1、1技巧训练（六）圆中常见辅助线的作法类型 1 连半径构造等腰三 角形作圆的半径，利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形，这样就把有关线段或角的问题转 化到三角形中 来解答.1.（2017泰安）如图，ABC 内接于O.若A，则OBC 等于（ D）A.1802 B.2 C.90 D.90第 1 题图 第 2 题图2.如 图，O 的直径 AB 与弦 CD 的延长线交于点 E.若 DEOB，AOC84，则E 等于（ B）A.42 B.28 C.21 D.20类型 2 与垂径定理有关的辅助线在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段或连接弧的中点与圆心，再连接半径构成直角三角形，利用勾股
2、定理或锐角三角函数进行计算.3.（2018枣庄）如图，AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP2，BP6，APC30，则 CD 的长为（ C）A. B.2 C.2 D.815 5 15第 3 题图 第 4 题图4.（2018威海）如图，O 的半径为 5，AB 为弦，点 C 为 的中点.若ABC30，则弦 AB 的长为（ D）AB A. B.5 C. D.512 532 3类型 3 与圆周角定理及其推论有关的辅助线（1）遇到直径时，常构造直径所对的圆周角，这 是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆（或直径）所对的圆周角是直角”这一性质；（2）遇 90的圆周角时，常连接圆周角的两边
3、与圆的交点，得到直径.5.（2018白银、武威、张掖）如图，A 过点 O（0，0） ，C（ ，0） ，D（0，1） ，点 B 是 x 轴下方A 上的一点，3连接 BO，BD，则OBD 的度数是（ B）A.15 B.30 C.45 D.602第 5 题图 第 6 题图6.如图，在半径为 3 的O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 AC，BD.若 AC2，则 tanD 的值是（ A）A.2 B. C. D.2223 24 13类型 4 与切线的性质有关的辅助线已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造 直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题.7.（2018泰安
4、）如图，BM 与O 相切于点 B.若MBA140，则ACB 的 度数为（ A）A.40 B.50 C.60 D.70类型 5 与切线的判定有关的辅助线证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“dr”进行判断，辅助线的作法是过 圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径.8.如图，ABC 是O 的内接三角形，AB 为直径，过点 B 的切线与 AC 的延长线交于点 D.E 是 BD 中点，连接 CE.求证：CE 是O 的切线.证明：连 接 CO，OE.AB 为O 的直径.ACB90.BCD90.E 是 BD 中点，C
5、EBE BD.12又OCOB，OEOE，COEB OE（ SSS）.OCEOBE.BD 为O 的切线.OBE90.3OCE90.又OC 是O 的半径，CE 是O 的切线.9.（2017绥化）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AEBC 于点 E，ADC 的平分线交 AE 于点 O，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆经过点 B，交 BC 于另一点 F.（1）求证：CD 与O 相切；（2）若 BF24，OE 5，求 tanABC 的值.解：（1）证明：过点 O 作 OGDC，垂足为 G.ADBC，AEBC，OAAD.DO 平分ADC，OAAD，DGDC.OAOG.OG 是O 的半径，DC 是O
6、的切线 .（2）连接 OF.OABC，BEEF BF12.12在 RtOEF 中，OE5，EF12.OF 13.OE2 EF2AEOAOE13518. tanABC .AEBE 32类型 6 与三角形内切圆有关的辅助线遇到三角形的内切圆时，连接内心与三角形各顶点，利用内心的性质进行有关计算.10.（2018威海）在扇形 CAB 中，CDAB，垂足为 D，E 是ACD 的内切圆，连接 AE，BE，则AEB 的度数为 135.类型 7 与圆中阴影部分面积的计算有关的辅助线当圆中阴影部分为不规则图形时，可以通过添辅助线把不规则的图形等积替换为规则图形，从而利用和差法求得面积.11.如图，A 是半径为 2 的O 外一点，OA4，AB 是O 的切线，B 为切点，弦 BCOA，连接 AC，则阴影部分的面4积为 .23
