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2013年第四届启智杯(初中组)真题与详细解析及评分标准.doc

1、12 开学网:2013年第四届启智杯(初中组)真题与详细解析及评分标准说明:本卷共12题,每题10分,满分120分。答题时间120分钟。1.完成以下算式:将适当的数字填入下述方框内,使除法算式成立。 (不要求理由) 【参考答案】201333 = 61理由:先确定除数的十位数:因为20 被该数除上6余一位数,说明该除数的十位必为3;再定除数的个位数:根据余数是一位数,个位数只能是2、3 、或4,326 =192,336 =198, 346 =204;如果除数是32,则余数是8或9,结合后一位3,83或93 均不是32的倍数,结论不成立;同样可以否定34;最终确定除数是33.后面就比较清楚了。【评

2、分标准】确定除数的十位数得3分;再确定除数的个位数再得 3分;确定尚的个位数得2分;全部确定再得2 分。2. 请完成以下两个问题:(1)将 999表示成9 个连续的奇数之和的形式;(2)将 表示成7 个连续的奇数之和的形式时,则其中最小的奇数是多少?(用含有1n字母 n 的代数式表示,其中字母 n 正整数)12 开学网:【参考答案】(1)由于 9999=111,所取 9个奇数的中间数应该是111,这个表示为999=103+105+107+109+111+113+115+117+119.(2)类似地: )67()4()27()27()4()67(71 nnnnnnn故最小的奇数是 。【评分标准】

3、两个小题各5分。【注】这类问题关键找出其平均数,以平均数为中心,向两端延伸。3.观察下列等式:(1) 22543(2) 21430(3) 222 765请按此规律写出第四个等式。若按照此规律写的第n个等式的等号左边最小数为 ,则该等式的等号右边最大数是多210少?【参考答案】第四个等式:(4) 22222 43410398736 等号左边最小数为 时,等号右边最大数是 。10解答方法1:每个等式的左右两边是连续若干个完全平方数,其个数依次为3、5 、7、9 个等等,其特点12 开学网:是左端比右端多1个。观察等式左边最小数发现:从上到下依次为3 = 13 ;10 = 25;21 = 37;49

4、;511;613 ;715;817 ;919;1021 =210等各数的平方。因此,当等式左边最小数为2102时,该式为第10个式子,即 n =10,这个式子左右两端共有21个数,左端11个,右端10 个,右端最大的数为 230解答方法2:观察已知三个等式可知:每个等式中,紧靠等号左边的数分别是, 。2222 314,144 )()(,)( 由此可知:第 n 个等式中,紧靠等号左边的数是 ,22)1(4. n)(第 n 个等式的左边最小数为 ,依题意有 ,22)()(nn0)(因为 n 是正整数,所以 ,移项,分解因式得:102舍 去 。, 或解 得 :)( 5.-,0)12(故该等式的右边最

5、大数是 =22)()(nn30【评分标准】写出第四个式子得4分;发现等式中数的平方特征及变化规律占 2分;发现左端最小数的变化规律占2分;确定 在第10行占1分;写出最大数占1 分。204. 在如图所示的三个九宫图中,第2、3个分别是由第1 、2 个按照某种规律变化而来。(1)这三个九宫图有什么相同点和不同点?(2)请指出图1 到图2、图2到图3的共同变化规律,并按照这种规律填写第4 个图。12 开学网:【参考答案】(1)相同点:三个表的“左下至右上”对角线上各对应数相同;每行、每列、每个对角线三个数之和相等,都是99. “左下至右上”对角线上各对应数相同不同点:除了“左下至右上”对角线之外,

6、其他位置各对应数均不相同。(2)变化规律:1 到2、2到 3三个图中,从左上角到右下角五条斜线上的数,第1 条依次减1,第2条依次加 1,第三条不变,第 4条依次减1,第5条依次加 1. 图4的填写如下:【评分标准】第1问4 分;第2 问6 分其中第一问中相同点、不同点各占2分;第二问中规律占 4分;填对第4个图占2 分。5.如下图,在平行四边形ABCD中,已知 求阴影部分四边形,3,122cmScBCFEBFEFHG的面积。【参考答案】12 开学网:首先,根据等高三角形面积之比等于其底之比, 因此,3:1BCFES:EF:FC=EB : CD=1:3;由于EBF相似于CDF,其面积之比等于相

7、似比的平方,得由此得 平行四边形ABCD面积,92CDFcmS ,29cmSCBFDBCAD为 ,所以4四边形EFDA的面积= . (1)21cEBFAD其次, (平行四边形ABCD 面积的一班) ,所以21cmSCDA. (2)6)/(H第三,由于CD = AB = AE+EB, EB:CD = 1:3, 故AE:CD =AE:AB = 2:3, AE:EB = 2:1. 根据等高三角形面积之比等于其底之比,以及 ,知道21cmSABD, (3)28,3:2cmSSAEDABDE:而CDG相似于AEG,相似比为CD:AE=3:2,故DG: EG=3:2,:EGAD:(4)5/1632/832

8、/)()(S最后,由(1) (2 ) (4)阴影部分四边形 EFHG的面积为:S=四边形EFDA的面积- 。 (5 )28./cmSEGAAHD答:阴影部分四边形EFHG 的面积为 28.1c【注】也可以由 得到。2.15/6cSFGABEAH【评分标准】五个等式各占2 分。6.将 2013个边长完全相同的正方形,按如图所示摆放,其中点分别是正方形的中心。若这2013个正方形重叠形成的阴影2013321.AA、部分之间互不重叠,其面积之和为 ,则这些正方形的边长是多少?2cm12 开学网:【参考答案】题目没有涉及到旋转角度,所以应该与旋转的角度无关,所以,我们可以让两正方形旋转到如图特殊情况时

9、,如图1,2所示,重叠部分的面积应该不变,若正方形边长为a ,则每个重叠的阴影部分面积为正方形面积的 ,即 。 (这个结论也可以通过切补来4142a实现)此时2013 个正方形重叠形成的2012 个阴影部分的面积和位 ,从而2014/201aa=2.【评分标准】发现重叠阴影部分面积不变性(正方形面积的 )占5分;算出正方形边长41占5分。12 开学网:7. 把一个边长为9 的正三角形分割成若干正三角形(不要求每个正三角形边长相等) 。(1)最少能分割成多少个正三角形?(2)你还能把一个正三角形分割成个正三角形吗?能做到的分别画出分割图,不能做到指出即可(不必说明理由) 。5,6,7,8,9,1

10、0,11(3)你能把一个正三角分割成2013个正三角形吗?(4)你能得出更一般的结论吗? 注:正三角形是指每条边都相等的三角形【参考答案】(1)最少能分割成4 个正三角形,如图a.(2)经过尝试发现,无法分成5个等边三角形;当AD=6时,可以得到6个正三角形,如图b;在图a的基础上再分割一个正三角形,可以得到7个正三角形,如图c ;将BC四等分,以每一份为边长在底部可以做出7个全等的正三角形(4个底朝下、3个底朝上) ,而上方余下一个正三角形,共分割为8个正三角形,如图g;在6、7、8个分割的基础上再分割一个正三角形,可以得到9、10、11个正三角形,如图d、图e,图f等.12 开学网:(3)

11、可以把一个正三角分割成2013个正三角形。因为每次把一个正三角形分割成4个小的正三角形后,总数就增加三个正三角形,由于可以分割为6正三角形,因此可以分割为除3之外的所有3的倍数多个正三角形,而2013 = 3671,故可以分割为2013个正三角形。(4)事实上,按照将底边n等分(n1)的方法,可以把一个正三角形分为2n个正三角形,比如4、 6、8等;由于可以分割为 6、7、8个正三角形,它们被 3除分别整除、余1、余2 ,故对任意自然数n ,当n4,n5 时,总能将正三角形分割成 n个正三角形。【评分标准】 (1)占1 分;(2)占5 分,其中不能做的5占1 分,能做的6、7、8 各占1分,9

12、、10、11合计占1分;(3)占2分;(4)占2 分。8将1、2、3、10、11、12这12 个数填入如图所示66 的某些方格中,要求同时满足 (1)每一行、每一列都只有一个奇数、一个偶数; 请给出两种填法(不必说明理由) 。 12 开学网:【参考答案】答案不唯一。关键有两点: 一是位置的确定,依赖于图形的对称性; 二是数目的分组,把这12个数分为3组,每组里面两个奇数两个偶数。其中一组放入四个角(或中心四个位置,或对角线上其它四个中心对称的位置) ,保证这四个数中任何两个之和均不小于9;两外两组中任何一个奇数与另外两个偶数之和都不小于9 (或任何一个偶数与另外两个奇数之和都不小于9). 以下

13、两种填法使用了两种不同的位置和不同的分组12 开学网:(1)1、9、8、12;3、5 、6、10;7、11、2、4. (2)1、3、8、10;5、7 、4、6;9、11、2、12. 【评分标准】填对一种得5分,填对两种得满分。 (两种填法位置可以相同)9. 如图,在斜边长为20cm的直角三角形ABC中去掉一个正方形EDFB ,留下两个阴影部分直角三角形AED和DFC 。(1)若 AD = 8cm,CD = 12cm,则阴影部分面积为多少?说明你的计算依据。(2)这样的直角三角形有无穷多种,在所有这样的图形中,留下的最大面积是多少?说明你的理由。【参考答案】 (1)面积为 ;(2)最大面积48c

14、m250cm【分析】 (1)将三角形ADE 拼补到正方形 DEBF内,使DE 与DF 重合(或将三角形ADE 绕顶点D 逆时针旋转90度,E 点和F点重合) ,阴影部分合并为一个直角三角形CDG,其底为12 开学网:DG = DA,高为CD,面积为ADCD 2 = 812 2 = 48. (2) 由于 AD+CD = 20cm,把20 分成两部分,只有等分时它们的乘积最大,即AD = CD =10,此时阴影部分面积最大,值为10 102=50. 【评分标准】两问各占5 分;每问的答案占2 分,理由占3 分。10. 张老师住在幸福花园8 号楼,他的两个学生聪聪和明明想去家里拜访他,但是不知道家庭

15、具体住址。张老师告诉他们家在以下房号之一:9楼A(简称 9A) ,9B,9C;10A, 10D; 11B,11E; 12C, 12E, 12F,并把楼层号单独告诉了聪聪,把房间号单独告诉了明明。然后张老师请他们判断他家住在哪个房屋。他们的对话如下: 聪聪:我不知道,但明明肯定也不知道。 明明:本来我也不知道,但是现在我知道了。 聪聪:哦,那我也知道了。他们二人说法都符合逻辑,请根据以上对话推断出张老师家住在哪个房屋。【参考答案】11E解答:根据聪聪和明明的第一句话,聪聪得到的楼层数只能是9楼或11 楼,这因为10楼有一个房号(D) 、12楼有一个房号(F)都是只出现一次,如果明明得到的房号是这

16、两个中的一个,明明就自然可以判断出唯一的房屋地址。根据明明的话:“本来我也不知道,但是现在我知道了。 ”这说明他所获取的房号信息涉及到9楼或 11楼之外的其它楼层,因此他事先无法判断,当他听了聪聪的回答确定了楼层之后,他就可以确定了,这样的房号有A、C、E,那就是只可能是9A,9C,11E 。最后聪聪的恍然大悟“哦,那我也知道了。 ”是基于他知道楼层,从这三个房号9A,9C ,11E中能够通过楼层判断出来的只有11E。12 开学网:因此,答案是11E。【评分标准】判断出两种可能的楼层得4分;判断出三种可能的房号得 4分;最后确定房号得2分。仅给出正确答案得5 分。11.请设计一个游戏:地面上摆

17、放着若干颗石子,甲乙两人轮流从中提取石子,每人每轮最少提取3颗,最多提取6 颗,取到最后一颗石子者为输。请设定这堆石子的颗数为10的倍数颗(至少60颗) ,使先手有必胜的策略,并说明你的策略。【参考答案】答案不唯一。设定的石子数为9的倍数加6或7或8 或9颗,对应地,先手分别先取3或 4或5或6颗,给后手留下 9的倍数加3颗。比如设定 80颗,先手取5颗,留下75 = 72+3颗,然后,后手取3或4或5或6颗,先手就取6或5或4或3 颗,保证每轮下来双方合计取9颗,先手取后,始终剩下9的倍数加3颗,最后剩下3 颗,给后手,后手必输。【评分标准】选对数目给3分(一定要是10的倍数) ;写出策略给

18、7分。12.希望杯深圳赛区报名费标准为小学每人27元,中学每人 22元;启智杯报名费标准为每人50 元。某单位通过银行转款上交报名费500元,备注栏注明报名启智杯及希望杯中学与小学。假如该单位希望杯报名总人数不足15人,问共报希望杯小学、中学及启智杯各多少名?说明你的理由。【参考答案】小学希望杯6人,中学希望杯4人,启智杯5人。【分析】假设小学希望杯为x人,中学希望杯y人,启智杯z人, x+y15,则 27x+22y+50z=500 (1)由此知道12 开学网:27(x+y)=5(100+y-10z) (2)从而x+y是5的倍数,而且不足15.故x+y=5或10.(1)若 x+y=5,则由(2 )式得100+y-10z=27,10(10-z)=27-y,得y=7,z=8,与x+y=5矛盾,舍去。(2)若 x+y=10,则由(2)式得100+y-10z=54,10(10-z)=,54-y,得y=4 ,z=5,x=6.所以只有一种可能:y=4,z=5,x=6.【评分标准】列出关系式(1)给2分,列出关系式(2)再给2 分;后面两种情况分析各给3分。

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