1、.2020 届高一下期 4 月月考数学试题题号 一 二 三 总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A=1，2，3， B=x|（x+1）（x-2）0， xZ，则 AB=（ ）A. 1 B. 1，2C. 0，1，2，3 D. -1，0，1，2，32. 幂函数 f（x ）=（m 2-2m+1）x 2m-1 在（0，+）上为增函数，则实数 m 的值为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 或 23. ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知 a= ，c=2，cosA= ，则b=（ ）A. B. C. 2 D. 34. 在ABC 中， ，A =
2、75，B=45，则ABC 的外接圆面积为（ ）A. B. C. 2 D. 45. 方程 2x+x=2 的解所在区间是（ ）A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）6. 角 的终边经过点（2，-1），则 sin+cos 的值为（ ）A. - B. C. - D. 7. 已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则 ABC=（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 1208. 已知向量 ， 的夹角为 60，且| |=| |=1，则| + |等于（ ）A. 3 B. C. 2 D. 19. 已知 ， 是不共线向量， =2 + ， =- +3 ， = - ，且 A，B
3、，D 三点共线，则实数 等于（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 610. 已知 D、E、F 分别为ABC 的边 BC、CA 、AB 的中点，且 = 、 = 、 = 、则 ； ； ； = 其中正确的等式个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第 2 页，共 11 页11. 向量 ， ，且 ，则 cos2=（ ）A. B. C. D. 12. 函数 y=sinx+ cosx 的最小值为（ ）A. 1 B. 2 C. D. -2二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知 ，若 ，则 k= _ 14. 向量 =（2，3）在向量 =（3，-4 ）方向上的投影为_15.
4、 函数 f（x） =log cos（2x- ）的单调递增区间为_ 16. 已知函数 f（x ）=x 2-|x|+a，若存在 x1，x 2，x 3，x 4（x 1，x 2，x 3，x 4 互不相同），使f（x 1）=f（x 2） =f（x 3）= f（x 4）=1，则 a 的取值范围是_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17. 已知向量 ， 满足| |=2， | |=1，向量 =2 - ， = +3 （1）若 与 的夹角为 60，求 | - |的值；（2）若 ，求向量 与 的夹角 的值18. 如图，在平面四边形 ABCD 中，AD=1，CD =2，AC= （）求 cosCAD
5、的值；（）若 cosBAD=- ，sin CBA= ，求 BC 的长.19. 已知函数 （1）判断函数 f（x ）在区间0 ，+）上的单调性，并用定义证明其结论；（2）求函数 f（x ）在区间2 ，9上的最大值与最小值20. 设向量 =（sinx，-1）， =（ cosx，- ），函数 f（x）=（ + ） （1）求函数 f（x ）的单调递增区间；（2）当 x（0 ， ）时，求函数 f（x）的值域21. 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acosC+ccosA=2bcosA（1）求角 A 的值；（2）若 ，求ABC 的面积 S22. 如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏
6、西 60方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 6 海里，渔船乙以 5 海里/ 小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上（1）求渔船甲的速度；（2）求 sin 的值第 4 页，共 11 页.答案和解析【答案】1. C 2. C 3. D 4. B 5. A 6. D 7. A8. B 9. C 10. B 11. D 12. D13. 6 14. 15. （k+ ，k + ）（k Z） 16. （1， ） 17. 解：（1） =21cos60=1| - |2= 2-2 + 2=3 | - |= （2） ， =0，即（2 -
7、 ）（ +3 ）=2 2+5 -3 2=8+10cos-3=0cos=- =120 18. 解：（）cos CAD= = = （）cosBAD=- ，sinBAD= = ，cosCAD= ，sinCAD= = sinBAC=sin（ BAD-CAD）=sinBADcos CAD-cosBADsinCAD= + =，由正弦定理知 = ，BC= sinBAC= =3 19. （1）解：f（x ）在区间0 ，+）上是增函数证明如下：任取 x1，x 20，+），且 x1x 2，= = x1-x20，（x 1+1）（x 2+1）0，f（x 1）- f（x 2）0，即 f（x 1）f（x 2）函数 f（x
8、）在区间0，+）上是增函数（2）由（1）知函数 f（x ）在区间2 ，9上是增函数，第 6 页，共 11 页故函数 f（x）在区间 2，9上的最大值为 ，最小值为 20. 解：（1） =（sinx ，-1）， =（ cosx，- ），f（x）=（ + ） =（sin x+ cosx，- ）（sinx，-1）=sin2x+ sinxcos+ = （1-cos2x）+ sin2x+= sin2x- cos2x）+2=sin（2x- ）+2 ，由 2k- 2x- 2k+ ，解得：k- xk+ ，故函数的递增区间是k- ，k+ ；（2）x（0， ），2x- （- ， ），故 sin（2x- ）的最大值
9、是 1，sin（2x- ）sin （- ）=- ，故函数的最大值是 3，最小值大于 ，即函数的值域是（ ，3 21. 解：（1）在ABC 中，acos C+ccosA=2bcosA，sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，sin（A+C）=sin B=2sinBcosA，sinB0， ，可得： （2） ， ，b2+c2=bc+4，可得：（ b+c） 2=3bc+4=10，可得：bc=2 22. 解：（1）依题意，BAC=120，AB =6，AC=52=10 ， BCA=在ABC 中，由余弦定理，得 BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC =62+102-2610cos1
10、20=196解得 BC=14，所以渔船甲的速度为 海里/ 小时答：渔船甲的速度为 7 海里/小时（2）在ABC 中，因为 AB=6，BAC =120，BC =14，BCA=，.由正弦定理，得 即 答：sin 的值为 【解析】1. 解：集合 A=1，2，3，B=x|（x+1）（x-2）0，x Z=0，1，AB=0，1，2，3故选：C先求出集合 A，B，由此利用并集的定义能求出 AB 的值本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用2. 解：幂函数 f（x ）=（m 2-2m+1）x 2m-1 在（0，+）上为增函数， ，解得 m=2故选：C利用幂函数的定义及性质列出方程
11、组，由此能求出实数 m 的值本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的定义及性质的合理运用3. 解：a= ，c =2，cos A= ，由余弦定理可得：cosA= = = ，整理可得： 3b2-8b-3=0，解得：b=3 或- （舍去）故选：D由余弦定理可得 cosA= ，利用已知整理可得 3b2-8b-3=0，从而解得 b 的值本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题4. 解：在ABC 中， ，A=75 ，B=45，C=180-A-B=60，设ABC 的外接圆半径为 R，则由正弦定理可得 2R= = ，解得 R=1，
12、故ABC 的外接圆面积 S=R2=，故选：B由三角形的知识和正弦定理可得外接圆的半径，可得面积本题考查正弦定理，求出外接圆的半径是解决问题的关键，属基础题5. 解：令 f（x ）=2 x+x-2，A、由 f（0）=-1，f（1）=2+1-2=1 知，f （0）f（1）0，故 A 正确；B、由 f（2）=4+2-2=4，f（1）=2+1-2=1 知，f （2）f（1）0，故 B 不正确；C、由 f（2）=4+2-2=4，f（3 ）=8+3-2=9 知，f（2）f （3）0，故 C 不正确；D、由 f（4）=16+4-2=18，f（ 3）=8+3-2=9 知，f（2）f （3）0，故 D 不正确；
13、故选 A构造函数 f（x） =2x+x-2，分别计算区间端点的函数值，再验证是否符合函数零点存在第 8 页，共 11 页的判定内容本题考查了函数零点的判定定理应用，一般的方法是把方程转变为对应的函数，求出区间端点的函数值，并验证它们的符号即可6. 解：已知角 的终边经过点（ 2，-1），则 x=2，y=-1，r= ，sin=- ，cos= ，sin+cos=- ，故选 D由题意可得 x=2，y =-1，r= ，可得 sin 和 cos 的值，从而求得 sin+cos 的值本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于中档题7. 解： ， ； ；又 0ABC180；ABC=30故选 A根据向量 的坐标
14、便可求出 ，及 的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出 cosABC 的值，根据ABC 的范围便可得出ABC 的值考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角8. 解：向量 ， 的夹角为 60，且| |=| |=1，| + |= = = =故选：B由已知结合 ，展开平方，代入平面向量数量积公式得答案本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题9. 解：A ，B，D 三点共线， = ，（ 为实数）， =2 + ， =- +3 ， = - ， =（-1） ， = ，解得 ，=5故选：C由 A，B，D 三点共线，得 = ，（ 为实
15、数），由此能求出实数 .本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则、共线向量的性质的合理运用10. 解：E 、F 分别为ABC 的边 CA、AB 的中点， = = （ + ）= + ，故 错误， = = + ，故正确， = = + ，故错误， = （ - ）+ （ - ）+ （ - ）= ，故正确，故正确是，共有 2 个，故选：B 根据向量加法和减法的运算法则进行化简即可本题主要考查向量的加法和加法的运算，根据三角形法则是解决本题的关键11. 解： ， ，且 ， ，即 ，化简得 sin= ，cos2=1-2sin2=1- = 故选：D 根据向量平行的条件建立关于 的
16、等式，利用同角三角函数的基本关系算出 sin= ，再由二倍角的余弦公式加以计算，可得 cos2 的值本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求 cos2 的值着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和向量平行的条件等知识，属于基础题12. 解：y=sin x+ cosx=2（ sinx+ cosx）=2sin（x+ ）-1sin（x+ ）1 ，当 sin（x+ ）=-1 时，函数 y 取得最小值-2 故选：D利用两角和的正弦公式即可化为 asinx+bcosx= sin（x+），进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出本题属于基础题，熟练掌握两角和的正弦公式化 as
17、inx+bcosx= sin（x+）、及正弦函数的单调性、最值是解题的关键13. 解： =（2，1）+2（k，3）=（2+2k，7）=2（2，1）-（k，3）=（4- k，-1）第 10 页，共 11 页 （ 2+2k） （ -1）=7 （4-k），k=6 故答案为 6先根据向量的线性运算可求得 与 ，再由 可得到（2+2k）（-1）=7（4-k），进而可求得 k 的值本题主要考查向量的线性运算和向量平行的坐标运算考查基础知识的综合应用和灵活能力考查对向量的掌握程度和计算能力14. 解：根据投影的定义可得：在 方向上的投影为| |cos ， = = =- 故答案为： 根据投影的定义，应用公式
18、在 方向上的投影为| |cos ， = 求解本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用解答关键在于要求熟练应用公式15. 解：对于函数 g（x）=cos（2x- ）的单调减区间为 2k2x- 2k+，即 k+ xk+ ，而 cos（2x- ）0，故函数 g（x）的单调减区间为（k+ ，k + ）（k Z），根据复合函数的同增异减的原则，得：f（x）在（ k+ ，k+ ）（k Z）递增，故答案为：（k+ ，k + ）（k Z）先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时 2x- 的范围，进而求得 x 的范围，求得函数 f（x）的单调递增区间即可本题主要考查了余弦函数的单调性考查了
19、学生对三角函数基础知识的理解和把握16. 解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1 与曲线 y=x2-|x|+a，观图可知，a 的取值必须满足 ，解得 1 故答案为：（1， ）在同一直角坐标系内画出直线 y=1 与曲线 y=x2-|x|+a 的图象，观察有四个交点的情况即可得到.本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想17. （1）求出 ，对| - |取平方计算；（2）由 得 =0，列出方程解出cos，得到 的值本题考查了平面向量的数量积运算，夹角公式，属于基础题18. （）利用余弦定理，利用已知条件求得 cosCAD 的值（）根据 cosCAD，cosBA
20、D 的值分别，求得 sinBAD 和 sinCAD，进而利用两角和公式求得 sinBAC 的值，最后利用正弦定理求得 BC本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用考查了学生对基础知识的综合运用19. （1）利用函数的单调性的定义证明即可（2）利用函数的单调性，求解函数的最值即可本题考查函数的单调性的判断与应用，函数的最值的求法，考查计算能力20. （1）利用向量数量积公式化简函数，结合正弦函数的单调增区间，可得 f（x）的单调增区间；（2）求出（2x- ）的范围，从而确定 f（x）的范围，化简函数，可得函数的值域本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21. （1）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 sinB=2sinBcosA，结合 sinB0，可求 cosA，进而可求 A 的值（2）由已知及余弦定理，平方和公式可求 bc 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，平方和公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题22. （1）在ABC 中使用余弦定理计算 BC，从而得出渔船甲的速度；（2）在ABC 中，使用正弦定理计算BCA ，从而得出 sin本题考查了正余弦定理在三角形中的实际应用，属于中档题
