点 O引射线 O C，射线 ON 平分 B O C（1）若 B O C30，请你补
4、全图形，再计算 M O N 的度数（2）若 O A与 O B 不垂直， A O B， B O C（090） ， 其它条件不变，请你画出大致图形，并直接写出 M O N 的度数（3）结合上面的计算，观察并继续思考：在同一平面内， A O B， B O C， OM 平分 AOB， ON 平 分 BOC， 你 发 现 MON 与 AOC 有怎样的数量 关系？请你直接写出来.【例 5】 （2 017 东湖 开发 区期末 ） 8 时 30 分， 钟的时针与分针成 （ ） 的 角.A.75 B.90C.105 D.120【练 6】 2 点 30 分时，时钟与分钟所成的角为 度.4【例 6】 （2 017
5、江汉 区期末 ）如图，直线 S N与直线 WE 相 交 于 点 O， 射 线 O N 表 示正 北 方 向 ， 射 线 O E 表 示 正 东 方 向 已 知 射 线 O B 的 方 向 是 南 偏 东 m， 射 线OC 的 方 向 是 北 偏 东 n， 且 m的 角 与 n的 角 互 余 .（ 1） 若 m 60， 则 射 线 O C 的 方 向 是 . 请 直 接 写 出 图 中 所 有 与 BOE 互 余 的 角 及 与 BOE 互 补 的 角 ；（2） 若射线 OA 是 B O N 的角平分线 ， 求 A O C 的度数 （用含有 m 的式子 表示）三、课堂检 测1.（2 017 黄陂
6、 区期末 ）如图，已知 OD 平 分 AOB， OE 平 分 BOD，若 AOC 3BOC，则CEB的值为（ ）A. 1 B. C. 5 D. 22.（ 2017 洪 山 区 期 末 ） 如 图 ， O 为 直 线 AB 上 一 点 ， DOC 90， OE 平 分 AOC， OF 平 分 BOC.5(1)图 中 与 COF 互 余 的 角 有 ， 与 COF 互 补 的 角 有 .(2)如 若 5EOD AOE ， EOD 的 度 数 为 .3.（2 017 江岸 区期末 ）如图，直线 SN 与 直 线 WE 相 交 于 点 O， 射 线 ON 表 示 正北 方 向 ， 射 线 OE 表 示
7、 正 东 方 向 已 知 射 线 OB 的 方 向 是 南 偏 东 m， 射 线 OC 的 方 向 是 北 偏 东 n， 且 m的 角 与 n的 角 互 余 .（ 1） 若 m 50， 则 射 线 OC 的 方 向 是 图 中 与 BOE 互 余 的 角 有 与 BOE 互 补 的 角 有 （ 2） 若 射 线 O A 是 BON 的 角 平 分 线 ， 则 BOS 与 AOC 是 否 存 在 确 定 的 数 量 关 系 ？ 如 果 存 在 ， 请 写 出 你 的 结 论 以 及 计 算 过 程 ；如果不存在，请说明理由.四、课后练 习1.（2 017 江汉 区期末 ）9 时 30 分钟的时针
8、与分针所成的角度是（ ） A.75 B.90 C.105 D.1202.（ 2017 青山 区 期末 ）如图，在观测站 O测得渔船 A、 B 的方向分别为北偏东 50、南偏西 30， 为了减少相互干扰并取得较好的捕鱼效益， 渔船 C 恰好位 于 AOB 的平分线上，则渔船 C 相对观测站 O 的方向是（A.南偏东 50 B.东偏西 50C.东南方 D.不能确定3.如图，在正方形网格中，1+2+3+4+5=（） ）A.175 B.180C.210D.22564.（ 2017 青 山 区 期 末 ） 如 图 ， O 是 直 线 AC 上 一 点 ，OB 是 一 条 射 线 ， OD 平 分 AOB
9、， OE 在 BOC 内 ， 且 DOE 60， BOE EOC， 则 下 列 四 个 结论 正 确 的 个 数 有 （ ） BOD 30； 射 线 OE 平 分 AOC； 图 中 与 BOE 互 余 的 角 有 2 个 ； 图中互补的角有 6 对A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个5.（ 2017 洪 山 区 期 末 ） 已 知 ： O 为 直 线 AB 上 一 点 ， 一 个 三 角 板 COD 的 直 角 顶 点 放 在 点 O 上 ， OE 平 分 AOC， OF 平 分 BOD， 当 三 角 形 COD 绕 O 点 旋 转 到 如 图 所 示 时 ， 下 列 结 论 不 正
10、 确 的 是 （ ）A. AOD EOC 90 B. AOC BOD 90 C. AOE BOF 45 D. EOF 1356.如图，已知 O 为直线 AB 上一点 ， OC 平 分 BOE， OD OC 于 点 O， 则 与 DOE 互 补的 角 是 （ ）A. EOC B AOCC. AOE D BOD77.如图， AOB=100OM 平 分 AOC， ON 平 分 BOC， 则 MNO= .8.图中的正五角星有条对称轴，图中与 A 的 2 倍互补的角有 个.9.如 图 ， BO， CO 分 别 平 分 ABC 和 ACB.（1）若 A=60，求 O；（2）若 A=100， O 是多少？若
11、 =120 ， O 又是多少？（3） 若 （1） 、 （2） 你又发现了什么规律， 当A 的度数发生变化后， 你的 结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于 180）810.已知： AOD 160， OB、 OC、 OM、 ON 是 AOD 内 的 射 线 。（ 1） 如 图 ， 若 OM 平 分 AOB， ON 平 分 BOD. 当 OB 绕 点 O 在 AOD 内 旋 转 时 ， 求 MON 的 大 小 ；（2）如图，若 BOC 20， OM 平 分 AOC, ON 平 分 BOD. 当 BOC 绕 点 O 在 AOD 内 旋 转 时 求 MON 的 大 小 ；911.（2 017 武昌
12、区期末 ）如果两个角的差的绝对值等于 90，就称这两个角互为垂角， 例如： 1120， 230， |12|90， 则1 和2 互 为垂角（本题中所有角都是指大于 0且小于 180的角）（1）如图 1， O 为直线 AB 上 一 点 ， OC AB 于 点 O， OE OD 于点 O， 直接指出图中所有互为垂角的角；（2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的23，求这个角的度数；（ 3） 如 图 2， O 为 直 线 AB 上 一 点 ， AOC 75， 将 整 个 图 形 绕 点 O 逆 时 针 旋 转 n（ 0 n 90） ， 直 线 AB 旋 转 到 A1B1， OC 旋 转 到 OC1， 作 射 线 OP， 使 BOP BOB1， 求 ： 当 n 为 何 值 时 ， POA1 与 AOC1 互 为 垂 角 .
