1、2.4.2抛物线的几何性质(一),第2章 2.4抛物线,1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何 性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 抛物线的几何性质,思考 1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y22px(p0)的范围、对称性、顶点坐标吗？,答案,范围x0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0),思考 2参数p对抛物线开口大小有何影响？,答案,参数p(p0)对抛物线开口大小的影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大,梳理,x0，yR,x0，yR,
2、xR，y0,xR，y0,x轴,1,(0,0),y轴,知识点二 焦点弦,设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：,题型探究,例1已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程,类型一 由抛物线的几何性质求标准方程,解答,由题意设抛物线方程为y22mx(m0)，,所以AB2|m|.因为OAB的面积为4，,引申探究等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是_,答案,解析,4p2,因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所
3、以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.,所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，2p),用待定系数法求抛物线标准方程的步骤(1)定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向(2)设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程(3)寻关系：根据条件列出关于p的方程(4)得方程：解方程，将p代入所设方程为所求,反思与感悟,跟踪训练1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线的方程,解答,设抛物线的方程为y22ax(a0)，点P(x0，y0)因为点P到对称轴距离为6，所以y06.因
4、为点P到准线距离为10，,所以所求抛物线的方程为y24x或y236x.,因为点P在抛物线上，所以362ax0， ,例2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求AB的值；,类型二 抛物线的焦点弦问题,解答,因为直线l的倾斜角为60，,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25.,x1x2p，所以AB538.,(2)若AB9，求线段AB的中点M到准线的距离,解答,设A(x1，y1)，B(x2，y2)由抛物线定义知，,所以x1x26，所以线段AB的中点M的横坐标是3.,反思与感悟,(1)抛物线的焦半径,P(x0，y0)为抛物线上一点，F
5、为焦点,(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y22px(p0)焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ABx1x2p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1x2即可,跟踪训练2已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且AB p，求AB所在直线的方程,解答,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到准线的距离分别为dA，dB.由抛物线的定义知，,所以直线AB与Ox不垂直,解得k2，,类型三 抛物线在实际生活中的应用,例3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m
6、，载货后船露出水面的部分为0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？,解答,如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系,当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，,又知船面露出水面的部分为0.75 m，所以h|yA|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航,反思与感悟,涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解,跟踪训练3如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水
7、面宽度为10米若洪水到来时，水位从警戒线开始以每小时0.2米的速度上升，再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为原点O),解答,设所求抛物线的方程为yax2.设D(5，b)，则B(10，b3)把D、B的坐标分别代入yax2，,b1，拱桥顶O到CD的距离为1，,即再持续5小时到达拱桥顶,当堂训练,1,2,3,4,5,1.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(5，2 )到焦点的距离是6，则抛物线方程为_.,答案,解析,y24x,又抛物线开口方向为x轴负方向，抛物线方程为y24x.,1,2,3,4,5,顶点在坐标原点，对称轴为y轴的抛物线的标准方程有两个：x22py，x22
8、py(p0).由顶点到准线的距离为4，得p8，故所求抛物线的标准方程为x216y或x216y.,2.顶点在坐标原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是_.,x216y,答案,解析,1,2,3,4,5,3.抛物线y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,4.过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则AB_.,答案,解析,8,易知抛物线的准线方程为x1，则线段AB的中点到准线的距离为3(1)4.由抛物线的定义易得AB8.,1,2,3,4,5,5.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).符合抛物线方程为y210x的条件是_.(要求填写合适条件的序号),答案,解析,1,2,3,4,5,设点P(2,1)，可得kPOkPF1，符合.而显然不符合，通过计算可知不符合.应填.,由抛物线方程y210x知，焦点在x轴上，符合.,规律与方法,1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2.抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用.,本课结束,
