1、第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,1.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的_ _，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的_ _构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.,有序数对,(x，y),有序数,对(x，y),2.二元一次不等式所表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式_在平面直角坐标系中 表示_某一侧所有点组成的_，把直线画成 _，以表示区域不包括边界.当在坐标系中画不等式 Ax+By+C0所表示的平面区域时，此区域应包括边界，把边界 画成_.,Ax+By+C0,Ax+By+C=0,平面区域,虚线,实线,(2)二元一次不等式所表示
2、的平面区域可用_进行验证，任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式.若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域.通常情况下，只要原点不在直线上，就可以选择原点作为特殊点进行检验.,特殊点法,3.线性规划的有关概念,不等式(组),不等式(组),解析式,一次,(x,y),可行解,最大值或最小值,最大值,最小值,4.解线性规划问题的一般步骤 (1)在平面直角坐标系中画出_. (2)分析_的几何意义，将目标函数进行变形. (3)确定_. (4)求出_. 5.常见的三种目标函数 (1)z=ax+by. (2)z=(x-a)2+(y-b)2. (
3、3),可行域,目标函数,最优解,最值或范围,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)不等式Ax+By+C0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.( ) (2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.( ) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( ),(5)目标函数z=ax+by(b0)中，z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.( ) (6)目标函数z=(x-a)2+(y-b)2的几何意义是点(x,y)与(a,b)的距离.( ) 【解析】(1)错误.不等式Ax+By+C0表示
4、的平面区域也可能在直线Ax+By+C=0的下方，这要取决于A与B的符号. (2)错误.不一定，如果二元一次不等式组的解集为空集，它就不表示任何区域.,(3)正确.当目标函数对应的直线与可行域的某一条边界直线平 行时，最优解可能有无数多个. (4)正确.线性目标函数都是通过平移直线，在与可行域有公共 点的情况下，分析其在y轴上的截距的取值范围，因此其取得 最值的点一定在可行域的顶点或边界上. (5)错误.由ax+by-z=0可得 所以 才是该直线在 y轴上的截距. (6)错误.其几何意义应该是点(x,y)与(a,b)的距离的平方. 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6),1.若点(
5、m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域内，则m的取值范围是( ) (A)m1 (B)m1 (C)m1 【解析】选D.依题意有2m+3-50，解得m1.,2.若x,y满足约束条件 则z=3x-y的最小值是( )(A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5,【解析】选C.z=3x-yy=3x-z,作出可行域，由图可知过A点时z取最小值，把点A(0,4)代入，可得z=-4.,3.已知点P(x,y)的坐标满足条件 则x2+y2的最大值为 ( ) (A) (B) (C)8 (D)10 【解析】选D.画出不等式组对应的可 行域如图所示：易得A(1，1)， B(2，2)， C(1，3)， 故|O
6、P|的最大值为 即x2+y2的最大 值等于10，故选D.,4.某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( ) (A)2 000元 (B)2 200元 (C)2 400元 (D)2 800元,【解析】选B.设甲型货车使用x辆， 乙型货车使用y辆.则所花运费为z=400x+300y.画出可行域(如图)， 由图可知当直线z=400x+300y经过 点A(4,2)时，z取最小值，最小值 为zmin=2 200，故选B.,5.
7、不等式组 表示的平面区域的面积为_.【解析】该不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，其面积等于答案：9,考向 1 平面区域的相关问题 【典例1】(1)(2013宁波模拟)在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是( )(A) (B)4 (C) (D)2,(2)(2012福建高考)若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件 则实数m的最大值为( )(A) (B)1 (C) (D)2 【思路点拨】(1)先画出不等式组所表示的平面区域，判断其形状并求其面积. (2)画出不等式组所表示的平面区域，然后结合指数函数y=2x的单调性及图象特征确定区域边界点的位置，从而求出m的值.,【规范
8、解答】(1)选B.画出 平面可行区域，可知该区域 是一个等腰直角三角形，且,(2)选B如图，当y=2x经过且只经过x+y-3=0和x=m的交点时，即三条曲线有唯一公共点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x+y-3=0上，由选项知，m的最大值为1,【互动探究】本例题(2)中，若约束条件中的m=0，那么当函数y=2x+h的图象上存在点满足约束条件时，实数h的取值范围是_. 【解析】画出可行域，由图形可知，当函数y=2x+h的图象经过点(0,3)和点(3,0)时，和区域只有一个公共点，此时h的值分别等于2和-8，因此要使函数图象上存在点满足约束条件，实数h的取值范围应是-8h2. 答案：-
9、8h2,【规律方法】平面区域问题的求解思路 求解平面区域与函数图象、曲线方程等一些综合问题时，要以数形结合思想方法为核心，充分利用函数图象与方程曲线的特征(增减性、对称性、经过的定点、变化趋势等)，与平面区域的位置和形状联系起来，对参数的取值情况分析讨论，进行求解.,【加固训练】若不等式组 表示的平面区域为M，当抛物线y2=2px(p0)与平面区域M有公共点时，实数p的取值范 围是( ) (A)(0,2 (B) (C) (D),【解析】选D.作出平面区域(如图)，可以求得A(1,2),B(2,1)，代入抛物线方程可得 所以,考向 2 线性规划的相关问题 【典例2】(1)(2013天津高考)设变
10、量x, y满足约束条件 则目标函数z=y-2x的最小值为( ) (A)-7 (B)-4 (C)1 (D)2,(2)(2013厦门模拟)设变量x,y满足约束条件： 则 的最大值为( ) (A) (B) (C)1 (D)不存在 (3)(2013大纲版全国卷)记不等式组 所表示 的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点，则a的取值 范围是 .,【思路点拨】(1)典型的线性规划问题，作出可行域，画出直线y-2x=0，通过截距，观察确定最优解. (2)非线性目标函数，借助斜率模型进行求解. (3)可行域已经确定，由目标函数表示的直线过定点(-1,0)，可以借助于斜率来解决.,【规范解答】(1)
11、选A.由z=y-2x，得y=2x+z.作出不等式组 对应的平面区域ABC.作直线y=2x，平移直线y=2x+z，由图 象知当直线经过点B时，y=2x+z的截距最小，此时z最小.由代入z=y-2x得z=3-25=-7.所以最小 值为-7.,(2)选B.画出可行域(如图)，又 表示(x,y)与定点 P(-2,0)连线的斜率，所以当(x,y)在点A(0,1)时 取到 最大值,(3)画出可行域如图所示, 当直线y=a(x+1)过点A(0,4)时,a取 得最大值为4,当直线y=a(x+1)过点 B(1,1)时,a取得最小值为 .所以 a的取值范围为 ,4. 答案: ,4,【互动探究】本例题(2)中，若约
12、束条件不变，将目标函数变为z=x2+2x+y2，则其最大值等于_.,【解析】由于z=x2+2x+y2=(x+1)2+y2-1 所 以它表示可行域内的点(x,y)与定点M(-1,0)之间距离的平方再 减去1.由图形可知，当点(x,y)在点B(2,1)时与点M的距离最 大，这时 所以z的最大值为答案：9,【规律方法】线性规划中的参数问题及其求解思路 (1)线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题. (2)解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优
13、解，从而确定参数的值. 【提醒】目标函数中出现类似的(x-a)2+(y-b)2形式时，应注意它是指点(x,y)与定点(a,b)之间的距离的平方，而不是两点间的距离.,【加固训练】(2013浙江高考)设z=kx+y，其中实数x,y满足若z的最大值为12，则实数k= .,【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 由z=kx+y可得y=-kx+z，知其在y轴上的 截距最大时，z最大，由图知当-k 且直线过点A(4,4)时，z取最大值12， 即4k+4=12，所以k=2. 答案：2,考向 3 线性规划的实际应用 【典例3】某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6
14、个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？,【思路点拨】设出午餐和晚餐的单位个数，列出不等式组和费用关系式，利用线性规划求解. 【规范解答】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元, 则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足即,作出线性约束条件所表示的可
15、行域,如图中阴影部分的整数点,让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值. 因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.,【规律方法】求解线性规划应用题的注意点 (1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号. (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x,y的取值范围，特别注意分析x,y是否是整数、是否是非负数等. (3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.,【变式训练】(2012南昌模拟)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨
16、；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨甲产品每吨利润为5万元，乙产品每吨利润为3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业的最大利润为_,【解析】设生产甲产品x吨，乙产品y吨，利润为z万元，由题意可得 目标函数为z5x3y，,作出如图所示的可行域(阴影部分)当直线5x3yz经过A(3,4)时，z取得最大值， zmax533427(万元).答案：27万元,【易错误区16】题意理解不到位而导致的易错问题 【典例】(2013广东高考)给定区域D： 令点集 T=(x0,y0)D|x0,y0Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值 或最小值的点，则T中的
17、点共确定 条不同的直线.,【解析】画出可行域如图所示. 由目标函数z=x+y即y=-x+z， 可知当目标函数与x+y=4重合时取 最大值,过A(0，1)时取最小值. 又因为x0,y0Z,即最优解为整数解，故满足条件的点有 (0，1)，(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0). 共6个点，又除(0，1)外其余5点共线，故6个点共确定6条不同直线. 答案：6,【误区警示】 1.处目标函数取最大与最小值时的点只看到最大值而漏掉最小值. 2.处不能正确理解题目中的整数点,从而不能求出相应的6个点.,【规避策略】 1.读清题意,正确理解题目所给信息的含义是解决问题的关键. 2.解决此类
18、问题时,由于字母较多,要逐一搞清每个字母的含义,防止审题不清,或审题不完整而漏解、错解等.,【类题试解】(2013滨州模拟)设不等式组 表示的平面区域为D.若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的 点，则a的取值范围是( ) (A)(1，3 (B)2，3 (C)(1，2 (D)3，+),【解析】选A.先画出可行域，如图所示，联系指数函数y=ax的图象可以看出，当图象经过区域的边界点A(2，9)时，a可以取到最大值，而只要a大于1，图象必然经过区域内的点. 因为A(2，9)，所以9=a2,所以a=3，所以1a3.,1.(2013湖南高考)若变量x,y满足约束条件 则x+2y的最大值是( ),【解
19、析】选C.作出不等式组 表示的平面区域， 得到如图的ABC及其内部，其 中A(- ,-1),B( ),C(2,-1). 设z=x+2y,将直线l:z=x+2y进行平移， 当l经过点B时，目标函数z达到最大值, 所以z最大值=,2.(2013杭州模拟)如果不等式组 表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为( ) (A) 或 (B) 或 (C) 或 (D) 或,【解析】选C.有两种情形：(1)直角由y=2x与kx-y+1=0形成， 则 三角形的三个顶点为(0，0)，(0，1)， 面积 为 (2)直角由x=0与kx-y+1=0形成，则k=0，三角形的三个顶 点为(0，0)，(0，1)， 面
20、积为,3.(2013衢州模拟)已知点M(x,y)满足 若ax+y的最小值为3，则a的值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,【解析】选C.由各选项知a取正值，设ax+y=z，结合图形易得当直线y=-ax+z过点(1,0)时，ax+y取得最小值，故a=3，选C.,4.(2013嘉兴模拟)设x,y满足约束条件 则的最大值为 ( ) (A)5 (B)6 (C)8 (D)10,【解析】选D.画出可行域(如图)，表示可行域中 的点(x,y)与点M(-1,-1)连线 斜率的2倍，由图形可知，当 可行域中的点取在A(0,4)时， 连线斜率最大，为 故 的最大值等于10.,5.(2013北京高考)设D为不等式组 表示的平 面区域，区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值 为 .,【解析】不等式组表示的平面区域如图 所示，可得点(1，0)到区域D上点的最 小距离即是点(1，0)到直线2x-y=0的 距离， 答案：,
