1、- 1 -习题课 离散型随机变量的均值学习目标 1.进一步熟练掌握均值公式及性质.2.能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题1对均值的再认识(1)含义：均值是离散型随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平(2)来源：均值不是通过一次或多次试验就可以得到的，而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值(3)单位：随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位(4)与平均数的区别：均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数2均值的性质X 是随机变量，若随机变量 aX b(a， bR)，则 E( ) E(aX b) aE(X) b.类型一 放回与不放回问题的均值例 1
2、在 10 件产品中有 2 件次品，连续抽 3 次，每次抽 1 件，求：(1)不放回抽样时，抽取次品数 的均值；(2)放回抽样时，抽取次品数 的均值反思与感悟 不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算跟踪训练 1 甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有 m 个球，乙袋中- 2 -共有 2m 个球，从甲袋中摸出 1 个球为红球的概率为 ，从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为25P2.(1)若 m10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出 1 个红球的概率是 ，求 P2的值；13(3)设 P2 ，若从甲、乙两袋中各自有放回
3、地摸球，每次摸出 1 个球，并且从甲袋中摸 1 次，15从乙袋中摸 2 次设 表示摸出红球的总次数，求 的概率分布和均值类型二 与排列、组合有关的分布列的均值例 2 如图所示，从 A1(1,0,0)， A2(2，0,0)， B1(0,1,0)， B2(0,2,0)， C1 (0，0,1)，C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点，将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体” ，记该“立体”的体积为随机变量 V(如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积 V0)- 3 -(1)求 V0 的概率；(2)求均值 E(V)反思与感悟 解此类题的关键是搞清离散型随机变量
4、 X 取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出 X 取每个值时的概率，利用均值的公式便可得到跟踪训练 2 某地举办知识竞赛，组委会为每位选手都备有 10 道不同的题目，其中有 6 道艺术类题目，2 道文学类题目，2 道体育类题目，每位选手从给定的 10 道题中不放回地随机抽取 3 次，每次抽取一道题，回答完一道题后，再抽取下一道题进行回答(1)求某选手在 3 次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；(2)求某选手抽到体育类题目的次数 X 的均值- 4 -类型三 与互斥、独立事件有关的分布列的均值例 3 某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核每个项目只有一次补考机
5、会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是 ，外语考核合格的概率是 ，假设每一次考核是否合格互不影响12 23假设该生不放弃每一次考核的机会用 表示其参加补考的次数，求随机变量 的均值反思与感悟 若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率跟踪训练 3 甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，没有和13 23棋，采用五局三胜制，规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数 X 的均值- 5 -类型四 均值的实际应用例 4 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有
6、关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆，统计数据如下：品牌 甲 乙首次出现故障时间 x/年 02 02轿车数量/辆 2 3 45 5 45每辆利润/万元 1 2 3 1.8 2.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2，分别求 X1， X2的概率分布；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，因此只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度
7、考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？请说明理由- 6 -反思与感悟 解答概率模型的三个步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的概率分布，计算随机变量的均值(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论跟踪训练 4 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2
8、)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X，求 X 的概率分布和均值- 7 -1某一供电网络有 n 个用电单位，每个单位在一天中用电的机会是 p，供电网络中一天平均用电的单位个数是_2今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为 0.9 和 0.85，设发现目标的雷达台数为 X，则 E(X)_.3已知随机变量 的概率分布为 1 0 1P 12 13 m若 a 3， E( ) ，则 a_.734两封信随机投入 A、 B、 C 三个空邮箱中，则 A 邮箱的信件数 的均值 E( )_.5.现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下游戏规则
9、为：若小球最终落入 A 槽，得 10 张奖票；若落入 B 槽，得 5 张奖票；若落入 C 槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过 3 次(1)求投球一次，小球落入 B 槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量 X，求 X 的概率分布及均值- 8 -1实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计2概率模型的解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的概率分布，计算随机变量的均值(3)对照实际意义，回
10、答概率、均值等所表示的结论- 9 -答案精析题型探究例 1 解 (1)方法一 P( 0)C38C310 ，715P( 1) ，C12C28C310 715P( 2) .C2C18C310 115随机变量 的概率分布如下表： 0 1 2P 715 715 115E( )0 1 2 .715 715 115 35方法二 由题意知， P( k)Ck2C3 k8C310(k0,1,2)，随机变量 服从超几何分布， n3， M2， N10， E( ) .nMN 3210 35(2)由题意知 1 次取到次品的概率为 ，210 15随机变量 服从二项分布 B ，(3，15) E( )3 .15 35跟踪训练
11、 1 解 (1)设甲袋中红球的个数为 x，依题意得 x10 4.25(2)由已知，得 ，25m 2mP23m 13解得 P2 .310(3) 的所有可能值为 0,1,2,3.- 10 -P( 0) ，35 45 45 48125P( 1) C ，25 45 45 35 12 15 45 56125P( 2) C 2 ，25 12 15 45 35 (15) 19125P( 3) 2 .25 (15) 2125所以 的概率分布为 0 1 2 3P 48125 56125 19125 2125所以 E( )0 1 2 3 .48125 56125 19125 2125 45例 2 解 (1)从 6
12、 个点中随机选取 3 个点总共有 C 20 种取法，选取的 3 个点与原点在同36一个平面内的取法有 C C 12 种，因此 V0 的概率为 P(V0) .13341220 35(2)V 的所有可能取值为 0，16132343则 P(V0) ， P(V ) ，35 16 C3C36 120P(V ) ， P(V ) ，13 C23C36 320 23 C23C36 320P(V ) .43 C3C36 120因此 V 的概率分布如下表：V 0 16 13 23 43P 35 120 320 320 120E(V)0 35 16 120 13 320 23 320 43 120 .940跟踪训练
13、 2 解 从 10 道不同的题目中不放回地随机抽取 3 次，每次只抽取 1 道题，抽取方法的总数为 C C C .101918(1)某选手在 3 次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的方法数为 C C C ，161413- 11 -所以这位选手在 3 次抽取的题目中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率为 .C16C14C13C10C19C18 110(2)由题意可知 X 的取值可能为 0,1,2.则 P(X0) ，C18C17C16C10C19C18 715P(X1) ，C12C18C17C13C10C19C18 715P(X2) .C12C18C13C10C19C18 115故 X 的概率
14、分布如下表：X 0 1 2P 715 715 115E(X)0 1 2 .715 715 115 35例 3 解 的可能取值为 0,1,2.设该学生第一次，第二次身体体能考核合格为事件 A1， A2，第一次，第二次外语考核合格为事件 B1， B2，则 P( 0) P(A1B1) ，12 23 13P( 2) P( 1A2 1 B2) P( 1A2 1 2)A B A B B (112) 12 (1 23) 23 (1 12) 12 (1 23) (1 23) .112根据分布列的性质可知，P( 1)1 P( 0) P( 2) .712所以其概率分布如下表： 0 1 2P 13 712 112E
15、( )0 1 2 .13 712 112 34跟踪训练 3 解 由题意， X 的所有可能值是 3,4,5.则 P(X3)C ( )3C ( )3 ，313 3 23 13- 12 -P(X4)C ( )2 C ( )2 ，2313 23 13 23 23 13 23 1027P(X5)C ( )2( )2 C ( )2( )2 .2413 23 13 24 23 13 23 827所以 X 的概率分布如下表：X 3 4 5P 13 1027 827所以 E(X)3 4 513 1027 827 .10727例 4 解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A，则 P(A) .
16、2 350 110(2)依题意得 X1的概率分布如下表：X1 1 2 3P 125 350 910X2的概率分布如下表：X2 1.8 2.9P 110 910(3)由(2)得 E(X1)1 2 3 2.86(万元)， E(X2)125 350 910 143501.8 2.9 2.79(万元)因为 E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车110 910跟踪训练 4 解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A，则 P(A) .56 45 34 12(2)依题意，得 X 所有可能的取值是 1,2,3，又 P(X1) ， P(X2) ， P(X3)16 56 15 16 1 .56 45
17、 23所以 X 的概率分布为X 1 2 3P 16 16 23所以 E(X)1 2 3 .16 16 23 52当堂训练- 13 -1 np 2.1.75 3.2 4.235解 (1)由题意可知投一次小球，落入 B 槽的概率为( )2( )2 .12 12 12(2)落入 A 槽的概率为( )2 ，12 14落入 B 槽的概率为 ，12落入 C 槽的概率为( )2 .12 14X 的所有可能取值为 0,5,10，P(X0)( )3 ，14 164P(X5) ( )2 .12 14 12 14 12 2132P(X10) ( )2 .14 14 14 14 14 2164所以 X 的概率分布为X 0 5 10P 164 2132 2164E(X)0 5 10 .164 2132 2164 10516
