1、标准差（Standard Deviation） ，也称均方差 （mean square error） ，是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用 S（）表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。 标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如下两式：或 1nxSn1i 2i1nxxS2n1iin1i2i即： 1nx1nxxS n1i 2i2n1iin1i2i 如是总体，标准差公式根号内除以 n如是样本，标准差公式根号内除以（n-1) 因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)公式意义所有数减去其平均
2、值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一) ，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。 标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确；反之,标准差越低,代表实验的数据越精确简单来说，标准差是一组数据平 均 值 分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合 0, 5, 9, 14 和 5, 6, 8, 9 其平均值都是 7 ，但第二个集合具有较小的标准差。标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否
3、符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较） ，则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。例如，A、B 两组各有6位学生参加同一次语文测验，A 组的分数为95、85、75、65、55、45，B 组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但 A 组的标准差为17.07分，B 组的标
4、准差为2.37分（此数据时在 R 统计软件中运行获得） ，说明 A 组学生之间的差距要比 B 组学生之间的差距大得多。求证下列公式： 1nx1nxxn1i 2i2n1iin1i2i 由题意可知，求证下列式子即可： n1i 2i2n1iin1i2i xnxx假设 xi=Error!+ai，既有 xi-Error!=ai，即求证下列式子即可： n1i2n1i 2i iax因为： nx.xxnx n321n1ii 所以： 0xna.aa( )ax(.)x()x).xn n321 n3n321）所以： n1i n321i 0a.aa所以： n1i2 2n1i22 2n1i2n1ii22n1i2in1i
5、in1i2n1i 2n1in1ii2ii2n1i 2n1i in1i 2i2n1iin1i2ii i iaxa0xxnaxn 0xaaxx axax axaxnxx ）（ ）（）（）（ ）（设 X 是一个随机变量，若 EX-E(X)2存在，则称 EX-E(X)2为 X 的方差，记为 D(X)或DX。 即 D(X)=EX-E(X)2称为方差，而 (X)=D(X)0.5（与 X 有相同的量纲）称为标 准 差 （ 或均 方 差 ） 。即用来衡量一组数据的离散程度的统 计 量 。 方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。 若 X 的取值比较集中，则方差 D(X)较小； 若 X 的取值比较分散
6、，则方差 D(X)较大。 因此，D（X）是刻画 X 取值分散程度的一个量，它是衡量 X 取值分散程度的一个尺度。 方 差 的 计 算由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=X-E(X)2 的数学期望。即： 由方差的定义可以得到以下常用计算公式： D (X)=E(X2)-E(X)2 证明： D(X)=EX-E(X)2 =EX2-2XE(X)+E(X)2 =E(X2)-2E(X)2+E(X)2 =E(X2)-E(X)2 方差其实就是标准差的平方。 方 差 的 几 个 重 要 性 质（1）设 c 是常数，则 D(c)=0。 （2）设 X 是随机变量， c 是常数，则有 D(cX)=(c2)D
7、(X)。 （3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y) 特别的，当 X，Y 是两个相互独立的随机变量，上式中右边第三项为 0（常见协 方 差 ） ， 则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况. （4）D(X)=0 的充分必要条件是 X 以概率为 1 取常数值c，即 PX=c=1，其中 E(X)=c。 常 见 随 机 变 量 的 期 望 和 方 差设随机变量 X。 X 服从(01) 分布，则 E(X)=p D(X)=p(1-p) X 服从泊 松 分 布 ，即 X (),则 E(X)= ，D(X)= X 服从均 匀 分 布 ，即 XU(a，b ),则 E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12 X 服从指 数 分 布 ，即 Xe(), E(X)= (-1)，D(X)= (-2) X 服从二 项 分 布 ，即 XB(n,p)，则 E(x)=np, D(X)=np(1-p) X 服从正 态 分 布 ，即 XN(,2), 则 E(x)=, D(X)=2 X 服从标准正态分布，即 XN(0,1), 则 E(x)=0, D(X)=1
