1、第四章 线性系统的根轨迹法,4.1 根轨迹法的基本概念 4.2 根轨迹绘制的基本规则 4.3 广义根轨迹 4.4 系统性能的分析,第四章 线性系统的根轨迹法,本章要求 1、正确理解根轨迹的概念； 2、掌握根轨迹的绘制法则，能熟练绘制根轨迹； 3、了解广义根轨迹； 4、能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势； 5、掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。,自动控制原理课程的任务与体系结构, 4.1 根轨迹法的基本概念, 4.1 根轨迹法的基本概念,根轨迹法一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法。它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部数值关系的方法。1948年，由伊文思（W. R
2、. Evans）提出。根轨迹法的任务由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。,特点： （1）图解方法，直观、形象；（2）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化趋势； （3）近似方法，不十分精确。,根轨迹法是控制系统的三大分析校正方法之一。,4.1.1 根轨迹概念,根轨迹(root locus)简称根迹，它是开环系统某一参数（如开环增益）从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。, 4.1 根轨迹法的基本概念,4.1.1 根轨迹概念,根轨迹(root locus)简称根迹，它是开环系统某一参数（如开环增益）从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面
3、上的变化轨迹。,当变化的参数为开环增益时，所对应的根轨迹称为常规根轨迹；变化的参数为开环传递函数中的其他参数时，所对应的根轨迹为广义根轨迹。,例：系统结构图如图所示，分析l 随开环增益K变化的趋势。,解：,4.1.2 根轨迹与系统性能,系统性能：稳定性、稳态性能、动态性能。, 4.1.3 闭环零、极点与开环零、极点之间的关系,控制系统的一般结构如右图，相应的开环传递函数为 一般传递函数可写为,则,系统闭环 传递函数,由上式可以得到如下关系 1）闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益；对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益； 2）闭环零点由开环前向通路传递函数的
4、零点和反馈通路传递函数的极点所组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点； 3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 均有关。 根轨迹法的基本任务在于，如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。,根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的原则，可得绘制系统根轨迹的基本条件，即,幅值条件：,相角条件：,4. 1. 4 根轨迹方程,图示系统 ，闭环特征方程为,即,根轨迹方程,式中， 分别 代表所有开环零点、 极点到根轨迹上某一点的向量相角之和。,相角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件；当需要确定根轨上各点的值时，使用幅值条件。,注意,在实际应用中，用相角方程绘制根轨
5、迹， 而模 值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的 值。,模值方程不但与开环零、极点有关，与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。, 4.2 根轨迹绘制的基本规则,180根轨迹的绘制规则（ ）,规则1 根轨迹的起点和终点根轨迹起于系统开环极点，终于系统开环零点。如果开环零点数m小于开环极点数n，则有(n-m)条根轨迹趋向于无穷远。 规则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性 根轨迹的分支数与开环零点数m、开环极点数n中的大者相等，它们是连续的并且关于实轴对称。 根据根轨迹的对称性，只需要作出上半s平面的根轨迹，然后利用对称关系，即可画出下半
6、s平面的根轨迹。,规则3 根轨迹的渐近线(与实轴的交点和夹角) 当开环极点数 n 大于开环零点数 m 时，有n-m条趋向无限零点的根轨迹的走向。 （1）渐近线与实轴的倾角（2）渐近线与实轴的交点式中， 分别为开环系统的零点和极点。注：只有在 时，需要计算渐近线与实轴的交点和夹角。,规则4 根轨迹在实轴上的分布 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。,例：已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根迹。,-1，-2 右侧实零、极点数=3,-4，-6 右侧实零、极点数=7,解：无零点，有两个极点,其根轨迹有两条分支趋向无穷远 渐近线倾角：,例： ， 绘制根轨迹。
7、,渐近线与实轴只交点：,两条根轨迹分别从极点0、0.5出发 汇合于a点，然后分离，分别沿90，90的渐近线趋向无穷远。,规则5 根轨迹的分离点与分离角两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点（或会合点），它对应于特征方程中的二重根。分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向的夹角。,分离点坐标d：,分离角：,式中， 分别为开环系统的零点和极点; 为在s平面上相遇又立即分开的根轨迹的条数， 。,分离点,会合点,l=2时，分离角必为直角。,4.2 根轨迹的绘制法则,分离点（会合点）的坐标 由下列方程所决定,整理得,4.2 根轨迹的绘制法则,说明：用
8、分离点方程式求解后，需将所求结果代入特征方程式中验算。只有当与之对应的 值为正值时，这些分离点才是实际的分离点或会合点。,如果实轴上相邻开环极点之间存在根轨迹，则在此区间上必有分离点。如果实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，则在此区间上必有会合点。,4.2 根轨迹的绘制法则,规则6 根轨迹的起始角和终止角(开环极点的出射角和开环零点的入射角) 起始角 ：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角； 终止角 ：根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角。,根轨迹的出射角,根轨迹的入射角,出射角对复极点，入射角对复零点。,起始角：,例：起始角,终止角：,规则7 根轨迹与虚轴的交点当根轨迹增益K*
9、增加到一定数值时，根轨迹可能越过虚轴进入右半平面，出现实部为正的特征根。根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特征方程至少有一对共轭虚根。,根轨迹与虚轴交点的求法：,1）劳斯判据法应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K， 由K值求出相应的值。 2）代数法,把 代入特征方程,联立求解方程， 得根轨迹与虚轴的交点值和相应的临界K值。,例：系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点。,解：方法1代数法,解方程得：,将 代入系统闭环特征方程,方法2Routh判据法,Routh表：,S3 1 2 S2 3 k S1 0 S0 k 0,K=6时，S1行全为0,辅助方程：3S260 解方程得：,
10、规则8 闭环极点的和与积,为系统特征方程的系数,闭环极点之积：,闭环极点之和：,规则9 开环增益的求取,利用幅值条件，可以确定根轨迹上任一点所对应的K*值，也可在根轨迹上标出一些点的K*值。,4.2 根轨迹的绘制法则,根轨迹绘制法则归纳如下： （1）起点（ ）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。 （2）终点（ ）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点（包括 m 个有限零点和（n-m）个无限零点）。 （3）根轨迹数目及对称性。根轨迹数目为 ，根轨迹对称于实轴。 （4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是奇数。,4.2 根轨迹的绘制法则,（5）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程,4
11、.2 根轨迹的绘制法则,（9）根轨迹走向。如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。,（8）根轨迹与虚轴交点。把 代入特征方程式 ，即可解出交点处的临界 值和交点坐标。,起始角：,终止角：,例：已知单位反馈系统的开环传递函数， 试绘制根轨迹的大致形状。,解：开环极点：P1=0，P2=-3，P3=-1+j，P4=-1-j,无开环零点， n-m =4,实轴上0，-3为根轨迹,渐近线与实轴交点：,渐近线与实轴正方向的夹角：,根轨迹实轴的分离点,（舍去）,分离角,根轨迹在开环极点p3处的起始角,根轨迹与虚轴的交点（劳斯法）,解得临界稳定的条件：K=8.16,代入s2行无素构成的辅助
12、方程,-1.25,-2.3,p1,p2,p3,p4,1350,26.60,用Matlab绘制根轨迹：,n=1; d=conv(1,3,1,2,2),0; g=tf(n,d); rlocus(g),例,已知单位负反馈系统开环传递函数为,试画出 时的闭环系统的概略根轨迹，并求出 时的闭环传递函数及闭环极点。,解；根据根轨迹绘制法则，按步计算：,n=4，有四条根轨迹； 起始于开环极点0，20，2-j4, -2+j4，终于无穷远处； 实轴上的根轨迹在（0，20）区间； n=4,m=0,则有四条根轨迹趋于无穷远，他们的渐近线于实轴的交点和夹角为,取,5、根轨迹的起始角。,6、分离点坐标d。,舍,7、根轨
13、迹于虚轴交点。,解得,此时特征方程为,利用综合除法，可求出其他两个闭环极点,图419 例48根轨迹图,图4-18 常见闭环系统 根轨迹图, 4.3 广义根轨迹,4. 3. 1 参数根轨迹,在控制系统中， K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。其他参数的根轨迹统称为广义根轨迹。,除根轨迹增益 以外的其他参量（开环零点、开环极点、时间常数、反馈比例系数等）从零变化到无穷大时绘制的根轨迹称为参数根轨迹。 研究参数根轨迹的目的：分析参数变化对系统性能的影响。 绘制参数根轨迹图基本原理：引入“等效开环传递函数”，将绘制参数根轨迹的问题化为绘制常规根轨迹的问题。,常规根 轨迹方程：,参数根 轨迹方程：,等效开
14、环传递函数,A为除 外，系统任意的变化参数，而 和 为两个与A无关的首一多项式。,例：已知某位反馈系统的开环传递函数为 试绘制参数 a 由零连续变化到正无穷时，闭环系统的根轨迹。 解：系统的闭环特征方程为等效系统开环传递函数为 （1）起点： 。 （2）终点：三条根轨迹都趋向于无限零点。 （3）实轴上的根轨迹：含坐标原点在内的整个负实轴。 （4）分离点：分离点的计算公式为其中,（5）根轨迹的渐近线渐近线的倾角渐近线的交点 （6）根轨迹与虚轴的交点系统的闭环特征方程为解得交点为 可绘制系统根轨迹如下图所示,劳斯表：,-1/6,-0.5,0.5,绘制参数根轨迹的一般步骤 （1）写出原系统的特征方程；
15、 （2）以特征方程式中不含参量的各项除特征方程，得等效系统的根轨迹方程，该方程中原系统的参量即为等效系统的根轨迹增益； （3）绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根轨迹。,4. 3. 2 附加开环零点的作用,附加零点对闭环系统性能的作用体现在改变根轨迹的形状和走向； 适当的附加零点减少渐近线条数，能够改善系统的稳定性； 附加零点位置的选择应兼顾稳定性和动态性能。,4. 3. 3 零度根轨迹,如果所研究的控制系统为非最小相位系统，则有时不能采用常规根轨迹的绘制法则来绘制系统的根轨迹。因为其相角遵循 条件，故一般称之为零度根轨迹。 零度根轨迹的来源有两个方面：其一是非最小相位系统中包含s最高次幂
16、的系数为负的因子；其二是控制系统中包含有正反馈内回路。前者是由于被控对象，如飞机、导弹的本身特性所产生，或者是在系统结构图变换过程中所产生的；后者是由于某种性能指标要求，使得在复杂系统设计中，必须包含正反馈回路所致。,特征方程,研究内回路,从而相角方程及模值方程相应为,使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时，对于与相角方程有关的某些法则要修改,法则四 实轴上某一区域，若其右方开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。 法则五 根轨迹的渐近线,法则六 根轨迹的起始角与终止角,法则八 分离角与会合角,零度根轨迹的绘制，原则上可参照常规根轨迹的绘制法则，但在与相角条件有关的一些法则中，需作适当调
17、整。绘制0度根轨迹的基本规则：,规则1 根轨迹的起点和终点同常规根轨迹；,规则2 根轨迹的分支数对称性和连续性同常规根轨迹；,规则3 渐进线：与实轴的交点同常规根轨迹；但倾斜角不同，为： ，有n-m个角度；,规则4 实轴上的根轨迹：其右方实轴上的开环零、极点个数之和为偶数（包括0）的区域；,规则5 分离点、会合点：同常规根轨迹；,规则7 与虚轴的交点：同常规根轨迹；,规则8 闭环极点之和与之积：同常规根轨迹。,规则6 起始角和终止角(出射角和入射角)：起始角为其它零、极点到所求起始角复数极点的诸向量相角只差，即 终止角等于其它零、极点到所求终止角复数零点的诸向量相角之差的负值，即,例4-7 试
18、绘制下图示系统的根轨迹。,解 （1）二个开环极点： ， ；一个有限零点： 和一个无限零点。,4.2 根轨迹的绘制法则,（2）实轴上根轨迹。确定这一系统实轴上轨迹的原则是，它右侧的零、极点数目之和应是偶数。因为只有这样，才能满足辐角条件。因此在实轴的0 和 区间存在根轨迹。 （3）分离点与会合点分离点与会合点分别为,4.2 根轨迹的绘制法则,根轨迹如下图所示。不难证明，复平面上的轨迹是一个圆，圆心为有限零点 ，半径为 。, 4.4 系统性能的定性分析,（1）稳定性。稳定性只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。 （2）运动形式。如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调
19、的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。 （3）超调量。主要取决于闭环复数主导极点的衰减率 ，并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。 （4）调节时间。主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值 ；如果实数极点距虚轴最近，且它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。,4. 4. 1 闭环零极点位置对时间响应性能的影响,（5）实数零、极点影响。零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。它们的作用，随着其本身接近坐标原点的程度而加强。 （6）偶极子及其处理。如果零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则
20、它们就构成了偶极子。远离原点的偶极子，其影响可以忽略；接近原点的偶极子，其影响则必须考虑。 （7）主导极点。在s平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点的一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为主导极点。凡比主导极点的实部大6倍以上的其它闭环零、极点，其影响均可忽略。,4. 4. 2 增加开环零、极点对根轨迹的影响,根轨迹曲线将向左偏移，有利于改善系统的动态性能，而且，所加的零点越靠近虚轴，则影响越大。,开环传递函数增加零点,提高了系统的相对稳定性,渐近线与实轴倾角随着m 数增大而增加,根轨迹向左方向弯曲,渐近线与实轴交点随着Zc增大（Zc点在实轴上向右移）而左移,1. 增加开坏零点对根轨迹的影响,
21、增加开环零点的影响,增加开环零点的影响,2. 增加开环极点对根轨迹的影响,根轨迹曲线将向右偏移，不利于改善系统的动态性能，而且，所增加的极点越靠近虚轴，这种影响就越大。,开环传递函数增加极点,降低了系统的相对稳定性,渐近线与实轴倾角随着n数增大而减小,根轨迹向右方向弯曲,渐近线与实轴交点随着pc增大（pc点在实轴上向右移）而右移，故更靠近原点 。,向右弯曲趋势随着所增加的极点移近原点而加剧,增加开环极点的影响,增加一个极点,右移极点,增加开环极点的影响,例： 已知某系统的开环传递函数,若给此系统增加一个开环极点（p=2),或增加一个开环零点(z=2)。试分别讨论对系统根轨迹的影响。,解:,增加一个开环极点 （p=2),增加一个开环零点(z=2),
