1、1椭圆及其标准方程教学设计青铜峡市高级中学二六年十月2课题 椭圆及其标准方程一学情分析学生在必修中学过圆锥曲线之一，圆。掌握了圆的定义及圆的标准方程的推导，学生可以用类比的方法来研究中一种圆锥曲线椭圆。二、教学目标知识技能：1掌握随圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程2能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用定义法，待定系统法求随圆的标准方程。过程方法：1通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力。2通过对椭圆标准方程的推导，是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力，情感态度和价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定
2、义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。三、教学重点，难点分析重点：椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。3难点：椭圆标准方程的建立和推导。关键：掌握建立坐标系统与根式化简的方法。椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容，一是椭圆定义，二是椭圆的标准方程，椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中，先要学习的内容，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，对双曲线和抛物线的教学中巩固和应用，先讲椭圆也与圆的知识衔接自然，学好椭圆对学生学习圆锥曲线是非常重要的。四、教法建议1安排学生提前预习，动手切割圆锥形的事物，使学习了解圆锥曲线名称的来历及圆锥曲线的样子。2对椭圆
3、定义的引入，要注重于借助直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，进而形成正确的概念。3将课本提出的问题分解成若干小问题，通过学生、教师动手演示，来体现椭圆定义的实质。4注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系。5推导椭圆的标准方程时，教师要注重化解难点，实施的补充根式化简方法。6讲解完焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在 y 轴上的标准方程。然后，鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，进一步加深对椭圆的认识。7在学习新知识的基础上要巩固旧知识。8要突出教师的指导作用，又要强调学生的主体作用，课堂4上尽量让全体学生参与讨论。由基础较差的学生提出
4、猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生团结协作的团队精神。五、课前准备1、每人准备一根细绳、一卷胶带。2、圆锥曲线模型。六、教学基本流程 七、教学过程设计问题 设计意图 师生活动1、我们在必修中，已学习圆的知识，请在数学学习中，我们可以用类比方法由学教师在黑板上，分别用圆规画圆；用线绳回忆圆的定义，及画法类比画出椭圆，引出椭圆定义根据条件，建立椭圆的标准方程例题及练习小结与布置作业5同学们用集合的观点叙述圆的定义。习、熟悉的知识引入新的知识。画圆。让学生观察、回答圆的定义。问 题 设计设计意图 师生活动2、同学们，除了大家所熟悉的圆，还有另一种圆锥曲线-椭圆。请大家举例生活中椭圆的形象。让学
5、生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。学生思考、回答。如：地球运行轨道。圆锥、圆柱的斜截面。教师展示截面是椭圆的模型。3、如何画椭圆的呢？ 培养学生观察能力，类比圆的画法，解决问题。学生思考、试验。教师可提示采用线绳画。1固定在两点F1、 F2，2细绳长用 2a 表示 2a F1F23套上铅笔，拉动细绳移动笔尖。4、通过画椭圆观察这条曲线上所有点满足培养学生观察能力、归纳总结能力，为形分析画图过程中的“变”与“不变”的6的几何条件是什么？ 成椭圆定交奠定基础。 条件 M F1，M F2 都在变化，但MF 1+MF 2 的长度保持不变。问 题 设计设计意图 师生活动5、如何描述动
6、点 M所满足的几何条件。整理试验，归纳抽象成数学问题。把平面内与两个定点F1， F2，的距离之和等于常数（大于F 1F2）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点；两点间的距离叫做椭圆的焦距（板书） 。6、如何用集合表示M 点所满足的几何条件。使学生能将文字语言转化为数学语言，为推导椭圆标准方程做铺垫。学生回答：教师板书P=M MF 1+ MF2 =2a7、我们怎样建立坐标系，求椭圆的标准方程呢？推导曲线方程时，建立坐标系要适当。师生共同分析椭圆的特征（如：对称性） ，使方程比较简单；以线 F1F2 的中心为原心，以 F1F2 垂直平分线为7Y 轴，建立直角坐标系。完成“建系” ，设动点 M
7、（x，y）是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为 2c（C 0） ，则 F1（C，0） ，F 2（C，0） ，又设 M 与 F1F2 的距离和等于 2a（板书）问 题 设计设计意图 师生活动8、请同学们来表示M 到 F1F2 的距离MF 1，MF 2巩固已学过的两点距离公式，为推导标准方程做准备。MF 1= 2)(ycxMF 2=由 P=MMF 1+MF 2=2a得 + =2a2)(ycx2)(ycx9、如何整理化简上式。 学习巩固根式化简，两边平方。找两位同学板演，其余同学自己完成，化简到： 122cayx10、观察下图，找出表示 a、c、 的2c线段Y确定 a、b 、c 的几何定义及其关系通过观
8、察 y 轴是 F1 F2的中垂线，P 到 F1 F2的距离相等，OF1，OF 2 被 y 轴平分，所以：X PF 1=PF 2=a,OF 1=OF 2=c,F1 O F28P0 = 2ca由P0 = ，令 b= ,b2=a2-c2，即：代入 得椭2ca2ca 122cyx圆形标准方程： 12byx根据上图知：ab 0问 题 设计设计意图 师生活动11、对于椭圆形标准方程(ab0)的12byax特点是什么？还有什么结论。适时总结归纳，区分焦点在 X 轴与 Y 轴的不同。学生讨论，教师板书。(ab012byax)的焦点在 X 轴上；a -b =c （结论）22912、P 38 思考Y F2MXF1
9、推导焦点在 Y 轴上的椭圆标准方程学生已有推导焦点在x 轴上的椭圆标准方程的经验，教师通过以下几点引导，由学生完成1设出动点，焦点坐标，注：特别教师焦头烂额坐标，应在 y 轴上2列出相等关系（定义）3化简整理，得椭圆的另一标准方程 122bxay13、椭圆的另一个标准方程（abc ）有12xay什么特点，有什么结论？对比上一个焦点在 x轴上的椭圆标准方程1交点在 y 轴上2a 2-b2=c2（结论）问 题 设计设计意图 师生活动例 1P38求标准方程区别焦点不同，选择设不同的方程，会用定义来求椭圆标准方程，或用待定系数法来求椭圆标志方程由学生独立思考，发表各自的想法，教师适时引导，强调要注意的问题，及时总结：101确定要设的椭圆标准方程2要求椭圆标准方程，即要求 a，b3恰当列出含a， b， c 的方程4相等关系 a2-b2=c2练习：写出适合下列条件的椭圆方程1a=4，b=1，焦点在 x 轴上。2a=4，c=，焦点在 y 轴上。3a+b=10 ，c=2分析：以上练习较简单，其目的为了巩固求椭圆标准方程，及区别焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上的椭圆标准方程小结：以提问形式1椭圆是怎样的点的轨迹？2椭圆的标准方程是怎样的？3椭圆的两个标准方程有什么区别？布置作业：课本习题 2.1A 组 P463 题
