1、第二章 DIERZHANG几个重要的不等式1 柯西不等式课后篇巩固探究A 组1.若 a2+b2=2,则 a+b 的最大值为( )A.1 B. C.2 D.42解析:由柯西不等式可得(a 2+b2)(12+12)(a+b) 2,即(a+b )24,当且仅当 a=b=1 时等号成立,所以-2a+b2,即 a+b 的最大值为 2.答案:C2.若 x2+y2+z2=1,则 x+y+ z 的最大值等于( )2A.2 B.4 C. D.82解析:由柯西不等式可得1 2+12+( )2(x2+y2+z2)( x+y+ z)2,即( x+y+ z)24,当且仅当 x= ,y= ,z=2 2 212 12时等号
2、成立,因此 x+y+ z2,即 x+y+ z 的最大值等于 2.22 2 2答案:A3.设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=9,则 的最小值为( )4+9+16A.81 B.49 C.9 D.7解析:由柯西不等式可得 (a+b+c) 81=9,当4+9+16=19 (4+9+16)19(2+3+4)2=19且仅当 ,即 a=2,b=3,c=4 时等号成立,故所求最小值为 9.2=3=4答案:C4.函数 y= +2 的最大值是( )-5 6-A. B. C.3 D.53 5解析:根据柯西不等式,知 y=1 +2-5 6- ,12+22( -5)2+( 6-)2=5当且仅当 =2 ,即 x=
3、 时,等号成立.6- -5265答案:B5.设 a,bR,且 a2+b2=5,则 3a+b 的最小值为( )A.5 B.-52 10C.-50 D.-5 2解析:令 =(a,b),=(3,1),则 =3a+b,|= ,|= .2+2=5 10由柯西不等式的向量形式可得| |,所以| 3a+b| =5 ,当且仅当 a= ,b= 时510 2322 22等号成立,因此-5 3a+b5 ,即 3a+b 的最小值为-5 .2 2 2答案:D6.设 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=9,则 的最小值为 . 2+2+2解析:因为(a+b+c) =( )2+( )2+( )2(2+2+2) ( 2)2+
4、( 2)2+( 2)2( 2+=18,当且仅当 a=b=c=3 时等号成立,所以 2,故 的最小值为 2. 2+ 2)2 2+2+2 2+2+2答案:27.设 a,b,c,d,m,n 都是正实数,P= ,Q= ,则 P 与 Q 的大小关系是 . + +解析:P= + ( )2+( )2 ( )2+( )2= =Q 当且仅当 时,等号成立 .+ ( = )答案:PQ8.已知 a,b,m,n 均为正实数,且 a+b=1,mn=2,则( am+bn)(bm+an)的最小值为 . 解析:由柯西不等式,得(am+bn)(bm+an) ( )2=mn(a+b)2=2,当且仅当 m=n= 时,等 + 2号成
5、立.故(am+bn)( bm+an)的最小值为 2.答案:29.已知 a,b,c 为正实数,且满足 acos2+bsin20,2-b0,所以 =2,当且仅当 a=b=1 时22-+22- 4(2-)+(2-)等号成立.故原不等式成立.B 组1.若实数 x+y+z=1,则 2x2+y2+3z2的最小值为( )A.1 B.6 C.11 D.611解析: (2x2+y2+3z2)(12+1+13) ( 212+1+313)2=(x+y+z)2=1, 2x2+y2+3z2 ,当且仅当 x= ,y= ,z= 时,等号成立.112+1+13=611 311611211 2x2+y2+3z2的最小值为 .6
6、11答案:D2.若长方形 ABCD 是半径为 R 的圆的内接长方形,则长方形 ABCD 周长的最大值为( )A.2R B.2 R C.4R D.4 R2 2解析:如图,设内接长方形 ABCD 的长为 x,则宽为 ,于是 ABCD 的周长 l=2(x+ )42-2 42-2=2(1x+1 ).42-2由柯西不等式得 l2x 2+( )2 (12+12 =22R =4 R,当且仅当 x1= 1,即42-212 )12 2 2 42-2x= R 时等号成立.2此时 R,即四边形 ABCD 为正方形,故周长为最大的内接长方形是42-2=42-( 2)2=2正方形,其周长为 4 R.2答案:D3.已知
7、a,b,c 为正实数,且 a+2b+3c=9,则 的最大值等于 ( )3+2+A. B. C.13 D.1839 13解析: ,当且仅当 a= ,b=3+2+=3+2+133(3+1+13)(+2+3)=39 8113,c= 时等号成立,故最大值为 .2726313 39答案:A4.设 a,b,c 为正数,则( a+b+c) 的最小值是 . (4+9+36)解析:(a+b+c) =( )2+( )2+( )2(4+9+36) (2)2+(3)2+(6)2 =(2+3+6)2=121.(2+3+6)2当且仅当 时等号成立.2=3=6答案:1215.已知 a,bR +,且 a+b=1,则 的最小值
8、是 . 12+1解析:因为 a,bR +,且 a+b=1,所以 =(a+b) ,由柯西不等式得(a+b)12+1 (12+1),当且仅当 且 a+b=1,即 a= -1,b=2- 时,(12+1)( 12+ 1)2=(22+1)2=32+2 =2 2 2取最小值 .12+1 32+2答案:32+26.已知 x2+y2=2,且|x| |y|,求 的最小值.1(+)2+ 1(-)2解令 u=x+y,v=x-y,则 x= ,y= .+2 -2 x2+y2=2, (u+v)2+(u-v)2=8, u2+v2=4.由柯西不等式,得 (u2+v2)4,(12+12)当且仅当 u2=v2=2,即 x= ,y
9、=0 或 x=0,y= 时, 的最小值是 1.2 21(+)2+ 1(-)27. 导学号 35664034 已知 x,y,zR ,且 x-2y-3z=4,求 x2+y2+z2的最小值.解由柯西不等式得x+ (-2)y+(-3)z21 2+(-2)2+(-3)2(x2+y2+z2),即(x-2y- 3z)214(x 2+y2+z2),所以 1614(x 2+y2+z2).因此 x2+y2+z2 ,当且仅当 x= ,即当 x= ,y=- ,z=- 时,x 2+y2+z2的最小值为 .87 -2=-3 27 47 67 878. 导学号 35664035 求函数 y= 的最小值.2-2+3+2-6+14解 y= .(-1)2+2+(3-)2+5根据柯西不等式,有 y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2 (x-1) 2+2+(3-x)(-1)2+2(3-)2+52+5+2(x-1)(3-x)+ =(x-1)+(3-x)2+( )2=11+2 .10 2+5 10当且仅当 (x-1)= (3-x),即 x= 时,等号成立.5 232+52+5此时 ymin= +1.11+210=( 10+1)2=10
