1、12014 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分。1. 若正数 满足 ，则 的值为_ba, )(logl3log26baa1答案：108.解：设 ，则 ， ， ，kb)(lll 632 2k3kkba6从而 。10821332kab2. 设集合 中的最大元素与最小元素分别为 ， ，则 的|3bMm值为_答案： 。25解：由 知， ，当 ， 时，得最大元素 ，1ba5213ba1a2b5又 ，当 时，得最小元素 。因此，3 3m。25mM3. 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是_|1|)(xaxf ),0a答
2、案： 0,解：在 上， 单调递增，等价于 ，即 。在 上，)1xf2)( 1221,0单调递增，等价于 ，即 ，因此实数 的取值范围是axf2( 0aa4. 数列 满足 ， ，则 _n21 *)(1)2(1Nnn2013214.答案： 。2035解：由题设 211)()( nnn aa)(32记数列 的前 项和为 ，则nanS)(24322Sn2所以 )1(24322nSn将上面两式相减，得 nnSn2)1( 1故 20352.01321014aa5. 正四棱锥 PABCD 中，侧面是边长为 1 的正三角形，M，N 分别是边 AB，BC 的中点，则异面直线 MN 与 PC之间的距离是_答案：
3、42解：设底面对角线 AC，BD 交于点 O，过点 C 作直线 MN 的垂线，交 MN 于点 H。由于 PO 是底面的垂线，故 POCH，又 ACCH，所以 CH平面 POC，故 CHPC。因此 CH 是直线 MN 与 PC 的公垂线段，又 ，故异面直线 MN 与 PC42NH之间的距离是 。426. 设椭圆 的两个焦点是 ，过点 的直线与 交于点 。若 ，21,F1QP, |212F且 。则椭圆 的短轴与长轴的比值为_|31QPF答案： 762解：不妨设 ， 。记椭圆 的长轴，短轴的4|13|1长度分别为 ， ，焦距为 ，则 ，且a2bc2cFP2|12由椭圆的定义知， 4| 2121 FQ
4、于是 1| 12cP设 为线段 的中点，则 ，且有 。由勾股定理知，H1 5|,|QH12PF121222 | FQF即 ，解得 ，进而 ，因此椭圆 的短轴与长)(5)(ccc6,7ba3轴的比值为 762ab7. 设等边三角形 ABC 的内切圆半径为 2，圆心为 I，若点 P 满足 PI=1，则APB 与APC 的面积之比的最大值为_答案： 253解：由 PI=1 知点 P 在以 I 为圆心的单位圆 K 上。设 ，在圆 上取一点 ，使得 取到最大值 ，此时 应落在 内，BAK000PIAC且是 与圆 的切点。由于 ，故0 3)6sin()sin()sin()3sin(21 0ACPBSACB
5、其中， 006I由 知， ，于是 ，所以I 412sir15cot23153cotsin23co1)6sin( 根据、可知，当 时， 的最大值为0PAPCBS8.设 A，B，C ， D 是空间四个不共面的点，以 的概率在每对点之间连一条边，任意两对21点之间是否连边是相互独立的，则 A，B 可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为_答案： 43解：每对点之间是否连边有 2 种可能，共有 种情况。考虑其中 A，B 可用折线连642接的情况数。（1） 有 AB 边：共种 情况。35（2） 无 AB 边，但有 CD 边：此时 A，B 可用折线连接当且仅当 A 与 C，D 中至少一点相连，
6、且 B 与 C，D 中至少一点相连，这样的情况数为。9)12(4（3） 无 AB 边，也无 CD 边：此时 AC，CB 相连有 种情况，AD ，DB 相连也有2种情况，但其中 AC，CB ，AD，DB 均相连的情况重复计了一次，故2A，B 可用折线连接的情况数为 。712以上三类情况数的总和为 32+9+7=48，故 A，B 可用折线连接的概率为 。4368二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9.（本题满分 16 分）平面直角坐标系 中，P 是不在 轴上的一个动点，满足条件：过xOyxP 可作抛物线 的两条切线，两切点连线 与 PO 垂直。xy
7、42l设直线 与直线 PO， 轴的交点分别为 Q，R 。Pl（1） 证明 R 是一个定点；（2） 求 的最小值。|Q解：（1）设 点的坐标为 ，易知 。记两切点 ， 的坐标分别为P)0(,baaAB， ，则 ， 的方程分别为),(yx),(2APB11)(22xy而点 的坐标 同时满足，。故 ， 的坐标均满足方程P,baAB ，)(xby),(1yx),(2故就是直线 的方程。AB直线 与 的斜率分别为 与 ，由 知， ，故 。 OabPO12ba2a4 分从而即为 ，故 与 轴的交点 是定点（2，0） 。 8 分)2(xyxR（2）因为 ，故直线 的斜率 ，直线 的斜率 。设aPO1bkP4
8、2bk，则 为锐角，且OPR |28|2)4(|1|tan| 2 bbkQ5当 时， 的最小值为 。 16 分2b|QRP210.（本题满分 20 分）数列 满足 ， 。求正整数na61*)(arctnse1Nn，使得 。m21sina0sim解：由已知条件可知，对任意正整数 ， ，且 )2,(1n nnasecta1由于 ，故 。由得， ，故0secn)2,(1n n21secta3tata22 即 。 10 分3tn因此， 21sia21sectantsinmmasect （利用）32tat 1ttn1m由 ，得 。 20 分03311.（本题满分 20 分）确定所有的复数 ，使得对任意复数 ，),1|,(|, 2212zzz均有 。 zzz22121)()(解：记 ，则f2212121 )()()( zzzz 2假如存在复数 、 、 ， ，使得 ，则由式知1z|(1|2z)21z)()(21zff|)|)(| 221 注意到， ，0| 211zz6故 2|2| 2121 zz即 。10 分|另一方面，对任意满足 的复数 ，令 ， ，其中|iz21 iz2，则 ，而 ，故 ， ，此时将2|1021z| i |1|z， ，ziiz21代入可得， ，即 。0)()()21 ifzf )()(21zff综上所述，符合要求的 的值为 20 分|,|C
