1、第五节 微积分实际应用举例,一、微元法,三、平均值与均方根,二、定积分在物理上的应用,四、简单数学模型和求解,五、小 结,重点：求功、压力、引力,1、面积表示为定积分的步骤,（3） 求和，得A的近似值,一、微元法,（4） 求极限，得A的精确值,提示,2、微元法的步骤,这个方法通常叫做微元法或元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,解,例 1,推广,解法二,解,体积元素为,例 2,二、定积分在物理上的应用,2、变力沿直线所作的功,3、水压力,4、引力,1、质量,图7.5.1,解,例 3,二、定积分在物理上的应用,1、质量,2、变力沿直线所作的功,解,
2、建立坐标系如图,例 4,这一薄层水的重力为,功元素为,(千焦),解 建立坐标系,第一次锤击时所作的功为,例5 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？,设 次击入的总深度为 厘米,次锤击所作的总功为,依题意知，每次锤击所作的功相等,次击入的总深度为,第 次击入的深度为,3、水压力,解,在端面建立坐标系如图,例 6,解,建立坐标系如图,任取,y,例 7,x,4、引力,解,建立坐标系如图,将典型小段近似看成质点,小段的质量为,例8,小段与质点的距离为,引力,水平方向的分力元素,由
3、对称性知，引力在铅直方向分力为,函数 在区间 上的平均值为,几何平均值公式,区间长度,三、平均值与均方根,解,设电阻为 ，,则电路中的电压为,功率,一个周期区间,平均功率,例 10,结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一,通常交流电器上标明的功率就是平均功率交流电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯上称为有效值,按定义有,有效值计算公式的推导,即,结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的,四、简单数学模型和求解,解,例 10,Malthus人口模型,例 11,Logistic人口模型,利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题,（注意熟悉相关的物理知识）,五、小结,函数的平均值,函数的有效值,（理解平均功率、电流的有效值等概念）,作 业 P345: 2, 4, 5, 6, 10, 12, 16. P330: 6, 7(4),练习,有一半径为的四分之一圆周，,线密度为,r,的均匀细丝，,在其圆心处,有一质量为,m,的质点，,计算该细丝对质点,的引力,解,建立坐标系如图,质量微元为,x,x+dx,引力微元,水平方向的分力微元,x,x+dx,于是,引力微元,水平方向的分力微元:,垂直方向的分力微元,
