1、1,5.4 奈奎斯特稳定判据,奈奎斯特稳定判据(简称奈氏判据)是根据开环频率特性曲线判断闭环系统稳定性的一种准则。具有以下特点 ：(1) 应用开环频率特性曲线就可以判断闭环稳定性。(2) 便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响。(3) 很容易研究包含延迟环节系统的稳定性。(4) 奈氏判据稍加推广还可用来分析某些非线性系统的稳定性。5.4.1 辅助函数F(s) 如图示的控制系统，G(s) 和H(s)是两个多项式之比,2,开环传递函数为,闭环传递函数为,把闭环特征多项式和开环特征多项式之比称之为辅助函数， 记作F(s)， F(s)仍是复变量s的函数。,=1 + Gk(s),3,显然，辅助函数和开
2、环传函之间只相差1。考虑到物理系统中，开环传函中m n，故F(s)的分子和分母两个多项式的最高次幂一样，均为n， F(s)可改写为：,F(s)具有如下特征：1）其零点和极点分别是闭环和开环特征根；2）零点和极点个数相同；3） F(s)和G(s)H(s)只相差常数1。,式中， zi和pi分别为F(s)的零点和极点。,4,F(s)曲线从B点开始，绕原点顺时针方向转了一圈。,F(s),B,5.4.2 幅角原理在 s 平面上任选一点 A 通过映射F(s)平面上F(A)。设s只包围zi ，不包围也不通过任何极点和其他零点。 从A点出发顺时针转一周回到A,5,幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点，
3、 P个F(s)的极点 ，则s 沿封闭曲线s 顺时针方向转一圈时，在F(s)平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数R为P和Z之差，即R = P ZN若为负，顺时针。,5. 4 . 3 奈氏判据（1）0型系统s为包围虚轴和整个右半平面。,s平面s 映射 F(s) 正虚轴 j (:0) F(j) ( : 0) 负虚轴 j (: 0) F(j) ( : 0) 半径的半圆 ( 1, j0)点,6,F(j)和G(j)H(j)只相差常数1。 F(j)包围原点就是G(j)H(j)包围(-1，j0)点。,对于G(j)H(j): 0 ，开环极坐标图；: 0，与开环极坐标图以轴镜像对称；F平面( 1, j0)
4、点就是GH平面的坐标原点。,7,奈氏判据：已知开环系统特征方程式在s 右半平面根的个数为P，开环奈氏曲线（ : 0 ）包围(1，j0)点的圈数为R，则闭环系统特征方程式在 s 右半平面根的个数为Z，且有Z = P R若Z=0，闭环系统是稳定的。若Z0，闭环系统是不稳定的。或当开环系统稳定时，开环奈氏曲线不包围( 1，j0)点时，则闭环系统是稳定的。当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线包围 (1，j0)点P圈时，闭环系统是稳定的。,8,例5-10 判断系统稳定性,（2） p = 0 ，R 2 z p R 2 0 闭环系统不稳定的。,解：由图知 （1）p = 0 且 R = 0闭环系统是稳定的。,9,
5、（3） p = 0 ，R 0 闭环系统是稳定的。,10,试用奈氏判据判断系统的稳定性。,例5-11 一单位反馈系统，其开环传函,当 = 0，Gk (j0) = k180 当 ，Gk (j) = 090, , = 0, k,解：已知 p = 1 频率特性,11,当 k 1 ，R= 1 z = p R = 0 闭环系统是稳定的 。当k 1 ， k 1 ，N = 0 ，z = p R = 1 闭环系统是不稳定的。,1,12,相应地，在GH平面上开环极坐标图在 =0时，小半圆映射到GH平面上是一个半径为无穷大，从= 0到= 0+顺时针旋转N 180 的大圆弧。如此处理之后，就可以根据奈氏判据来判断系统
6、的稳定性了。,0+,（2）开环有积分环节的系统,由于开环极点因子1/ s ，既不在的s 左半平面，也不在的s 右半平面，开环系统临界稳定。在这种情况下，不能直接应用奈氏判据。,如果要应用奈氏判据，可把零根视为稳定根。因此，在数学上作如下处理：在平面上的s=0邻域作一半径无穷小的半圆，绕过原点。,0,13,14,用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数，知 p = 0 （2）作开环极坐标图起点：Gk (j0) = 90 终点：Gk (j) = 0270 与坐标轴交点：,例5-12 已知系统的开环传函为,令虚部=0，得，,15,系统的开环极坐标图如图示：,R = 2 z = p R = 2
7、闭环系统是不稳定的 。,当,=0+,增补线,1,R = 0 z = p R= 0 闭环系统是稳定的 。,当,所作的增补线如虚线所示。, 1,16,(3) 由奈氏判据判稳的实际方法用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制从 0时的开环幅相曲线，然后按其包围(-1，j0 )点的圈数R（逆时针为正，顺时针为负）和开环传递函数在s 右半平面根的个数P，根据公式Z = P 2R 来确定闭环特征方程正实部根的个数，如果Z=0，闭环系统是稳定的。否则，闭环系统是不稳定的。如果开环传递函数包含积分环节，且假定个数为N，则绘制开环极坐标图后，应从 =0+对应的点开始，补作一个半径为 ，逆时针方向旋转N90的大圆
8、弧增补线，把它视为奈氏曲线的一部分。然后再利用奈氏判据来判断系统的稳定性。,17,重新做例5-10 判断系统稳定性。,（2） p = 0 ，R 1 z p 2R 2 0 闭环系统不稳定的。,解：由图知 （1）p = 0 且 R= 0闭环系统是稳定的。,18,（3） p = 0 ，R 0 闭环系统是稳定的 。,19,例5-13 已知系统的开环传函为,起点： Gk(j0) = 270 终点： Gk(j) = 090 与坐标轴交点： x =101/2 Re(x) = 0.1k 开环极坐标图如图,用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数知p = 1 （2）作开环极坐标图,20,=0,增补线,1,
9、0.1k,(3) 稳定性判别: 因为是1型系统，需作增补线如图,当 0.1k 10时， R =1/2，z = p 2R = 0 闭环系统是稳定的。,21,5.4.4 伯德图上的稳定性判据,由图可知，幅相曲线不包围(1，j0)点。此结果也可以根据 增加时幅相曲线自下向上(幅角减小)和自上向下(幅角增加)穿越实轴区间(，1)的次数决定。R = N N,自实轴区间（，1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴区间（，1）开始向上的穿越为半次负穿越。,22,对数频率稳定判据： 一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根个数Z，可以根据开环传递函数s 右半平面极点数P 和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围
10、内，对数相频特性曲线与1802k 线的正负穿越次数之差R = N N确定Z = P 2R,Z为零，闭环系统稳定；否则，不稳定。,23,例5-14 一反馈控制系统其开环传递函数,解： 由开环传递函数知 P = 0 ，作系统的开环对数频率特性曲线,1/T,40dB/dec,60dB/dec,270,辅助线,用对数稳定判据判断系统稳定性。,24,显见 N = 0，N =1 R = N N = 1 Z = P 2R = 2 故系统不稳定。,G(s)H(s)有两个积分环节N =2 ，故补画了0到180的辅助线。,25,例5-15 一反馈控制系统其开环传递函数,解： 由开环传递函数知 P = 1 。 作系
11、统的开环对数频率特性曲线。 () = 90 + arctanT2 (180 arctanT1 ),（T1T2）,当() = 180时，g =(1/T1T2)1/2 ，A(g)=kT2 稳定性判别。 G(s)H(s)有一个积分环节N =1 ，故补画了180到270的辅助线。,用对数稳定判据判断系统稳定性。,26,1/T1,40dB/dec,270,1/T2,20dB/dec,20dB/dec,90,g,c,（T1T2）,27,() 当g 1，N = 1，N =1/2 R = N N = 1/2 Z = P 2R = 0 故系统稳定。 () 当g c 时，即A(g) 1，N = 0，N =1/2 R = N N = 1/2 Z = P 2R = 2 故系统不稳定。,
