1、2 0 1 1 2 0 1 2 学 年 度 高 三 两 校 联 合 摸 底 考 试数 学 （ 文 科 ）本 试 卷 共 2 1 小 题 ， 满 分 1 5 0 分 考 试 用 时 1 2 0 分 钟 第 I卷 （ 选 择 题 ） （ 5 0 分 ） 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5分 ， 满 分 50分 在 每 小 题 给 出的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1 已 知 集 合 M x|x 3 ， N x| ， 则 MN （ ）A B x|0 x 3 C x|1 x 3 D x|2 x 32 复 数 等 于 （ ）
2、 . A B. C. D. 3 “a=”是 函 数 y=co s2 ax sin 2 ax的 最 小 正 周 期 为 “”的 ( )A 充 分 不 必 要 条 件 B 必 要 不 充 分 条 件 C 充 要 条 件 D 既 不 充分 条 件 也 不 必 要 条 件4 定 义 在 R上 的 函 数 f(x )满 足 f(x )= ， 则 f（ 3 ） 的 值 为 ( )A.-1 B. -2 C.1 D. 25 一 个 算 法 的 程 序 框 图 如 下 图 所 示 ， 若 该 程 序 输 出 的 结 果 为， 则 判 断 框 中 应 填 入 的 条 件 是 ( )A .B .C. D.6 如 果
3、 一 空 间 几 何 体 的 正 视 图 与 侧 视 图 均 为 等 边 三 角 形 ， 俯 视 图 是 半径 为 3 的 圆 及 其 圆 心 ， 则 这 个 几何 体 的 体 积 为 （ ）A. B. C. D.7 已 知 向 量 的 夹 角 为 ， 且 则 向 量 与 的 夹 角 为 （ ）A. B. C. D. 8 设 斜 率 为 2 的 直 线 过 抛 物 线 的 焦 点 F,且 和 轴 交 于 点 A,若 OAF(O为 坐标 原 点 )的面 积 为 4 ,则 抛 物 线 方 程 为 ( ). A. B. C. D.9.已 知 命 题 p :.若 命 题 p 且 q 是 真 命 题 ,
4、则 实 数a的 取 值 范 围 为 ( ) A. B.a -2 或 1 a 2 C.a 1 D.-2 a 11 0 已 知 O为 直 角 坐 标 系 原 点 ， P， Q坐 标 均 满 足 不 等 式 组 ， 则 使 取 最小值 时 的 的 大 小 为 （ ）A. B. C. D. 第 II卷 （ 非 选 择 题 ） （ 1 0 0 分 ）二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5小 题 ， 考 生 作 答 4小 题 ， 每 小 题 5分 ， 满 分 20分 （ 一 ） 必 做 题 （ 11 13题 ）1 1 设 是 等 差 数 列 的 前 项 和 ， 若 ， ， 则 数 列 的 通 项 为
5、1 2 若 直 线 （ ， ） 被 圆 截 得 的 弦 长 为 4 ， 则的 最 小 值 为 1 3 某 企 业 三 月 中 旬 生 产 ， A、 B、 C三 种 产 品 共 3 0 0 0 件 ， 根 据 分 层 抽 样的 结 果 ； 企 业 统 计 员 制 作 了 如 下 的 统 计 表 格 ：产 品 类 别 A B C产 品 数 量 1 3 0 0 （ 件 ）样 本 容 量（ 件 ） 1 3 0 由 于 不 小 心 ， 表 格 中 A、 C产 品 的 有 关 数 据 已 被 污 染 看 不 清 楚 ， 统计 员 记 得 A产 品 的 样 本 容 量 比 C产 品 的 样 本 容 量 多
6、1 0 ， 根 据 以 上 信息 ， 可 得 C的 产 品 数 量 是 件 。（ 二 ） 选 做 题 （ 1 4 、 1 5 题 ， 考 生 只 能 从 中 选 做 一 题 ）1 4 （ 几 何 证 明 选 讲 选 做 题 ） 如 图 所 示 ， A C和 A B 分 别 是 圆 O的 切线 ， B 、 C 为 切 点 ,且 OC = 3 ， A B = 4 ， 延 长 A O到 D点 ， 则 A B D的 面 积 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 5 (坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 )设 P (x,y) 是 曲 线 C： ( 为 参 数 )上 任 意 一 点
7、， 则 的 取 值 范 围 是 . 三 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 满 分 8 0 分 解 答 须 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 和 演 算 步 骤 1 6 （ 本 题 满 分 1 2 分 ） 在 锐 角 中 ， 已 知 内 角 A、 B、 C所 对 的 边 分 别 为 a、b 、 c， 且 满 足2 sin B(2 co s2 1 ) co s2 B。（ 1 ） 求 B的 大 小 ；（ 2 ） 如 果 ， 求 的 面 积 的 最 大 值 .1 7 （ 本 题 满 分 1 2 分 ） 为 了 了 解 某 年 段 1 0 0 0 名 学 生 的 百 米 成 绩
8、情 况 ， 随机 抽 取 了 若 干 学 生 的 百 米 成 绩 ， 成 绩 全 部 介 于 1 3 秒 与 1 8 秒 之 间 ， 将 成绩 按 如 下 方 式 分 成 五 组 ： 第 一 组 1 3 ， 1 4 ） ； 第 二 组 1 4 ， 1 5 ） ;第 五 组 1 7 ， 1 8 .按 上 述 分 组 方 法 得 到 的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 ， 已知 图 中 从 左 到 右 的 前 3 个 组 的 频 率 之 比 为 3 8 1 9 ， 且 第 二 组 的 频 数为 8 .（ 1 ） 将 频 率 当 作 概 率 ， 请 估 计 该 年 段 学 生 中 百 米
9、 成 绩 在 1 6 ， 1 7 ） 内的 人 数 ；（ 2 ） 求 调 查 中 随 机 抽 取 了 多 少 个 学 生 的 百 米 成 绩 ；（ 3 ） 若 从 第 一 、 五 组 中 随 机 取 出 两 个 成 绩 ， 求 这 两 个 成 绩 的 差 的 绝 对值大 于 1 秒 的 概 率 .18.（ 本 题 满 分 1 4 分 ） 已 知 如 图 ： 平 行 四 边 形 A B CD中 ， ， 正 方 形 A DE F所 在 平 面 与 平 面 A B CD垂 直 ， G， H分 别 是 DF ， B E 的 中 点 （ ） 求 证 ： GH 平 面 CDE ；（ ） 若 ， 求 四 棱
10、 锥 F -A B CD的 体 积 1 9 （ 本 题 满 分 1 4 分 ） 已 知 椭 圆 C： =1 (a b 0 )的 离 心 率 为 ， 短 轴 一 个端 点 到 右 焦 点 的 距 离 为 3 .OPAB图 7（ 1 ） 求 椭 圆 C的 方 程 ；（ 2 ） 过 椭 圆 C上 的 动 点 P引 圆 O： 的 两 条 切 线 PA、 PB，A、 B分 别 为 切 点 ， 试 探 究 椭 圆 C上 是 否 存 在 点 P ， 由 点 P 向 圆 O所引 的 两 条 切 线 互 相 垂 直 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请说 明 理 由 .
11、2 0 （ 本 题 满 分 1 4 分 ） 已 知 函 数（ 1 ） 求 的 值 ；（ 2 ） 已 知 数 列 ,求 证 数 列是 等 差 数 列 ；（ 3 ） 已 知 ， 求 数 列 的 前 n 项 和 .2 1 （ 本 题 满 分 1 4 分 ） 已 知 （ 1 ） 当 时 ， 求 上 的 值 域 ；(2) 求 函 数 在 上 的 最 小 值 ；(3) 证 明 : 对 一 切 ， 都 有 成 立揭 阳 一 中 2 0 1 1 2 0 1 2 学 年 度 高 三 摸 底 考 试 试 题数 学 （ 文 科 ） 参 考 答 案 及 评 分 意 见1 . 选 择 题 DCCBD DDBAD二 .
12、填 空 题 1 1 . 2n+1 12. 13.800 1 4 . 1 5 . , 1 6 . (1 )解 ： 2 sin B(2 co s2 1 ) co s2 B2 sin Bco sB co s2 B tan 2 B 4 分 0 2 B , 2 B , B 6 分(2 )由 tan 2 B B b 2 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 ： 4 a2 c2 ac2 ac ac ac(当 且 仅 当 a c2 时 等 号 成 立 ) 9 分 ABC的 面 积 S ABC acsin B ac ABC的 面 积 最 大 值 为 1 2 分1 7 . 解 ： （ 1 ） 百 米 成 绩 在 1 6
13、 ,1 7 )内 的 频 率 为 0 .3 2 1 =0 .3 2 . 0 .3 2 1 0 0 0 =3 2 0 估 计 该 年 段 学 生 中 百 米 成 绩 在 1 6 ,1 7 )内 的 人 数 为 3 2 0 人 。 2 分（ 2 ） 设 图 中 从 左 到 右 前 3 个 组 的 频 率 分 别 为 3 x， 8 x ， 1 9 x 依 题 意 ， 得3 x+8 x+1 9 x+0 .3 2 1 +0 .0 8 1 =1 ， x=0 .0 2 4 分 设 调 查 中 随 机 抽 取 了 n 个 学 生 的 百 米 成 绩 ， 则 n =5 0 调 查 中 随 机 抽 取 了 5 0
14、 个 学 生 的 百 米 成 绩 . 6 分（ 3 ） 百 米 成 绩 在 第 一 组 的 学 生 数 有 3 0 .0 2 1 5 0 =3 ， 记 他 们 的 成 绩 为 a，b， c百 米 成 绩 在 第 五 组 的 学 生 数 有 0 .0 8 1 5 0 = 4 ， 记 他 们 的 成 绩 为 m， n， p， q则 从 第 一 、 五 组 中 随 机 取 出 两 个 成 绩 包 含 的 基 本 事 件 有a,b,a,c,a,m,a,n,a,p,a,q,b,c,b,m,b,n,b,p,b,q,c,m,c,n,c,p,c,q,m,n,m,p,m,q,n,p,n,q,p,q， 共 2 1
15、 个 9 分其 中 满 足 成 绩 的 差 的 绝 对 值 大 于 1 秒 所 包 含 的 基 本 事 件 有 a,m,a,n,a,p,a,q， b,m,b,n,b,p,b,q， c,m,c,n,c,p,c,q， 共 1 2 个 ，1 0 分所 以 P = 1 2 分1 8 .（ 1） 证 法 ： , 且 四 边 形 EFBC是 平 行 四 边 形 H为 FC的 中 点 -2 分又 G是 F D的 中 点 -4分 平 面 CDE ， 平 面 CDE GH 平 面 CDE -7分证 法 ： 连 结 E A ， A DE F 是 正 方 形 G是 A E 的 中 点 -1 分 在 E A B 中
16、， -3 分又 A B CD， GH CD， -4 分 平 面 CDE ， 平 面 CDE GH 平 面 CDE -7分（ 2） 平 面 A DE F 平 面 A B CD， 交 线 为 A D且 F A A D， F A 平 面 A B CD.-9 分 , 又 ， B D CD -1 1 分 -1 4 分1 9 . 解 ： （ 1 ） 设 椭 圆 的 半 焦 距 为 ， 依 题 意 - 3分， -4分所 求 椭 圆 方 程 为 -5分（ 2 ） 如 图 ， 设 P点 坐 标 为 ,-6分若 ， 则 有 .-7分即 -8分有两 边 平 方 得 -9分又 因 为 在 椭 圆 上 ,所 以 -10
17、分 , 联 立 解 得 -11分所 以 满 足 条 件 的 有 以 下 四 组 解， ， ， -13分所 以 ,椭 圆 C上 存 在 四 个 点 ， ， ， ， 分 别 由 这 四 个 点 向 圆 O所 引 的 两 条 切线 均 互 相 垂 直 .-14分2 0 . 解 :(1)因 为. - 分所 以 设 S= （ 1）S=. （ 2） w.w.w.k .s.5 .u .c.o .m (1)+(2)得 :=, 所 以 S=. -5分(2)由两 边 同 减 去 1,得. - 分所 以,所 以,是 以 2为 公 差 以为 首 项 的 等 差 数 列 . - 分（ 3） 因 为.因 为 ， 所 以
18、- 分= （ 3 ）= （ 4 ）由 （ 3 ） -（ 4 ） 得=所 以 = - 分2 1 .解 （ 1 ） =, x 0 ,3 1 分当 时 ， ； 当 时 ， 故 值 域 为 . 3 分（ 2 ） ， 当 ， ， 单 调 递 减 ， 当 ， ， 单 调 递 增 . 5 分 ， t无 解 ； 6分 ， 即 时 ， ； . 7 分 ， 即 时 ， 在 上 单 调 递 增 ， ； 8 分所 以 . 9 分（ 3 ） ， 所 以 问 题 等 价 于 证 明 ， 由 （ 2） 可 知 的 最 小 值 是 ， 当 且 仅 当 时 取到 ； 1 1 分 设 ， 则 ， 易 得 ， 当 且 仅 当 时 取 到 ， 从 而 对 一 切 ， 都 有 成 立 1 4 分
