1、第九章 二阶电路分析,由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要讨论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨论电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机程序分析高阶动态电路。,91 RLC串联电路的零输入响应,一、RLC串联电路的微分方程,图91 RLC串联二阶电路,为了得到图91所示RLC串联电路的微分方程，先列出KVL方程,根据前述方程得到以下微分方程,这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。,其特征方程为,其特征根为,零输入响应方程为,电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R，L，C的量值不同时，特征根可能出
2、现以下三种情况,1. 时， 为不相等的实根。过阻尼情况。,3. 时， 为共轭复数根。欠阻尼情况。,2. 时， 为两个相等的实根。临界阻尼情况。,二、过阻尼情况,当 时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式,式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uc(0) 确定。,对式(95)求导，再令t=0得到,求解以上两个方程，可以得到,由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。,例9-1 电路如图9-1所示，已知R=3,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求电容电压和电感电流
3、的零输 入响应。,解：将R，L，C的量值代入式（94）计算出固有频率,图91 RLC串联二阶电路,将固有频率s1=-2和s2=-4代入式（95）得到,利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值iL(0)=1A得到以下两个方程：,K1=6 K2=-4,最后得到电容电压的零输入响应为,利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响应,从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电路各元件的能量交换过程。,三、临界情况,当 时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实数s1=s2=s。齐次微分方程的解答具有下面的形式,式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。令
4、式(9-5)中的t=0得到,联立求解以上两个方程，可以得到,将 K1, K2的计算结果，代入式（98）得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。,对式(95)求导，再令得到,例9-2 电路如图9-1所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电 流的零输入响应。,解：将R，L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值,图91 RLC串联二阶电路,利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程,将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入式（98）
5、得到,得到电感电流的零输入响应,求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2，得到电容电压的零输入响应,根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形曲线，如图93所示。,(a) 电容电压的波形 (b) 电感电流的波形 图93 临界阻尼情况,四、欠阻尼情况,当 时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复数根，它们可以表示为,其中,齐次微分方程的解答具有下面的形式,式中,由初始条件iL(0)和uC(0)确定常数K1，K2后，得到电容电压的零输入响应，再利用KCL和VCR方程得到电感电流的零输入响应。,例9-3 电路如图9-1所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，
6、iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的 零输入响应。,解：将R，L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值,图91 RLC串联二阶电路,利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值iL(0)=0.28A得到以下两个方程,求解以上两个方程得到常数K1=3和K2=4，得到电容电压和电感电流的零输入响应:,将两个不相等的固有频率 s1=-3+j4 和 s2=-3-j4 代入式（911）得到,(a) 衰减系数为3的电容电压的波形 (b) 衰减系数为3的电感电流的波形 (c) 衰减系数为0.5的电容电压的波形 (d) 衰减系数为0.5的电感电流的波形图94 欠阻尼情况,用计算机程
7、序DNAP画出的波形曲线，如图94(a)和(b)所示,从式(9-11)和图9-4波形曲线可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。当例93中电阻由R=6减小到R=1，衰减系数由3变为0.5时，用计算机程序DNAP得到的电容电压和电感电流的波形曲线，如图94(c)和(d)所示，由此可以看出曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。,例9-4 电路如图9-1所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零
8、输入响应。,解：将R，L，C的量值代入式（94）计算出固有频率的 数值,图91 RLC串联二阶电路,将两个不相等的固有频率s1=j5和s2=-j5代入式（9-11）得到,利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下两个方程,求解以上两个方程得到常数K1=3和K2=1.4，得到电容电压和电感电流的零输入响应:,用计算机程序DNAP画出的电容电压和电感电流的波形曲线，如图95所示。,图95 无阻尼情况,从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为90，
9、当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。 从以上分析计算的结果可以看出，RLC二阶电路的零输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几种情况画在图96上。,图9-6,由图96可见：1. 在过阻尼情况，s1和s2是不相等的负实数，固有频率出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。2.在临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，固有频率出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出现在s平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数 越大，衰减越快。衰减振荡的角频率d 越大，振荡周期越小，振荡越快。,图中按Ke-t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。4.在无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，固有频率出现在s平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角频率为0的等幅振荡。显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。,
