1、第四章 几何图形初步4.3.1 角知识目标知识目标目标突破目标突破第四章 几何图形初步总结反思总结反思知识目标知识目标4.3.1 角1借助 实 物和几何模型，理解角的概念，会用不同的方法表示角2通 过 演示射 线绕 端点旋 转 的活 动 ，理解直角、平角和周角的概念3通 过阅读 教材和 类 比 时间单 位， 认识 度、分、秒，会 对 度、分、秒 进 行 简单 的 换 算4.3.1 角目标一 会用字母表示角，能确定角的个数目标突破目标突破4.3.1 角4.3.1 角4.3.1 角4.3.1 角目标二 会进行直角、平角和周角之间的换算B4.3.1 角4.3.1 角4.3.1 角目标三 会对度、分、
2、秒进行换算4.3.1 角4.3.1 角总结反思总结反思4.3.1 角知识点一 角的概念两条射线顶点边4.3.1 角端点知识点二 角的表示方法4.3.1 角知识点三 角度制的换算4.3.1 角1分1秒360 18060 60知识点四 画一个角等于已知角4.3.1 角4.3.1 角4.3.1 角4.3.1 角4.3.1 角14.3 角43.1 角情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣情景导入 同学们，小学时就已经接触过“角”，我这里展示几张生活图片，看看你们能 不能从图中找到角(多媒体展示图片)图 431说明与建议 说明：用源于生活的美丽图片吸引学生的注意力，激发他们的好奇心，
3、调动学生的学习情趣，增强感性认识，诱发学生对新知识的需求，并由此引出新课建议：重点让学生仔细观察图形，找到图中包含的角，为本节课的学习做好铺垫图 432复习导入 小学的时候我们学习过角，对角有了一定的印象，在我们身边也存在很多的角，你还记得角的概念是怎么说的吗？观察图形，你能在图中找到角吗？说明与建议 说明：回顾复习角的 概念，为本节课奠的学习定基础，同时揭示本节 课的课题，明确目标建议：引导学生结合图形，理解角的概念，能准确找出图中包含的角也可以让学生找出教室里的角命题角度 1 角的表示2注意：不管用哪种表示方法，都不能漏掉角的符号，另外要切记用三个大写字母表示一个角时，顶点字母一定要写在中
4、间例 开县期末 如图 433 所示四个图形中，能用、AOB、O 三种方法表示同一个角的图形是( B)图 433命题角度 2 利用角的度分秒进行计算角的单位有度、分、秒，度、分、秒之间的换算关系：160，160，13600；1 ，1 ，1 .根据它们之间的关系进行计算(160) (160) ( 13600)例 辽阳中考 2700_0.75_.命题角度 3 画一个角等于已知角(1)利用量角器可以度量角的大小并画出角；(2)利用三角尺可以画出特殊的角，如 30，45，60，90角等例 利用量角器画一个 54的角答案：略命题角度 4 时钟上的角度问题时针的规律：(1)钟表一周为 360，大格有 12
5、个，小格有 60 个，每个大 格为 30，每个小格为6；(2)分针的速度为 1 小格/分，时针的速度为 小格/分；112(3)分针的速度为 6 度/分，时针的速度为 度/分(12)时针和分针的夹角公式：m 点 n 分时，时针和分针的夹角为|0.5(60mn)6n|度，若 算出来超过 180，则 360 即为所求的夹角解这类题通常会用到方程思想例 1 成都模拟 时针在 3 点半时，分针与时针所夹的角的 度数是( B)3A67.5 B75 C82.5 D90例 2 在下午 2 点到 3 点之间，时钟的时针和分针何时重叠？解：设 2 点 x 分时，时钟的时针和分针重叠，则 x 分钟内，时针转过(0.
6、5x)，分针转过(6x).根据题意，得 6x0.5x60，解得 x .12011即在 2 点 分时，时钟的时针和分针重叠12011P134 练习16 时整，钟表的时针和分针构成多少度的角？8 时呢？8 时 30 分呢？答案 6 时整，时针与分针成 180的角；8 时整，时针与分针成 120的角；8 时 30分，分针与时针成 75的角2(1)35等于多少分？等于多少秒？(2)3815和 38.15相等吗？如不相等，哪一个大？答案 (1)352100126000；(2)不等，38.15389，3893815.3从蜂巢的入口处看，蜂巢由许多正六边形(六条边相等，六个角也相 等)构成，按图示的方示，利
7、用三角尺和圆规画出一个正六边形答案 如图所示：当堂检测1. 关于角的定义，下列说法：（1）两条射线构成角，（2）构成角的两条射线越长角越大，（3）一条射线绕端点旋转而成的图形叫做角，（4）在放大镜下看到的角比原角大.其中正确的有（ ）A一个 B. 两个 C. 三个 D. 四个2. 角的主要表示方法有：（1）一个大写字母，（2）三个大写字母，（3）一个小写字母，（4）一个数字.其中一定正确的有（ ）4A一个 B.两个 C.三个 D.四个3. 下列说法：（1）平角是一条直线，（2）周角是一条射线，(3) 平角的两边构成一条直线，(4)平角的一半是直角.其中正确的是（ ）A一个 B.两个 C. 三个
8、 D.四个4. 用“度、分、秒”表示 32.26= ，5727 度5. 三点时时针与分针构成多少度？四点呢？参考答案：1. A2. C3. B4. 321536 57.45 5. 90 120 长度单位“米”和“码”在日常生活中,计算长度的单位我们一般使用 “米”，但是关于 “米”的使用,则是近二百年的事情.18 世纪, 随着科学技术的不断发展 , 人们对 地球的知识了解得更加透彻, 为了方便, 科学家们假象出了经线和纬线.到 了 1791 年, 法国科学家认为, 要测量地球的经线, 首先要有一个明确的度量单位, 于是他们规定地球经线的四千万分之一为 1 米.在法国科学界的大力推动下, “米”
9、 作为一种长度度量单位而得到世界各国的承认.现在, “米”是一种最常用的长度度量单位.在公制中,科学家把通过巴黎子午线全长的四千万分之一作为 1 米.另外,计算长度的单位还有一个 “码”, 它是英制中比较常用的长度单位.它的使用比米要早九百多年.相传,它是由英国国王亨利一世设置的.它的设置,体现出了君王 “一言九鼎”的权威.据说有一天, 亨利一世上朝时,坐在宝座上无事可做,就召集几个大臣一起闲聊.在闲谈之中,他伸直手臂,翘起大拇指,对大臣们说: “你们听着,从我的鼻尖到大拇指的距离,作为一个基本的长度单位,就把它命名为 码吧”.从此, “码”作为一个长度单位沿用到今天.“码”的英文是 YARD
10、, 一码=3 英尺,1 英里=1760 码.码与公制的换算关系是: 1 码=0.9144 米,码与市制的换算关系是:1 码=2.7423 市尺.14.3.1 角【知能点分类训练】知能点 1 角的概念与角的表示方法1下图中表示ABC 的图是（ ） 2下列关于角的说法正确的是（ ） A两条射线组成的图形叫做角； B延长一个角的两边；C角的两边是射线，所以角不可以度量； D角的大小与这个角的两边长短无关3下列语句正确的是（ ） A由两条射线组成的图形叫做角 B如图，A 就是 BACC在BAC 的边 AB 延长线上取一点 D； D对一个角的表示没有要求，可任意书定4如图所示，能用AOB ，O，1 三种
11、方法表示同一个角的图形是（ ） 5如图所示，图中能用一个大写字母表示的角是_；以 A为顶点的角有_个，它们分别是_6从一个钝角的顶点，在它的内部引 5 条互不相同的射线，则该图中共有角的个数是（ ） A28 B21 C15 D6知能点 2 平角与周角的概念7下列各角中，是钝角的是（ ） A 周角 B 周角 C 平角 D 平角142323148下列关于平角、周角的说法正确的是（ ） A平角是一条直线 B周角是一条射线C反向延长射线 OA，就形成一个平角 D两个锐角的和不一定小于平角9一天 24 小时中，时钟的分针和时针共组合成_次平角，_次周角知能点 3 角的度量10已知=1818，=18.18
12、，=18.3，下列结论正确的是（ ） A= B11 （1）把周角平均分成 360 份，每份就是_的角，1=_，1=_（2）25 72=_（3）154836=_（4）3600=_=_12如图所示，将一个矩形沿图中的虚线折叠，请用量角器测量一下其中的 ，得_213计算下列各题：（1）1531942+264028 （2）903-572144（3）3315165 （4）1751630-47306+412503【综合应用提高】14 （1）1 点 20 分时，时钟的时针与分针的夹角是几度？2 点 15 分时，时钟的时针与分针的夹角又是几度？（2）从 1 点 15 分到 1 点 35 分，时钟的分针与时针各
13、转过了多大角度？（3）时钟的分针从 4 点整的位置起，按顺时针方向旋转多少度时才能与时针重合？15如图所示，已知 和（） ，求作：（1）+；（2）-16如图所示，指出 OA 是表示什么方向的一条射线，并画出表示下列方向的射线：（1）南偏东 60；（2）北偏西 70；（3）西南方向（即南偏西 45） 【开放探索创新】17 （1）用 10 倍放大镜看 30的角 ，你观察到的角是_ （2）用 10 倍放大镜看 50的角，60的角，你观察到的角是_，_3由（1） ， （2） ，你能得到什么结论？请把你的结论让同学们进行验证，看是否正确【中考真题实战】18 （北京）在图中一共有几个角？它们应如何表示？1
14、9 （广州） （1）3.76=_度_分_秒（2）3.76=_分=_秒（3）钟表在 8：30 时，分针与时针的夹角为_度答案:1C （点拨：用三个大写字母表示角，表示角顶点的字母在中间）2D3B （点拨：根据 定义知 A，C 不正确，根据角的表示方法知 D 不正确）4D （点拨：O 是一个单独的大写英文字母，它只能表示独立的一个角，而O 还可用1 或AOB 表示）5B，C 6 个 CAD，CAE，CAB，DAE，DAB，EAB6B 点拨：有公共顶点的 n 条射线，所构成的角的个数，一共是 n（n-1）个127C （点拨：平角=180，钝角大于 90而小于 180， 平角= 180=120，3故选
15、 C）8C （点拨：根据定义可知 A，B 不正确；锐角大于 0而小于 90，所以两个锐角的和小于 180，D 不正确；反向延长射线 OA，O 成为角的顶点，故选 C）924 24 （点拨：分针每小时转动一周与时针形成一次平角，一次周角）10C 点拨：1=60，18=（ ）=0.3，1818=18+0.3=18.3，1860即=11 （1）1 度 60 604（2）25 43 12（3）15.81 （点拨：根 据度、分、秒互化）（4）60 112=13 （1）1531942+264028=179+59+70=179+60+10=18010（2）903-572144=895963-572144=3
16、23819（3）3315165=165+75+80=165+76+20=1661620（4）1751630-47306+412503=1751630-3306+1 236150=1751630-7-55+1238 30=1875460-755=18014解：分针每分钟走 1 小格，时针每分钟走 小格121 点 20 分时，时针与分针的夹角是 20-（5+ 20） 360=802 点 15 分时，时针与分针的夹角是15-（10+ 15）=22.5（2）从 1 点 15 分到 1 点 35 分，时钟的分针共走了 20 小格分针转过的角度是（35-15） =120，5时针转过的角度是 120=10（
17、3）设分针需要按顺时针方向旋转 x 度，才能与时针重合，则时针按顺时针方向旋转了 x 度根据题意，得 x- x=120解得 x=130分针按顺时针旋转（130 ）时，才能与时针重合15作法：（1） 作AOC=以点 O 为顶点，射线 OC 为边，在AOC 的外部作COB=，则AOB 就是所求的角（2）作AOC=，以点 O 为顶点，射线 OC 为边，在AOC 的内部作COB=则AOB 就是所求的角16略17 （1）30 （2）5 0 60 角度不变（点拨：放大镜只有把图形放大，但不能把角度放大）183 个角，ABC，1，2619 （1）3 45 36 （2）225.6 13536 （3）75.第四
18、章 几何图形初步第四章 几何图形初步4.3.1 角4.3.1 角探究新知探究新知活动 1 知识准备我们在小学已经对角有了初步的了解和认识，请画出一个锐角，并试着说出角的组成元素 答案 如图 4 3 1所示角的组成元素：边、顶点 图 4 3 1 4.3.1 角活动 2 教材导学一家大酒店的服务台墙面上挂着四个城市相应的钟表，你知道钟表上时针与分针所成的角的度数吗？ 图 4 3 2 时钟上的角度4.3.1 角答案 时针每小时转动 36012 30 ；巴黎时间：时针与分针所成的角的度数为 30 ；伦敦时间：时针与分针所成的角的度数为 0 ；北京时间：时针与分针所成的角的度数为 304 120 ；东京
19、时间：时针与分针所成的角的度数为 303 90. 第四章 几何图形初步4.3.2 角的比较与运算知识目标知识目标目标突破目标突破第四章 几何图形初步总结反思总结反思知识目标知识目标4.3.2 角的比较与运算1通 过类 比比 较线 段 长 短的方法以及用量角器 测 量角度、用直尺画 图 等活 动 ，能比 较 角的大小2通 过阅读 教材以及用一副三角尺拼 图 等活 动 ，理解角的和、差的概念，并能 计 算角的和、差3通 过类 比 线 段的中点、 阅读 教材、折 纸 等活 动 ，理解角平分 线 的意 义 ，会 进 行与角平分 线 有关的 计 算4.3.2 角的比较与运算目标一 能比较角的大小目标突破
20、目标突破4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算目标二 会计算角的和、差4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算目标三 会进行与角平分线有关的计算 4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算总结反思总结反思4.3.2 角的比较与运算知识点一 角的大小比较叠合 度量知识点二 角的和、差4.3.2 角的比较与运算1 22 1知识点三 角的平分线4.3.2 角的比较与运算相等4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算4.3.2
21、角的比较与运算14.3 角4.3.2 角的比较与运算情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣情景导入 成功永远属于肯攀高峰的人如图 4320，你选择从哪一面上山呢？图 4320从图中我们找到了陡坡和缓坡，其实就是比较两个角的大小同学们能直接观察出图4320这两个角的大小吗？说明与建议 说明：展示图片，学生找路径，其实质是比较两个角的大小，用眼直接能够观察出大小，然后出示两个大小近似的角，不能通过肉眼观察直接比较大小，从而引出课题建议：重点让学生掌握比较两个角的大小的方法，为本节课的学习做好铺垫可以提示性的提问学生：“你能从比较线段的长短的方法得到的启示来比较两个角的大小吗？图
22、 4321类比导入 回顾小学认识的各种角，通过动画演示它们的形成过程，看看角的分类(提示：锐角小于直角，直角小于钝角，钝角小 于平角)，角的大小比较是否存在其必要性？那我们又应该怎样比较两个角的大小呢？前面学过的一些方法在这儿能否借鉴？上节课我们学习了线段的长短比较，大家还记得怎样比较吗？(度量法，叠合法)那角的比较能不能类比线段的比较方法呢？如果能，又该怎样比较呢？本节课我们就来解决这个问题说明与建议 说明：回顾上节课学习的角的度量、角的表示以及小学学习中关于锐角、钝角、直角的概念，通过类比，让学生学会角的比较的方法建议：引导学生结合实际生活理解比较角的大小的方法命题角度 1 角的大小比较角
23、的大小比较有(1)叠合法；(2)度量法也可以根据锐角、直角、钝角、 周角之间的关系比较角的大小注意角的大小与边的长短无关，只与角的两边张开角度的大小有关例 观察、探究与思考根据图 4322，求解下列问题：(1)比较AOB，AOC，AOD，AOE 的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角、平角；2(2)写出AOB，AOC，BOC，AOE 中某些角之间的两个等量关系图 4322解：(1)根据图形可得AOBAOCAODAOE；锐角是AOB，直角是AOC，钝角是AOD，平角是AOE.(2)根据图形可得AOBAOCBOC.AOBBOCAOCAOE.命题角度 2 利用三角尺作角当利用三角板已有的角度进行角度的
24、和差运算时，要考虑全所有可能的情况角的度数 画 角的方法15 453060451575 453075105 4560105120 60609030120135 9045135150 9060150165 903045165例 用一副三角板 ，不可能画出的角是( D)A15的角 B75的角C165的角 D145的角命题角度 3 角度的计算根据角平分线的定义可以求出所分的两个较小的角的度数，再结合其他的角度，进行加减运 算，进而可以求出未知角的度数注意在计算角的度数时，在只有几何语言表述而没有图形的情况下，要注意考虑图形的不同情形，以确保答案不重复、不遗漏图 4323例 如图 4323，AOC80
25、， BOC50，OD 平分BOC，求AOD 的度数解：AODAOCDOC80 BOC8025105.12P136 练习1估计图中1 与2 的大小关系，并用适当的方法检验3答案 12；12.2如图，把一个蛋糕等分成 8 份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是 15，这个蛋糕应等分成多少份？答案 360845，3601524.答：把一个蛋糕等分成 8 份，每份中的角是 45；要使每份中的角是 15，这个蛋糕应等分成 24 份3如图， O 是直线 AB 上一点， OC 是 AOB 的平分线， COD31.28，求 AOD 的度数答案 AOB180， AOC BOC， AOC AOB90.12
26、AOD AOC COD9031285832.当堂检测1. 在AOB 的内部任取一点 C，作射线 OC，则一定存在（ ）A.AOBAOC B. AOBBOC C.BOCAOC D.AOCBOC2. 【2012滨州】 借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（ ）A65 B75 C85 D953. 根据下图，完成下列填空：（1）BOD=BOC+_；AOC=_+_；AOB=_+_+_；AOD+BOC=_-_；（2）若AOC=90，BOC=30，则AOB=_4. 计算：（1）2516203;4（2）13 32545. 如图，OC 是AOD 的平分线，OE 是BOD 的平分线，且AOB=130，求COE
27、 是多少度.参考答案：1. A2. B3.（1）DOC AOD DOC AOD DOC COB AOB DOC（2）1204.（1）7549（2）3321155. 解： OC 平分AOD，OE 平分AOD， COD= AOD，DOE= BOD.21COE=COD+DOE= AOD+ BOD= AOB=65.罗素悖论一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。因为，如果他给自己 理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个
28、人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。 1874 年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到 19 世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是 1902 年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机
29、”。此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产 生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。 14.3.2角的比较与运算一、填空:1.如图 1,AOB_AOC,AOB_BOC(填,=,C,那么A 一定大于C。5.用一副三角板不能画出( )A.75角 B.135角 C. 160角 D.105角6.如图 3,若AOC=BOD,那么AOD 与BOC 的关系是( )A.AODBOC B.AOD4 B.3=4; C.34 D.不确定8.OC是从AOB 的顶点 O引出的一条射线,若AOB=90,AOB= 2BOC, 求AOC 的度数.9.如图,把AOB 绕着 O点按逆时针方向旋转一个角度,得AO
30、B,指出图中所有相等的角,并简要说明理由.O ABBA10.如图,BD 平分ABC,BE 分ABC 分 2:5两部分,DBE=21,求ABC 的度数.2D CAEB11.如图,已知、 ,画一个角，使=3- .1212.如图, A、B 两地隔着湖水,从 C地测得 CA=50m,CB=60m,ACB=145,用 1 厘米代表 10米(就是 1:1000的比例尺)画出如图的图形.量出 AB的长(精确到 1毫米), 再换算出A、B 间 的实际距离.CA B13.如图,AOB 是平角,OD、OC、OE 是三条射线,OD 是AOC 的平分线, 请你补充一个条件,使DOE=90,并说明你的理由.OD CAE
31、B答案:31略。2.AOB,BOC,AOD,COD;BOD,COD,AOC,AOB 3.AOB,AOB 4.D 5.C 6.C 7.B 8.40或 120 9.AOB=AOB, AOA=BOB 10. 设 ABE=x,得 2x+21=5x-21,解得 x=14,所以ABC=147=98。12略。13.OE平分BOC 或AOD+EOB=90,因为AOC+BOC=180, OE 平分BOC，OD 是 AOC 的平分线，所以 2DOC+2EOC=180,所以DOE=90。第四章 几何图形初步第四章 几何图形初步4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算探究新知探究新知活动 1 知识准备1
32、56.32 _.2 1061424 _.3小刚每晚 19： 00都要看央视的 “ 新闻联播 ” 节目，这时钟面上时针与分针夹角的度数为 _ 56 19 12 106.24 150 4.3.2 角的比较与运算活动 2 教材导学阅读教材 P134比较角的大小及思考问题后，回答下列问题：1如图 4 3 3， AOB_ AOC， AOB_ BOC(填“ ”“ ” 或 “ 角的和差4.3.2 角的比较与运算2如图 4 3 4， AOC _ _ _ _ 图 4 3 4 AOB BOC AOD COD 第四章 几何图形初步4.3.3 余角和补角知识目标知识目标目标突破目标突破第四章 几何图形初步总结反思总结
33、反思知识目标知识目标4.3.3 余角和补角1通 过阅读 教材，理解余角、 补 角的概念，会 识别 余角或 补角2通 过 画 图 、分析推理等探索活 动 ，掌握余角和 补 角的性 质3通 过 学 习 例 题 ，理解方向角的概念，会用方向角表示物体的位置4.3.3 余角和补角目标一 会识别余角或补角目标突破目标突破4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角目标二 利用余角和补角的性质解决有关问题4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角目标三 会用方向角作图4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角总结反思总结反思4.3.3 余角和补角知识点一 互为余角、补角90180
34、知识点二 余角、补角的性质4.3.3 余角和补角相等相等知识点三 方向角4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角14.3 角4.3.3 余角和补角情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣图 4358情景导入 举世闻名的比萨斜塔位于意大利的比萨小镇，是一座由白色云石建成的古塔该塔发生倾斜但斜而不倒，比萨因此远近闻名比萨斜塔始建于 1173 年，从地面到塔顶高 55 米，自建成以后曾发生多次倾斜，常人只凭眼睛也能察觉意大利科学家伽利略曾在斜塔的顶层做过自由落体运动的实验，开创了实验物理的新时代，斜塔也因而更加闻
35、名遐迩意大利政府曾想尽办法制止古塔的继续倾斜，但到目前为止未能成功你知道斜塔的倾角是多少度吗？你能用什么方法测量呢？某位游客设计的测量斜塔倾角的方案是：将斜塔看成一条线段 OA 在正午太阳直射地面时标记塔顶的影子 B，画出直线 OB，想办法测出了AOB85 度，然后让学生思考：(1)斜塔 OA 倾斜了多少度？(2)斜塔 OA 与 OC 所成的角是多少度？(3)斜塔 OA 与 OB 所成的另外一个角即AOD 是多少度？说明与建议 说明：从学生的兴趣着手，激发学生的探究欲望，给学生一种轻松的心理氛围，易于学生学习新知识，让学生注重观察生活，知道数学来源于生活，并服务于生活建议：让学生自由组合，相互
36、讨论，活跃课堂气氛，从他们的兴趣入手，让学生无形中参与到课堂的活动中，在学生的讨论探究中口头归纳出余角和补角的性质复习导入 (课件演示)计算：(1)4446_90_；(2)302034593926_90_；(3)102555_90_；(4)9684_180_；(5)584512115_180_学生计算并回答，总结它们的特点说明与建议 说明：通过计算复习上节课的知识，设置悬念，调动学生的积极性，更进一步促使学生渴望尽快寻求到答案，同时也为判断余角和补角做铺垫建议：教师应关注：计算的准确性，学生是否认真观察并思考命题角度 1 直接运余角与补角的概念求角的度数在计算时要紧扣余角、补角的定义进行计算注
37、意互余的两个角都是锐角，互补的两个角可能是一个是锐角，另一个是钝角；也可能两个角都是直角2例 求 3542角的余角和补角的度数解：余角的度数为 9035425418；其补角的度数为 180354214418.命题角度 2 根据余角、补角的性质说理的问题余角、补角的性质是：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等这个性质也为说明两个角相等提供了思路认真观察分析图形，挖掘出图形中隐含的数量关系是关键例 1 已知1 与2 互补，3 与4 互补，如果13，那么2 与4 有什么关系？说说理由解：由1 与2 互补，3 和4 互补，得12180，34180，又13，根据等角的补角相等，可知24.图 435
38、9例 2 如图 4359，点 E，O，A 在同一直线上，AOBCOD90，那么图中与AOD 互补的角为_DOE，BOC_解析 因为DOEAOD180，所以DOE 与AOD 互为补角根据AOBCOD90，可得出DOEBOC，所以BOCAOD180，所以BOC 与AOD 互为补角这样，AOD 的补角有两个分别是：DOE，BOC.命题角度 3 用角度表示方向方位角是以南北方向为起始方向，一般是以北偏东，南偏西等加上角度来表示的特殊的方位角如下：例 如图 4360，OA 表示什么方向的一条射线？并画出表示下列方向的 射线(1)北偏西 60；(2)南偏东 30；(3)西南方向图 43603图 4361答
39、案：OA 表示北偏东 30的射线 (1)射线 OB (2)射线 OC (3)射线 OD(如图4361 所示)P138 练习1图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？答案 10与 80互为余角；30与 60互为余角；10与 170互为补角；30与150互为补角；60与 120互为补角；80与 100互为补角2一个角是 7039，求它的余角和补角答案 余角：9070391921，补角：180703910921.3 的补角是它的 3 倍， 是多少度？答案 设这个角为 x，则它的补角为 180 x.根据题意，得 3x180 x，解这个方程，得 x45.所以 45.4一个角是钝角，它的一半是什么角
40、？答案 锐角P139 习题 4.3复习巩固1如果把钟表的时针在任一时刻所在的位置作为起始位置，那么时针旋转出一个平角及一个周角，至少各需要多长时间？答案 6 小时，12 小时2凭你的感觉画出 30，45，90，120，135的角，再用量角器量一量，你画的准确度如何？答案 略3计算：(1)48396731； (2)21175.答案 (1)11610；(2)10625.4如果12，23，则1_3；如果12，23，则1_3.答案 45如图， BD 和 CE 分别是 ABC 和 ACB 的平分线，且 DBC ECB31，求 ABC和 ACB 的度数，它们相等吗？答案 ABC2 DBC23162， AC
41、B2 ECB23162.所以 ABC ACB.6按图填空：(1) AOB BOC_；(2) AOC COD_；(3) BOD COD_；(4) AOD_ AOB.答案 (1) AOC；(2) AOD；(3) BOC；(4) BOD.7如图，要测量两堵围墙所形成的 AOB 的度数，但人不能进入围墙，如何测量？答案 延长 AO 或 BO，先量出 AOB 的补角的度数，再计算出 AOB 的度数8按照上北下南，左西右东的规定画出表示东南西北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线：(1)北偏西 30；(2)南偏东 60；(3)北偏东 15；(4)西南方向(南偏西 45)答案 (1)如图所示，射线 O
42、A 表示北偏西 30；(2)如图所示，射线 OB 表示南偏东 60；5(3)如图所示，射线 OC 表示北偏东 15；(4)如图所示，射线 OD 表示西南方向综合运用9如图， OB 是 AOC 的平分线， OD 是 COE 的平分线(1)如果 AOB40， DOE30，那么 BOD 是多少度？(2)如果 AOE140， COD30，那么 AOB 是多少度？答案 (1) BOD70；(2) AOB40.10如图，一个齿轮有 15 个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是 22 个齿的齿轮，这个夹角又是多少度(精确到分)?答案 3601524；360221622.答：齿轮有 1
43、5 个齿时，相邻两齿中心线间的夹角为 24；有 22 个齿时，其夹角约为1622.11如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中 与 互余？在哪种摆放方式中 与 互补？在哪种摆放方式中 与 相等？答案 在(1)中 与 互余；在(2)(3)中 与 相等；在(4)中 与 互补12如图， A 地和 B 地都是海上观测站，从 A 地发现它的北偏东 60方向有一艘船，同时，从 B 地发现这艘船在它北偏东 30方向试在图中确定这艘船的位置6答案 如图所示，图中 O 点即为这艘船的位置13(1)互余且相等的两个角，各是多少度？(2)一个锐角的补角比这个角的余角大多少度？答案 (1)都是 45；(2)
44、90.拓广探索14画几个不同的四边形，使每个四边形中都有 30，90，105的角，量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？答案 图略，每一个四边形的另一个角都等于 135.规律：四边形的四个内角的和为 360.15(1)图(1)中，射线 AD， BE， CF 构成1，2，3，量出1，2，3，并计算123.画出几个类似的图，计算相应的三个角的和，你有什么发现？(2)类似地，量出图(2)中1，2，3，4，计算1234.再换几个类似的图试试，你有什么发现？综合(1)(2)的发现，你还能进一步得到什么猜想？答案 (1)123360.发现：无论是怎样的三角形，与每个内角相邻的三个外 角的和都
45、为 360.(2)1234360，发现：无论是怎样的四边形，与每个内角相邻的四个外角的和都为 360.综合(1)(2)发现，多边形的外角和都为 360当堂检测1. 下列说法:（1）互余的两个角都是锐角;（2）若两角都是锐角，则这两角互余;（3）A+B+C=90，则A、B、C 互余;（4）同一个锐角的补角一定比它的余角大90;（5）钝角只有余角、没有补角.其中正确的有（ ）A一个 B. 两个 C. 三个 D. 四个2. 小明站在小颖的北偏东，则小颖在小明的（ ）.东偏北 .东偏北.南偏西 .南偏西3. 如果=3931, 的余角 =_, 的补角=_.4. 如图所示， ，且AOC=BOD，则AOC
46、的余角是_.90AOB7DCBO A5. 一个角的余角比它的补角的 少 40,求这个角的 度数.21参考答案：1. 2. 3. 5029 129314. BOC 或AOD5. 40能力培优专题一 角的个数与表示1. 下列说法中正确的个数是（ ）由两条射线组成的图形叫做角，角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，角的两边是两条射线，把一个角放到一个放大 10 倍的放大镜下观看，角度数也扩大 10 倍A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2.下图，在已知角内画射线，画 1 条射线，图中共有 个角；画 2 条射线，图中共有 个角；画 3 条射线，图中共有 个角，求画 n 条射线所得的角的个
47、数专题二 钟面上的角度问题3. 4 点 10 分，时针与分针所夹的小于平角的角为（ ）A55 B65 C70 D以上结论都不对4.如图，在地面上有一个钟，钟面的 12 个粗线段刻度是整点时时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是 时 分 85.周末莉莉跟妈妈去乡下的外婆家，8 点多临出门她看到墙壁上钟表的时针与分针正好是重合的，下午 2 点多她和妈妈回家后，一进门看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条直线，问莉莉是几点钟去姥姥家？几点钟回到家？共用了多少时间？专题三 角的折叠与拼接6. 一副三角板不能拼出的角的度数是（拼接要求：既不重叠又不留空隙）（
48、 ）A75 B105 C120 D1257一副三角板按如图所示方式重叠，若图中DCE=35 025则ACB=_.8.如图，先找到长方形纸的宽 DC 的中点 E，将C 过 E 点折起任意一个角，折痕是 EF，再将D 过 E 点折起，使 DE 和 CE 重合，折痕是 GE，你得到的GEF 是直角吗？为什么？专题四 角的和、差、倍、分9.已知 、 是两个钝角,计算 的值,甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不16同的答案分别为 24、48、76、86,其中只有一个答案是正确的,则正确的答案是（ ）A86 B76 C48 D24910.计算：11.已知一条射线 OA，若从点 O 再引两条射线 OB 和 O
49、C，使AOB=6 0，BOC=20，求AOC 的度数.12. 已知AOB= BOC，COD=AOD=3AOB，求AOB 和COD 的度数.2113. 已知，O 是直线 AB 上的一点，COD 是直角，OE 平分BOC.（1）如图，若AOC=30，求DOE 的度数;（2）在如图中，若AOC= ，直接写出DOE 的度数（用含 的代数式表示）;aa（3）将图中的DOC 绕顶点 O 顺时针旋转至图的位置.探究AO C 和DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；在AOC 的内部有一条射线 OF,满足：AOC4AOF=2BOE+AOF,试确定AOF 与DOE 的度数之间的关系，说明理由.10专
50、题五 余角、补角、方位角14（2012孝感）已知 是锐角， 与 互补， 与 互余，则-的值等于（ ）A45 B60 C90 D18015. 如图，OA 的方向是北偏东 15，OB 的方向是西偏北 50 度（1）若AOC=AOB，则 OC 的方向是 ；（2）OD 是 OB 的反向延长线，OD 的方向是 ；（3）BOD 可看作是 OB 绕点 O 逆时针方向至 OD，作BOD 的平分线 OE，OE 的方向是 ；（4）在（1）、（2）、（3）的条件下，COE= 16.已知一个角的补角比这个角的余角的 3 倍大 10，求这个角的度数17.如图所示：点 O 是直线 AB 上的一点，OE 平分 ，OD 平分
51、 。AOCB求：(1) 的度数；DE（2）图中互余的角有多少对？请把它们写出来.（一定要仔细哦!）知识要点：1.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.2.1 度=60 分，1 分=60 秒.1 周角=2 平角=4 直角=360.3.从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.4.如果两个角的和等于 90（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于 180（平角），就说这两个角互为补角.5.同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等.温馨提示：1.与角有关的注意事项：（1）角的两条边是射线，而不是线段，所以无法度量和延长.（2）角的大小与边的长短粗细无关（3
52、）放大镜不能改变角的度数.11（4）平角是一个角，它有角的内部，而直线是一条线，故不能说“平角是一条直线”.同理周角是一个角，而不是一条射线，故不能说“周角是一条射线”2.与角的和、差、倍、分有关的注意事项.（1）度分秒加法：度与度相加，分和分相加，秒和秒相加，计算结束后，满 60 进一；（2）度分秒减法：度与度相减，分和分相减，秒和秒相减，如果不够减， 就向前一位借1，借 1就相当于 60，借 1就相当于 60；（3）度分秒乘法：计算结束后，满 60 进一；60就相当于 1, 60就相当于 1.（4）度分秒除法：余 1就相当于 60，余 1就相当于 603.余角与补角中的注意事项：（1）互为
53、余角、互为补角均是指两个角的关系，与第三个角无关；（2）互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关（3）锐角的余角为锐角，锐角的补角为钝角；钝角的余角不存在，钝角的补角为锐角.（4）表示方向时我们一般书写形式为“南（北）偏东（西）”方法技巧：1.在已知角内画 n 条射线所得的角的个数为：1+2+3+（n+1）= .(1)2n2.时钟上每格 30，时针速度 0.5 度/分钟，分针速度 6 度/分钟，这三个结论是解决时钟问题的基本工具3.用一副三角板可以画 0180中 15的倍数的角，即 15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180共 12 个角.
54、4.如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角5.在没有给出图形，角的位置关系不确定时，需要分类讨论.答案：1. B 解析:角是有公共端点的两条射线所构成的图形,故错误；角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故正确；角的两边是两条射线，故正确；把一个角放到一个放大 10 倍的放大镜下观看，角度数不变，故错误2. 解：因为在已知角内画 1 条射线，图中共有 3 个角，即 1+2=3 个角；在已知角内画 2 条射线，图中共有 6 个角，即 1+2+3=6 个角；在已知角内画 3 条射线，图中共有 10 个角，即1+2+3+4=10 个角所以在已知角内画 n 条射线所得的角的个数为：1+
55、2+3+（n+1）=.(1)2n3. B 解析：因为 4 点 10 分时，分针从 12 到 2 转动两个格转动角度为：302=60，时针转动 4 30=125，所以 4 点 10 分时，分针与时针的夹角是 12560=65.064. 9 时 12 分 解析：由图可知，时针过 1 个大格线，走过 60=12 分钟，所以，分针15逆时针数 12 小格即为 12 点的位置，所以，该钟面所显示的时刻是 9 时 12 分5. 解：设 8 点 x 分时针与分针重合，则：6x0.5x=180+60，解得：x= 7431所以约 8 点 43 分时莉莉出门去姥姥家12设 2 点 y 分时，时针与分针方向相反则：
56、6x0.5x=180+60，解得：y= 7431所以约 2 点 43 分时莉莉回家.所以共用了 6 个小时6. D 解：一副三角板的度数分别为：30、60、45、45、90，因此可以拼出75、105和 120，不能拼出 125的角7. 14435解析：因为ACD=BCE=90 ,故ACE=ACDDCE=90 35025=54 035.所以ACB=ACE+BCE=90+54 035=14435.8. 解析：GEF 是直角.理由如下：由折纸实验，知3=1，4=2，而1+2+3+4=180 0，所以1+2=90 0，所以GEF 是直角9. C 解析: 因为 、 是两个钝角，所以 90180, 901
57、80所以 180360，所以 30 60所以 C 选项符合要求1610.（4）176523=58+1723=58+57+603=585720.11. 解析 ：若 OC 在AOB 的内部，如图 1，则AOC=AOBBOC=6020=40;若OC 在AOB 的外部，如图 2，则AOC=AOB+BOC=60+20=80.所以AOC 的度数为1340或 80.图 1 图 212. 解析：设AOB=x，所以COD=AOD=3AOB=3x.因为AOB= BOC，所以BOC=2x.因为BOC+COD+AOD+AOB=360，2所以 3x+3x+2x+x=360. 解得 x=40.所以AOB=40，COD=1
58、20.13. 解析：（1）因为AOC=30，所以BOC=18030=150.因为 OE 平分BOC，所以EOC=EOB=1502=75.因为COD 是直角，所以DOE=CODEOC=9075=15.（2） .1（3）DOE = AOC .2设DOE=x,则COE=90x，AOC=1802COE=1802( 90x)=2x.所以DOE = AOC.14DOE 5AOF=180，设DOE=x,AOF=y.则AOC=2x，BOE=90-x.因为AOC4AOF=2BOE+AOF,所以 2x4y=2(90x)+y，所以 4x5y=180.所以 4DOE 5AOF=180. 14. C 解析：由题意得，+
59、=180，+=90，两式相减可得：-=90故选 C15. 解：（1）AOC=AOB=90-50+15=55，OC 的方向是北偏东 15+55=70；（2）OD 是 OB 的反向延长线，OD 的方向是南偏东 40；（3）OE 是BOD 的平分线，BOE=90；OE 的方向是南偏西 50；（4）COE=90+50+20=16016. 解：设这个角的度数是 x，则（180-x）-3（90-x）=10，解得 x=50答：这个角的度数为 50.17解析:（1） =90.DOE因为 O 是直线 AB 上的一点，所以 , AOC+B=180E214因为 OE 平分 ,所以AOC因为 OD 平分 ，所以 ,B
60、1DOC=B2所以 ，即 .1E+=+A902EOD=90（2）图中互余的角有 4 对. 例谈角在生活中的应用学过有关角的基本知识后,能用来解决许多现实生活中所遇到的问题.下面举例谈谈角在生活中的应用.一、钟表问题.例 1 如图,是一块手表,下午 2 点针的时针、分针位置如图所示,试求分针 OA 与时针 OB 所成的角的度数.析解 若把钟表看成一个周角,其中共有 12 个大格,所以每大格度数为 ,又由图可知 包含了其中的 230126AOB份,所以 .AOB二、台球问题例 2 如图,1=2,若3= ,为了使白球反弹后能将黑球直03接撞入袋中,那么击打白球时必须保证1 为( )A B C D 0
61、304506075析解:3= ,2= ,1=2,1= .故选 C06三、折纸问题例 3 如图，先找到长方形纸的宽 DC 的中点 E，将 C 过 E 点折起任意一个角，折痕是EF，再将D 过 E 点折起，使 DE 和 C E 重合，折痕是 GE，请探索下列问题：（1）FEC 和GEC 互为余角吗？为什么？ （2）GEF 是直角吗？为什么？（3）在上述折纸图形中，还有哪些互为余角？还有哪些互为补角？解析：（1）由折纸实验，知3=1，4=2，而1+2+3+4=180 0所以1+2=90 0，即FEC +GEC =900，故FEC 和 GEC 互为余角（2）因为GEF=1+2=90 0，所以GEF 是
62、直角（3）3 和4，1 和EFG 互为余角，AGF 和DGF、CEC 和DEC 互为补角等 四、方位角问题例 3 如图,在一张某地区的地图上,原标有学校、邮局、电影院三地,由于污损, 电影院的具体位置已看不清,根据记忆,电影院位置在学校的北偏东 的方向,在邮局的西北方30向.根据上述信息,你能在图上确定电影院的位置吗?如能,请画图说明.ODC,E,与 与 与 与OA B图1 23学校邮局15解析 根据题意,电影院位置在学校的北偏东 的方向上 ,作图时,应以学校所在地为30测点,往往在此处画上“十字型”,以正北方向的射线为始边, 顺时针旋转 ,电影院就在所30得的射线上;同理,在邮局的西北方向可作出另一条射线, 这两条射线的交点,即为电影院所在的位置.如图,分别从学校画北偏东 的射线和从邮局画西北方向的射线 ,两射线的交点30就是电影院的位置.学校邮局电影院 3045
