1、保险风险理论研究简介,（中南大学数学科学与计算技术院） 刘再明,报告结构,古典风险模型 保险风险模型的研究现状及发展趋势 一类马氏调制风险模型 预备知识： 齐次Poisson过程,一、古典风险模型,保险风险理论是概率论与数理统计应用研究的一个重要分支，主要借助概率论与随机过程理论来构造数学模型，描述各种风险业务，着重分析和研究与保险公司资产盈余等相关指标的概率统计规律（如破产概率等），为保险公司的长期稳定经营提供理论依据。 风险理论已经发展了一个较长时期，较为系统的理论始于Lundberg和Cramer, 他们建立了风险理论与随机过程理论之间的联系。关于风险理论系统的论述当推Gerber和Gr
2、andell的著作。,近几十年来，随机过程理论在风险问题研究中的地位不断提高，应用随机过程新的理论和方法来研究风险理论，不仅大大简化了一些经典结果的证明，而且可以解决许多新问题（如平均破产时间、破产瞬间前后的盈余额的分布、破产前最大盈余额的分布、引起破产的索赔额分布以及破产到恢复期间的最大盈余额的分布等问题的研究）。所应用的主要方法有鞅方法、更新理论方法和马尔可夫过程理论等等。,通常的保险风险模型描述如下其中， 表示在时刻t公司的盈余额， u 为初始准备金。 古典风险模型 又称为经典风险模型是研究时间最长并且理论最为完善的风险模型。它表述如下： 令 是一个完备的概率空间，模型中的所有的随机变量
3、和随机过程均定义在这样一个概率空间上。（1）过程 是一个强度为 的Poisson过程（2） 是独立同分布的非负随机变量序列，分布函数为 ，且 ，期望为,（3） 与 相互独立，令：其中， 是初始准备金， 是常数，表示单位时间的保费收入， 表示 时间间隔内发生的索赔的次数，表示第 i 次的索赔量。 有时也称 为复合Poisson风险模型， 为此模型的盈利过程，这里的保费收入过程 是时间t 的线性函数。,古典风险模型研究的一个主要问题就是破产概率，也就是盈余过程 在某时刻小于零的概率。写成数学表达式破产概率即为：而 称为生存概率。,令： 假设 ，当 时，有 。（即 为轻尾分布，或矩母函数存在）。定义
4、相对安全负荷 ，设 。对于古典风险模型， 的破产概率 主要结果有：（1） （2）当 服从指数分布时， （3） （Lundberg-Cramer逼近）， （4） （Lundberg不等式）。,其中（3）（4）中出现的R称为Lundberg指数，即 的正解。古典风险模型除了上述主要结果外，另外还有大量文献对此进行了多方面的研究，得到了许多很好的结果，如Alfredo Egidio dos Reis(1993,2002) , Dickson, D.C.M.(1992), Hans U. Gerber and Elias S.W. Shiu(1973,1990,1997)等等。详情可见Grandell
5、的著作Aspects of Risk Theory。,二、保险风险模型的研究现状及发展趋势,古典风险模型的推广 离散风险模型的介绍 保险风险理论发展中的重要工作及经典著作 当前国内的研究情况,古典风险模型的推广 古典风险模型的研究为风险理论的研究奠定了基础，但其模型比较简单条件要求强。随着保险业的发展、险种的不断增加，古典风险模型不能很好地反应保险公司的实际情况。因此，对古典风险模型作出更符合实际情况的推广很有必要。这些推广主要有以下几个方面： 将古典风险模型的索赔到达过程（齐次Poisson过程）进行推广： 推广为广义齐次Poisson过程； 推广为非齐次Poisson过程； 推广为Cox过
6、程：Cox风险模型； 推广为一般的更新过程：更新风险模型； 等等。,将古典风险模型中的保费收入为线性函数（ ）进行推广： 常数保费率推广为受马氏调制的可变费率情况； 常数保费率推广为随当前资产盈余而变化的情况； 考虑离散时间收取保费的情况（固定时间、随机时间等等）。 考虑利息率、通货膨胀率、投资收益及随机干扰等因素: 带利率的风险模型； 带随机干扰的风险模型（Brown运动干扰、其它干扰）； 随机环境中的风险模型。,把单险种模型推广为多险种模型： 双险种模型； 多险种模型； 具有延迟的多险种模型。把索赔额分布 （轻尾分布）进行推广：重尾分布风险模型。为轻尾分布： ；重尾分布：不是轻尾分布）。,
7、离散风险模型的介绍 相对连续风险模型来说，离散风险模型研究的要少一些，且大都集中在完全离散复合二项风险模型的研究方面。离散风险模型实际背景描述如下： 在保险公司的事务中，假定： 只在每个离散时刻收取保费并可能进行一次赔付（在连续时间段 中发生的赔付以及收取的保费均视为在时刻n进行）； 保险公司在时刻 ，有初始准备金（ ），而且只通过收取保费获得收入，假定每单位时间收取的保费为 ，仅有的支出为投保人发生事故后，公司对其进行赔付；,记第i次赔付量为 ， 为到 n 时刻的总索赔；表示保险公司在时刻n的盈余资产。 完全离散复合二项风险模型进一步满足：, ；,是取值于 的独立同分布的随机变量序列，相同的
8、分布列为： , ； 索赔计数过程 ,是具有参数为 p的二项随机序列， ；即N具有零初值、独立平稳增量，且具有参数为p 、项数为n的二项分布 ；与 独立。 令：，,则称 为完全离散复合二项风险模型，记为 FDCBRM ；对于此模型，通常假定： ， 。目前有许多文献对此进行了研究，如：Willmot(1993)和Shiu(1989)、成世学和伍彪（1998）、成世学和朱仁栋（2001）等等。复合二项风险模型与完全离散复合二项风险模型的差别在于 ， 不必取离散值（非负整数和正整数）。进一步，可考虑带利息率、通货膨胀率、投资收益及随机干扰等因素的复合二项风险模型。,保险风险理论发展中的重要工作及经典著
9、作 保险风险理论的形成起源于Lundberg和Cramer的工作，他们建立了风险理论与随机过程理论之间的联系： Lundberg：1903,1926 Cramer：1930,1945,1955 关于保险风险理论系统的论述是Gerber和Grandell的著作： Gerber（1979）：An Introduction to Mathematical Risk Theory. 1973：使用“鞅方法” 估计破产概率上界； Grandell（1991）：Aspects of Risk theory.主要从索赔到达过程进行推广这个角度全面介绍了经典模型、Cox模型、更新模型、平稳模型等等。,关于保险
10、、金融中使用的随机数学方法的全面介绍的著作首推Tomasz Rolski(Poland)、Hanspeter Schmidli (Denmark)、Volker Schmidt(Germany,Ulm)、Jozef Teugels(Belgium)四人合著的Stochastic Processes for Insurance and Finance(1998) 。 关于破产概率研究最新进展的介绍见Asmussen的专著： （2001）Ruin probabilities。本书对风险理论中的破产概率这个核心问题，从理论到方法进行了全面的论述。,当前国内的研究情况 南开大学：应用马氏过程和Brow
11、n运动研究带随机干扰的风险模型； 清华大学：离散风险模型（随机模拟）； 中国科大：大索赔重尾分布的风险模型； 中南大学：马氏过程及马氏骨架过程应用于风险理论研究； 上海大学：随机环境中的风险模型； 湖南师大：离散风险模型。,三、一类马氏调制风险模型,针对与索赔无关的这类随机环境（比如经济形势，政策因素，保险公司内部的经营状况等），以下给出了一种特殊的随机环境下的风险模型：具有马氏调制费率的复合Poisson风险模型。 模型的基本假设 设 是一具有有限状态的平稳遍历马氏跳过程，其状态空间记为S. 当 它处于状i 时，离开状态i 的强度是 ，转移矩阵 ，密度矩阵 ，平稳分布为 ； 保险费率是受马氏
12、过程 控制的，即时刻t的费率为，当 时，费率为常数 ；,N(t)是在时间（0，t内保险公司发生的索赔次数，这个记数过程是参数为 的齐次Poisson过程； 第i次索赔量记为 ，索赔量是独立同分布随机变量序列，有共同分布F(x)和 期望 ； 假设 、索赔量和索赔到达过程三者是相互独立. 令其中 u=R(0)0是保险公司的初始资产R(t)是在时刻t公司的盈余资产这就是我们要研究的具有马氏调制费率的复合Poisson风险模型。,对于给定的初始状态i, 破产概率记为 ；为具有初始分布 的最终破产概率；定义保险公司经营的相对安全负荷为其中 ，且总假设 。 主要结果和方法应用马氏过程理论和微分法讨论该风险
13、模型的破产概率。在相对安全负荷大于零的条件下，当初始资产趋向于无穷时，破产概率趋向于零。以下分别给出条件破产概率和最终破产概率所满足的积分方程，并导出了在零初始资产的条件下，最终破产概率的明确表达式。,结论1 对于上述风险模型，若 ，则有 结论2 对于上述风险模型，当 时，初始状态为i的破产概率 满足如下的积分方程：其中,结论3 若马氏链 的初始分布为 则最终破产概率 满足如下的积分方程特别地有本模型可做的进一步研究 估计破产概率的收敛速度 估计破产概率的lundberg型不等式 资产盈余的瞬时分布,四、预备知识： 齐次Poisson过程,定义1 计数过程 称作齐次Poisson过程，如果它满
14、足以下几个条件：； 对于任意 ，增量 有参数为 的Poisson分布，即对 ； 这里 是常数，称作过程的强度。 具有独立增量。,在以上定义中，条件（1）是对过程初始状态的规定，它不是实质性的限制。条件（2）蕴含过程具有平稳增量，即 的分布只依赖于差数 而与 的具体值无关。条件（3）表示过程是无后效的，即对任意正整数n和任意实数 ， 独立于 ， 定义2 齐次Poisson过程 在任意时刻 ，没有重点，即 我们把满足上式的点过程称为几乎处处有序的。若以 表示第n点的发生时间，记 ,令 ，则序列 ,表示点过程的点间间距序列。对此，有以下重要定理：定理1.3.3 计数过程 ,是具有强度的齐次Poisson过程的充要条件是它的点间间距 ,是相互独立的均值为 指数分布随机变量序列。,
