1、2.3.1双曲线及其标准方程(1),1. 椭圆的定义,2. 引入问题：,复习,|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0)画板演示,如图(A)，,|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a,如图(B)，,上面 两条合起来叫做双曲线,由可得：,| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）,|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a,问题1 类比椭圆的定义，你能给出 双曲线的定义吗？,双曲线图象,拉链画双曲线, 两个定点F1、F2双曲线的焦点;, |F1F2|=2c 焦距.,（1）2a2c ；,平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线
2、.,（2）2a 0 ；,双曲线定义,|MF1|-|MF2|=2a ( 2a2c),注意,若2a = 0,则图形是什么?,问题2（1）:定义中为什么要强调差的绝对值？,双曲线右支,双曲线左支,问题2(2):定义中为什么这个常数要小于|F1F2|？ 如果不小于|F1F2 | ，轨迹是什么？,若2a=2c,则轨迹是什么？,若2a2c,则轨迹是什么？,若2a=0,则轨迹是什么？,此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线,此时轨迹不存在,此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线,问题4、类比求椭圆标准方程的方法，思考如何建立适当的坐标系求双曲线标准方程？,双曲线的标准方程,求曲线方程的步骤：,1.建系:,2.设
3、点:,设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0),3.列式:,|MF1| - |MF2|=2a,4.化简:,此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程,若建系时,焦点在y轴上呢?,看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上.-”焦点跟着正项走”,问题3:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？,课堂练习4 判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。,先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。,总结经验,问题4:双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何异同点?,F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,|MF1|MF2|=2
4、a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,课堂练习：,1、已知点F1(- 8, 3 )、F2(2 ,3)，动点P满足 |PF1| - |PF2|= 10，则P点的轨迹是( ),A、双曲线 B、双曲线一支C、直线 D、一条射线,2、若椭圆 与双曲线的焦点相同,则 a =,3,D,讨论：,当 取何值时，方程 表示椭圆，双曲线，圆 。,解：由各种方程的标准方程知，,当 时方程表示的曲线是椭圆,当 时方程表示的曲线是圆,当 时方程表示的曲线是双曲线,例1 已知方程 表示双曲线， 求 的取值范围。,分析：由双曲线的标准方程知该双曲线焦点可能在 轴也可能在 轴，故而只要让 的系数异号即
5、可。,练习：已知方程 表示双 曲线， 求m的取值范围,例2、已知双曲线 上一点,P到,双曲线的左焦点的距离为16，则它到右焦点,的距离为 .,4或28,拓展延伸,.已知F1、F2为双曲线 的左，右焦点，直线L过F1 ，交双曲线左支于M, N两点，若|MN|= , 求MF2N的周长.,7,m,变式训练,求适合下列条件的双曲线的标准方程,（1）焦点在x轴上， ，,（2）焦点(0，6),(0，6),经过点（2，5）,问题5：用待定系数法求标准方程的步骤是什么？,1、定位：确定焦点的位置； 2、设方程 3、定量：a,b,c的关系,焦点在x轴上:,焦点在y轴上:,例4 、已知双曲线的焦点在y轴上，并且双
6、曲线上两点P1、P2的坐标分别为（1， ）、（ ），求双曲线的标准方程.,设双曲线方程为mx2+ny21(mn0)， 则解得 所求方程为,拓展训练 求过点 且焦点在坐标轴上的 双曲线标准方程.,若已知双曲线上两点，通常设方程为mx2+ny2=1(mn0),这种设法比设双曲线的标准方程计算更简便，也避免了讨论双曲线的焦点位置,例5、已知 两地相距 ，在 地听到炮弹爆炸声比在 地晚 ，且声速为 ，求炮弹爆炸点的轨迹.,分析：依题意有，爆炸地点距 两地的距离差值为一个定值，故而可知，爆炸点在以 为焦点的双曲线上，又在 地听到的晚，所以爆炸点离 较远，应是靠近 的一支。,变式训练 相距2000m的两个哨所A、B，听到远处传来的炮弹的爆炸声。已知当时的声速是330m/s,在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到时迟4s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程。,拓展延伸,解: 在ABC中,|BC|=10，,故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支,又因c=5，a=3，则b=4,则顶点A的轨迹方程为,(x0),例7、求与圆： 和圆： 都外切的圆的圆心的轨迹方程,(x0),课时小结,
