1、第 1 页 共 6 页函数及表示【考纲要求】1. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3. 了解简单的分段函数，并能简单应用【知识网络】映射函数及其表示函数三要素函数的表示【考点梳理】1、映射的定义设 是两个非空的集合，如果按照对应法则 ，对于集合 中的 任意一个元素，在集合 中都有,ABfAB唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合 到集合 的映射， 记作 。映射允许多对一，B:f一对一，但是不允许一对多，允许集合 B 中的元素在集合 A 中没有元素和它对应。2、函数的概念
2、设 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个 ，在集合、 f x中都有唯一的值与它对应，那么称 为从集合 到集合 的一个函数。记作： .B:f)(fy其中 叫做自变量 ， 叫做函数，自变量 的取值范围（数集 ）叫做函数的定义域，与 的值对应xyx的 值叫做函数值，所有函数值构成的集合 叫做这个函数的值域。y (),CyfxA3、函数的三要素函数的三要素是定义域、值域、对应法则，在这三要素中，由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函 数只有两个要素。4、两个函数能成为同一函数的条件当且仅当两 个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。5、区间
3、的概念和记号设 ，且 ，我们规定：,abRb（1）满足不等式 的实数 的集合叫做闭区间，表示为 。axx,ba（2）满足不等式 的实数 的集合叫做开区间，表示为 。)(（3）满足不等式 或 的实数 的集合叫做半闭半开区间，分别表示为 和bx ),ba。这里的实数 和 叫做相应区间的端点。,(bab（4）实数 可以用区间表示为 “ ”读作“无穷大” ， “ ”读作“负无穷大” ，R),(“ ”读作“正无穷大” 。我们可以把满足 的实数 表示为 a),a6、函数的表示方法函数的表示方法有三种。 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系用代数式来表达，这个等式叫做函数的解析表达式 ，简称解析式。 （
4、2）列表法：就是列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方第 2 页 共 6 页法。 （3）图像法：用图像来表示两个变量间的函数关系。7、分段函数在函数的定义域内，对于自变量的 不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。8、求函数的定义域的主要依据（1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函数的真数 ；（4）指数函数 和对数函数 的底数 且 ；（5
5、）零xyalog0xayxyalog01a次幂 的底数 ； （6）函数 的定义域是 ；（7）由实际问题确0tn2|zk定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。【典型例题】类型一：映射的概念例 1以下对应中，从集合 A 到集合 B 的映射有 ；其中 是函数 。（1） （2） （3） （4）解析：（1） 、 （2） 、 （4）是映射， （1） 、 （2）是函数。点评：1.判断是否映射的方法：先看集合 A 中的每个元素是否在集合 B 中都有象；再看集合 A 中的每个元素的象是否唯一；2.函数是非空数集到非空数集的特殊映射，函数一定是映射，映射不一定是函数.举一反三：【变式】设集合 A
6、=R，集合 B=R ，则从集合 A 到集合 B 的映射只可能是（ ）A 、 B、 xyf: xyf:C、 D 、3 )1(log2【答案】C；解析：A、B、D 中元素 没有象。0例 2. 已知 在映射 的作用下的像是 ，求 在 作用下的像和 在 作(,)xyf(,)xy(,3)f(2,3)f用下的原像。解析： ，231,(2)36x所以 在 作用下的像是 ；(,)f,第 3 页 共 6 页或12,3xxyy3所以 在 作用下的原像是 .(,)f(,),1或点评：弄清题意，明白已知是什么，求的又是什么是本题的关键.举一反三：【变式】在映射 ， ，且 ，则与 A中BAf: ,|)(Ryx ),()
7、,:yxyxf中的元素 对应的 B 中的元素为（ ）)2,1(A、 B、 C、 D、,3)3,1()3,1()1,(【答案】A；解析： 2(,)xy类型二：函数的概念例 3下列各组函数中表示同一函数的是 。（1） ， ； （2） ；21fx1gy2lg,lgfxx（3） ； （4） 。2|,t 2,f解析：表示同一函数的是（1） 、 （3） 。其中第（2）组的定义域不同，第（4）组的对应法则不同。点评：对应法则相同与函数的解析式相同是不一样的。对应法则是函数的核心，如（1） 、 （3）的对应法则是相同的。举一反三：【变式】下面各组函数中为相同函数的是（ ）A、 ， B、 ，2()1)fx0()
8、|gx2()1)fx()1gxxC、 ， D、 ，|1tf2t【答案】C；解析：A 中两函数的定义域不同， 的定义域不含 ；B 中两函数的定义域也不同，()ygx0的定义域为 ，而 的定义域为 R； D 中的对应法则不同。()ygx1xf例 4已知 是一次函数，且满足 ，求()f 3(1)2()17fx()fx解析：由题可设 ，(0)ab所以 723xxa化简得 175)(015ba所以 所以2b)(f第 4 页 共 6 页点评：换元法是常用的求解析式法，注意新元的范围，最后要给出函数的定义域；也可以用配凑的方法；除以之外，若已知函数类型，还可以利用待定系数法求函数解析式。举一反三：【变式】
9、已知函数 分别由下表给出：xgf,则满足 的 的值是 . xfgf【答案】2；解析： ；1(3),1()3fffg；22g.(),()fff 中 .x类型三：函数的定义域例 5求下列函数的定义域 ； ；21|yx02(54)lg1xy解析：（1）由 得 ，20|x2或所以函数的定义域为： 。(,)(,1,2)(,)（2）由 得 ，5401lgx4521xx所以函数的定义域为： 。4(,),()25点评：求具体函数的定义域往往转化为解不等式组,此时要细心，首先要找齐约束条件，借助数轴时要注意端点值或边界值。举一反三：【变式】已知函数 的定义域是 R，则实数 的取值范围是（ ）321()xfaaA
10、 B C D13a02013第 5 页 共 6 页【答案】由 的定义域是 R，则 恒成立，321()xfa230ax当 时，显然成立；0a当 时， ；22 11030x aaa当 时， ，0a22 20120a综上，选 C。【变式 3】若 的定义域为 ，求 的定义域。2(31)fx2,()fx【答案】 ；51,4解析：本题的实质是求 在 时的值域。2x,x令 ，当 时， 。22353()4y2,max1y故 的定义域为 。()fx1,例 6已知 的定义域为 ，求 的定义域.(08)2()fx解析： 中 , f 中 ，即 ，解得 或 2()x2x208x20x4所求定义域是 .(,0),4点评：
11、有关复合函数的定义域问题，要明确：（1）定义域是指单一的自变量 的取值范围.如本题中 的定义域为 即 ；而x()fx(,8)x的定义域，同样只指 中的单一的自变量 的取值范围.2()fx2()f（2）在同一法则 之下，括号内的整体范围是一致的。如本题中， 应是函数 的自变量f 0,()f的范围，同时也是括号内的整体范围；而要求解的 的定义域是 中 的取值范围，此2()fx2x处 的取值范围已不是 中的 的取值范围；但 中的 与 中的 的整体范围是x()fx ()fx相同的，可以此为桥梁求解。举一反三：【变式】设函数 ，则函数 的定义域是 。1()lnxf1()()2xgff【答案】由函数 知
12、，所以()l1fx1x(2,1)(,1x类型四：分段函数第 6 页 共 6 页例 7已知函数 ，求：23(0)()14xf（1） 的值；（2） 的定义域、值域。()f ()yfx解析：（1） ， 12()4()16f (2)635f（2） 的定义域为 ，即yx(,),0(,)x(,)x当 时， ；0(),f当 时， ；1x34当 时， ；(),)f综上可得 的值域为 。y(,)fx点评：分段函数分段讨论，先局部后整体；结果应当要并。举一反三：【变式】设 ， ，则 ， .2310()xf21()xgx(3)fg1()2gf【答案】： 。7;6解析： ， ；(3)2g(3)27fgf， .14f113()46
