1、过程一、知识结构:一元二次方程 、二、考点讲解考点一、概念(1)定义: 只含有一个未知数,并且 未知数的最高次数是 2,这样的 整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式: )0(2acbxa难点: 如何理解 “未知数的最高次数是 2”:该项系数不为“0” ;未知数指数为“2” ;若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。例题分析例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( )A B 123x 021xC D 02cba变式:当 k 时,关于 x 的方程 是一元二次方程。32xk例 2、方程 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的值为 013mx。巩固练习
2、1、方程 的一次项系数是 ,常数项是 。782x2、若方程 是关于 x 的一元二次方程,01m求 m 的值;写出关于 x 的一元一次方程。3、若方程 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的取值范围是 112xm。4、若方程 nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程,则下列不可能的是( ) 7、m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1点二、方程的解概念: 使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。应用: 利用根的概念求代数式的值; 例题分析例 1、已知 的值为 2,则 的值为 。32y142y例 2、关于 x 的一元二次方程 的一个根为 0,则 a 的值为 axa。例
3、3、已知关于 x 的一元二次方程 的系数满足 ,则此方程02cbbc必有一根为 。例 4、已知 是方程 的两个根, 是方程 的两个根,ba,42mxc, 0582my则 m 的值为 。巩固练习1、已知方程 的一根是 2,则 k 为 ,另一根是 。012kx2、已知关于 x 的方程 的一个解与方程 的解相同。2 31x求 k 的值; 方程的另一个解。3、已知 m 是方程 的一个根,则代数式 。012xm24、已知 是 的根,则 。a32a625、方程 的一个根为( )02cxbA B 1 C D 1cba6、若 。yx、yx324,0352考点三、一元二次方程的常见解法方法: 直接开方法;因式分
4、解法;配方法;公式法关键点: 降次类型一、直接开方法: mxmx,02注意:对于 , 等形式均适用直接开方法ax2 2nb例题分析例 1、解方程:=0 082x2165x例 2、若 ,则 x 的值为 。22169xx巩固练习1、下列方程无解的是( )A. B. C. D.123x02xx1320922、解方程:(1) (2)25 160 092x 2x类型二、因式分解法: 21x21,x或 方程特点: 左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0” , 方程形式: 如 , ,22nbxmaxcxabxa02x例题分析例 1、 的根为( )35xxA B C D 2 3,251x52x例 2、若
5、,则 4x+y 的值为 。0434yxyx变式 1: 。222,6b、aba变式 2:若 ,则 x+y 的值为 。03yx变式 3:若 , ,则 x+y 的值为 。142 282x例 3、方程 的解为( )062xA. B. C. D.21、x231x321、x21x例 4、解方程: 042xx例 5、已知 ,则 的值为 。0322yyx变式:已知 ,且 ,则 的值为 。22yx0yx巩固练习1、下列说法中:方程 的二根为 , ,则02qpx1x2 )(21xqpx . )4(86 3652aba )(2 yxyx方程 可变形为0713 0)713(正确的是 (填写序号) 2、以 与 为根的一
6、元二次方程是()A B C D06x062x062y2y3、写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为 1,且两根互为倒数: 写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为 1,且两根互为相反数: 4、若实数 x、y 满足 ,则 x+y 的值为( )023yxA、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 25、方程: 的解是 。12x6、已知 ,且 , ,求 的值。0622yxx0yyx3627、方程 的较大根为 r,方程0121982xx的较小根为 s,则 s-r 的值为 。0820x类型三、配方法 02acbxa 224acbx 配方法的一般步骤是:牢牢记住配方的关键是“添加的常
7、数项等于一次项系数一半的平方” (1)方程两边同除以二次项系数,将二次项系数化为 1;(2)移项,使方程左边为二次项、一次项,右边为常数项;(3)配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方,使方程左边为一个完全平方式,右边是一个常数的形式;(4)如果右边是非负数,两边直接开平方解这个一元二次方程在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。例题分析A、 试用配方法说明 的值恒大于 0。32xB、 已知 x、y 为实数,求代数式 的最小值。7422yxC、 已知 为实数,求 的值。、y013642yxD、 分解因式: 2x巩固练习1、试用配方法说明 的值恒小于 0。47
8、102x2、已知 ,则 .2xxx13、若 ,则 t 的最大值为 ,最小值为 。91232xt4、如果 ,那么 的值为 。4124bacba cba32类型四、公式法条件: 04,02acba且公式: ,x04,2acb且说明:对于二次三项式 的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,cxa2一般情况要用求根公式,这种方法首先令 =0,求出两根,再写成cbxa2= .cbxa2 )(21x分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去.例题分析例 1、选择适当方法解下列方程: .632x.863x0142x 04511例 2、在实数范围内分解因式:(1) ; (2) . 3x1
9、842x2254yx类型五、 “降次思想”的应用: 求代数式的值; 解二元二次方程组。例题分析例 1、 已知 ,求代数式 的值。0232x123x例 2、如果 ,那么代数式 的值。012x723x例 3、已知 是一元二次方程 的一根,求 的值。a0132x1523a例 4、用两种不同的方法解方程组)2(.0651,22yx说明:解二元二次方程组的具体思维方法有两种:先消元,再降次;先降次,再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想,即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式: acb42根的判别式的作用:定根的个数;求待定系数的值;应用于其它。例题分析例 1、若关于 的方程 有两
10、个不相等的实数根,则 k 的取值范围是 x012xk。例 2、关于 x 的方程 有实数根,则 m 的取值范围是( )2mxA. B. C. D.10、m011例 3、已知关于 x 的方程 022kx(1)求证:无论 k 取何值时,方程总有实数根;(2)若等腰 ABC 的一边长为 1,另两边长恰好是方程的两个根,求 ABC 的周长。 例 4、已知二次三项式 是一个完全平方式,试求 的值.2)6(92mxm例 5、 为何值时,方程组 有两个不同的实数解?有两个相同的实数解?m.3,2yx巩固练习1、当 k 时,关于 x 的二次三项式 是完全平方式。92kx2、当 取何值时,多项式 是一个完全平方式
11、?这个完全平方式是什么?4323、已知方程 有两个不相等的实数根,则 m 的值是 .022mx4、 为何值时,方程组k.0124,2yxk(1)有两组相等的实数解,并求此解;(2)有两组不相等的实数解;(3)没有实数解.5、当 取何值时,方程 的根与 均为有理数?k 042342 kmxx点五、方程类问题中的“分类讨论”例题分析例 1、关于 x 的方程 0321mx有两个实数根,则 m 为 ,只有一个根,则 m 为 。 例 2、不解方程,判断关于 x 的方程 根的情况。322kx例 3、如果关于 x 的方程 及方程 均有实数根,问这两方程02kx02kx是否有相同的根?若有,请求出这相同的根及
12、 k 的值;若没有,请说明理由。考点六、一元二次方程与实际应用“握手”问题;“利率”问题;“几何”问题;“最值”型问题;“图表”类问题例题分析1、五羊足球队的庆祝晚宴,出席者两两碰杯一次,共碰杯 990 次,问晚宴共有多少人出席?2、某小组每人送他人一张照片,全组共送了 90 张,那么这个小组共多少人?3、北京申奥成功,促进了一批产业的迅速发展,某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场,根据计划,第一年投入资金 600 万元,第二年比第一年减少 ,第三年比第二年减31少 ,该产品第一年收入资金约 400 万元,公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收21回,还要盈利 ,要实现这一目标,该产品收
13、入的年平均增长率约为多少?(结果精确到30.1, )61.4、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品,据市场分析,若按每千克 50 元销售,一个月能售出 500 千克,销售单价每涨 1 元,月销售量就减少 10 千克,针对此回答:(1)当销售价定为每千克 55 元时,计算月销售量和月销售利润。(2)商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下,使得月销售利润达到 8000 元,销售单价应定为多少?5、将一条长 20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。(1)要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?(2)两个正方形的面积
14、之和可能等于 12cm2 吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由。(3)两个正方形的面积之和最小为多少?6、A 、 B 两地间的路程为 36 千米.甲从 A 地,乙从 B 地同时出发相向而行,两人相遇后,甲再走 2 小时 30 分到达 B 地,乙再走 1 小时 36 分到达 A 地,求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提: 对于 ,当满足 、 时,才能用韦达定理。02cbxa0a主要内容: 2121,应用: 整体代入求值。例题分析例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 的两根,则这个直角三0782x角形的斜边是( ) A. B.3 C.6 D.3 6例 2、已知关于 x 的
15、方程 有两个不相等的实数根 ,012xk 21,x(1)求 k 的取值范围;(2)是否存在实数 k,使方程的两实数根互为相反数?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由。例 3、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为 1)时,小明因看错常数项,而得到解为 8 和 2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9 和-1 。你知道原来的方程是什么吗?其正确解应该是多少?例 4、已知 , , ,求 ba012a012bba变式:若 , ,则 的值为 。22ab例 5、已知 是方程 的两个根,那么 ., 012x34巩固练习1、解方程组 )2(51,32yx2已知 , ,求 的值。472a472b)(aba3、已知 是方程 的两实数根,求 的值。21,x092x 637231xx