1、11. 直线和椭圆位置关系判定方法概述1 直线斜率存在时 2 2 1y kx bmx ny 2 2 2( ) 2 1 0m k n x kbnx b 当 0 时 直线和椭圆相交当 0 时 直线和椭圆相切当 0 时 直线和椭圆相离2 直线斜率不存在时 2 22 2 1xx ya b 判断y有几个解注： 01 无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看“ “ 。02 直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。2. 直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式 2 21 2 1 2211 1 1AB k x x k y ya k 注： 21 2 1 2 1 2( ) 4x x
2、x x x x 而 1 2x x 和 1 2x x 可用韦达定理解决，不必求出 1x和 2x 的精确值，“设而不求”思想初现。2三角形面积01 过x轴上一定点H的直线l与椭圆 2 22 2 1x ya b 交于A、B两点，求 AOBS1 212AOBS OH y y 02 过y轴上一定点H的直线l与椭圆 2 22 2 1x yb a 交于A、B两点，求 AOBS1 212AOBS OH x x 03 弦任意，点任意12S 弦长点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。3弦的中点问题01 中点弦所在直线方程问题 02 平行弦中点轨迹03 共点弦中点轨迹 04 其他问题2类型题一：直线与椭圆位置1.已知
3、直线 2kxy 和椭圆 123 22 yx ，当k取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。2.已知直线 2kxy 与椭圆 22 22 yx 相交于不同的两点，求k的取值范围。3.点P在椭圆 2847 22 yx 上，则点P到直线 01623 yx 的距离的最大值为_，最小值为_类型题二：弦长公式1.已知椭圆： 19 22 yx ，过左焦点 1F作倾斜角为 6 的直线交椭圆于 BA, 两点，求弦AB的长。32.已知椭圆 122 nymx 与直线 1 yx 相交于 BA, 两点C为AB的中点。 22AB ，OC的斜率为 22 （O为原点），求椭圆方程。3.已知椭圆 2 24 1
4、x y 及直线y x m （1）当 m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为2 105 ，求直线的方程4.已知直线 mxy 与椭圆 14 22 yx 相交于 BA、 两点，当m变化时，求 AB的最大值。4类型题三：弦中点问题（点差法）1.已知椭圆 1936 22 yx ，弦AB的中点是 )1,3(M ,求弦AB所在的直线方程。2.直线 1y x 被椭圆 2 22 4x y 所截的弦的中点坐标是 （ ）（A）(31, 32) （B）(32, 31) （C）(21, 31) （D）(31, 21)3.已知椭圆 2 2 136 9x y ，椭圆内一点 (4,2)P ,则以P为中
5、点的弦所在的直线的斜率是（A）21 （B）21 （C）2 （D）24中心在原点，一个焦点为 1F 50,0 的椭圆截直线 23: xyl 所得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程55已知椭圆方程为 1925: 22 yxC ，求：（1）中点为（4，1）的弦所在直线的方程；（2）斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹；（3）过点（4，3）的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。类型题四：与三角形面积有关的问题1.过椭圆 2 2 15 4x y 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于 BA, 两点，O为坐标原点，求 OAB 的面积。62.椭圆 12045 22 yx 的两个焦点为 21,FF ，
6、过左焦点作直线与椭圆交于 BA, 两点，若 2ABF的面积为20，求直线的方程。3.已知椭圆 )0(1: 2222 babyaxG 的离心率为 36 ，右焦点为 )0,22( ，斜率为1的直线l与椭圆G交于 BA, 两点，以AB为底边作等腰三角形 顶点为P（-3,2）.（）求椭圆G的方程；（）求 PAB 的面积.74.若直线l与椭圆C：x23y21交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为 32，求AOB面积的最大值5.已知椭圆 2 2 14 2x y 的两个焦点是 1F， 2F ，点P在该椭圆上若 1 2| | | | 2PF PF ，则 1 2PFF 的面积是_6.已知 21,FF 是椭圆
7、 )0(1: 2222 babyaxC 的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且21 PFPF .若 21FPF 的面积为9，则 _b .87.在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点( 3 0) ， ，( 3 0)， 的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点 ( 1,0)E 且与曲线C交于A，B两点（）求曲线C的轨迹方程；（）是否存在AOB面积的最大值，若存在，求出AOB的面积；若不存在，说明理由.类型题五：与向量有关的问题1.在直角坐标系xOy中，曲线C上的点P到两定点 )3,0( ， )3,0( 的距离之和等于4，直线 1 kxy 与C交于A，B点.若 OBOA ，求k的值.92.直线
8、 2y kx 与椭圆 2 2 13x y 交于不同两点A和B，且 1OA OB （其中O为坐标原点），求k的值3.已知直线 1kxy 与双曲线 13 22 yx 相交于 BA、 两点，O是坐标原点，如果 OBOA ,求k的值。104.已知F1、F2是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限的一点，B也在椭圆上，且满足OAOB0(O为坐标原点)， 2AF 21FF 0，且椭圆的离心率为 22 .(1)求直线AB的方程；(2)若ABF2的面积为4 2，求椭圆的方程11类型题六：定值定点问题1.已知椭圆 :C 2 22 2 1( 0)x y a ba b 的离心率为 63
9、 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为5 23 （）求椭圆C的方程；（）已知动直线 ( 1)y k x 与椭圆C相交于A、B两点 若线段AB中点的横坐标为 12 ，求斜率k的值；若点 7( ,0)3M ，求证：MA MB 为定值122.已知椭圆C : 2 22 2 1( 0)x y a ba b , 经过点P 3(1, )2 ，离心率是 32 .(I) 求椭圆C的方程；(II) 设直线l与椭圆C交于 ,A B两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M，求证：直线l恒过定点133.已知椭圆 2 22 2: 1( 0)x yC a ba b 经过点 3(1, )2 ，离心率为 32 （）求椭圆C的方程；（）直线 ( 1) ( 0)y k x k 与椭圆C交于 ,A B两点，点M是椭圆C的右顶点直线AM 与直线BM分别与y轴交于点 ,P Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由
