1、高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。1专题五 解析几何一、选择题（每小题 6 分）1（00 全国）已知点 A 为双曲线 x2y2=1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，ABC 是等边三角形，则 ABC 的面积是( C ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A) 3 (B) 23 (C)3 3 (D)6 32（00 全国）平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线 54xy的距离中的最小值是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(A) 17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301 ( B ) 3（02 全国）若实数 x，y 满
2、足(x+5) 2+(y-12)2=142，则 x2+y2的最小值为（ ）（A）2 （B）1 （C）3 （D）2解：(x+5) 2+(y-12)2=142是以点 C(-5,12)为圆心，半径为 14 的圆。设 P 为圆上任一点，则OPCP-OC=14-13=1。当点 C、O、P 共线时，等号成立，所以 P到点 O 的最小值为 1，故选 B4（02 全国）直线 x/4+y/3=1 与椭圆 x2/16+y2/9=1 相交于 A，B 两点，该椭圆上点 P，使得PAB 面积等于 3，这样的点 P 共有（ ）（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个解：设 P1(4cos,3sin)(0(/2
3、)，即点 P1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形 P1AOB 面积 S，S=SOAP1 +SOBP1 =(1/2)4(3sin)+(1/2)3(4cos)=6(sin+cos)=62sin(=(/4),S max=62(此时 +(/4). S OAB =(1/2)43=6 为定值，S P1AB 的最大值为626.6263, 点 P 不可能在直线 AB 的上方，显然在直线 AB 的下方有两个点 P，故选B。 5（03 全国）在设 a， bR， ab0，那么直线 ax y b0 和曲线 bx2 ay2 ab 的图形是（ ）yyyyxxx x高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，
4、稿酬丰厚。2A B C D解：题设方程可变形为 y ax b 和 12yax，则由观察可知应选( B)6（03 全国）过抛物线 y28( x2)的焦点 F 作倾斜角为 60o的直线，若此直线与抛物线交于 A、 B 两点，弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点，则线段 PF 的长等于（ ）A 31B 38C 316D 38解：易知此抛物线焦点 F 与坐标原点重合，故直线 AB 的方程为 xy，因此，A， B 两点的横坐标满足方程 3x28 x160，由此求得 AB 中点的横坐标 340，纵坐标340y，进而求得其中垂线方程为 )34(134xy，令 y0，得 P 点的横坐标x 16，即 PF
5、16，故选( A)7（04 全国）已知 2,|3,(,)|MxyNxymb。若对所有,mRN均 有，则 b 的取值范围是（ ）A. 6,2B. 6,2C. 23(,D. 3,解： MN相当于点（0，b）在椭圆 23xy上或它的内部261,32b。 故选 A。8（06 天津）已知一条直线 l与双曲线 12byax（ 0a）的两支分别相交于 P、Q两点， O为原点，当 OQP时，双曲线的中心到直线 l的距离 d等于（ A ）（A） 2ab （B） 2ab （C） ab2（D）a2二、填空题（每小题 9 分）高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。39 （00 全国）在椭圆
6、 12byax(a b0)中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方的端点为 B.若该椭圆的离心率是 5，则 ABF=_900_.10 （03 全国）设 F1， F2是椭圆 1492yx的两个焦点， P 是椭圆上的点，且| PF1| : |PF2|2 : 1，则三角形 PF1F2的面积等于_解：设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为 2a、2 b、2 c，则由其方程知a3， b2， c 5，故，| PF1| PF2|2 a6，又已知 PF1|：| PF2|2：1，故可得|PFl|4，| PF2|2在 PFlF2中，三边之长分别为 2，4，2 5，而 224 2(2 5)2，可见 PFlF2是直角三
7、角形，且两直角边的长为 2 和 4，故 PFlF2的面积411 （04 全国）在平面直角坐标系 XOY 中，给定两点 M（1，2）和 N（1，4） ，点 P 在 X轴上移动，当 MPN取最大值时，点 P 的横坐标为_。解：经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3x 上，设圆心为 S（a，3a） ，则圆 S 的方程为： 222()(3)(1)xaya。对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当 N取最大值时，经过 M，N，P 三点的圆S 必与 X 轴相切于点 P，即圆 S 的方程中的 a 值必须满足 22()(3,a解得 a=1 或a=7。即对应
8、的切点分别为 (1,0)7,)和 ，而过点 M，N， p的圆的半径大于过点M，N，P 的圆的半径，所以 MNP，故点 P（1，0）为所求，所以点 P 的横坐标为 1。12 （05 全国）若正方形 ABCD 的一条边在直线 72xy上，另外两个顶点在抛物线2xy上.则该正方形面积的最小值为 80 .解：设正方形的边 AB 在直线 172xy上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为),(1yxC、 ),(2yxD，则 CD 所在直线 l的方程 ,2bxy将直线 l的方程与抛物线方程联立，得 .,12 bb令正方形边长为 a则 ).1(20)(5)()( 12122 bxyx 在 72xy上任取一点（6，
9、,5） ，它到直线 b的距离为高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。45|17|,ba.、联立解得 ,80.63,221a或 .80.122mina13 （06 全国） 已知椭圆 4xy的左右焦点分别为 1F与 2，点 P 在直线 l：3820xy上. 当 12FP取最大值时，比 2P的值为 3.【解】 由平面几何知，要使 12最大，则过 1,F， P 三点的圆必定和直线 l 相切于 P 点。设直线 l 交 x 轴于 A(83,0)，则 2A，即12AF:，即 122 （1） 又由圆幂定理， 212APF （2）而 1(3,0)F， 2(3,0)， A(823,0)
10、，从而有 18F， 243。代入（1） ， （2）得 112243PF。14 （05 天津）已知定点 A(4， 7)若动点 P 的抛物线 y24 x 上，且点 P 在 y 轴上的射影为点 M，则| PA| PM|的最大值为_解：联结 PM 并延长交准线于 N，则| PM| PN| MN| PF|1，则|PA| PM| PA|(| PF|1)(| PA| PF|)1| AF|141515 （06 天津）已知椭圆 12byax（ 0a） ，长轴的两个端点为 A、 B，若椭圆上存在点 Q，使 0AB，则该椭圆的离心率 e的取值范围是 136e 三、解答题(每小题 20 分)16 （02 全国）已知点
11、 A（0,2）和抛物线 y2=x+4 上两点 B，C 使得ABBC，求点 C 的纵坐标的取值范围。 高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。5解：设点坐标为（y 21-4,y1） ，点坐标为(y 2-4,y) 。显然 y21-4，故 kAB=(y1-2)/(y21-4)=1/(y1+2).由于 ABBC，所以 kBC=-(y1+2).从而 y-y1=-(y1+2)x-(y21-4),y2=x+4消去 x，注意到 yy 1得:(2+y 1)(y+y1)+1=0y 21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由 0 解得：y0或 y4.当 y=0 时，点的坐标为(-3,-1)
12、；当 y=4 时，点的坐标为(5,-3)， 均满足题意。故点的纵坐标的取值范围是 y0 或 y4.17 （03 全国）一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A，且 OA a. 拆叠纸片，使圆周上某一点 A/ 刚好与 A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当 A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合解：如图，以 O 为原点， OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则有 A(a，0)设折叠时， O 上点 A/( sin,coR)与点 A 重合，而折痕为直线 MN，则 MN 为线段 AA/的中垂线设 P(x， y)为 MN 上任一点，则 PA/ PA 5 分 22
13、2)()si(cs yax即 RyxR)ino(2 10 分 22scyxa可得： )cos,(sin)sin( 222 yxxR 22yxa1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到) 15 分平方后可化为 22)()(aRyx1，即所求点的集合为椭圆圆 22)()(ayx1 外(含边界)的部分 20分18 （05 全国）过抛物线 2xy上的一点 A（1,1）作抛物线的切线，分别交 x轴于 D，交 轴于 B.点 C 在抛物线上，点 E 在线段 AC 上，满足高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。61ECA;点 F 在线段 BC 上，满足 2FCB，且 121，线段 C
14、D 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时，求点 P 的轨迹方程.解一：过抛物线上点 A 的切线斜率为： ,|1xy切线 AB 的方程为DBxy、.12的坐标为 D),02(,1是线段 AB 的中点. 5 分设 ),(P、 ),(20xC、 ),(1yE、 ),(2yxF，则由 1ECA知，;1,10yx,2B得 .,2020xEF 所在直线方程为： ,11020120201 xxy化简得 .3)()1()( 202002yx 10 分当 10x时，直线 CD 的方程为： 10x联立、解得0213xy，消去 0，得 P 点轨迹方程为： .)13(2xy15 分当 210x时，EF 方
15、程为： CDxy,42)341(2方程为：，联立解得 .12,yx也在 P 点轨迹上.因 C 与 A 不能重合， .32,10x所求轨迹方程为 ).32(3x20 分解二：由解一知，AB 的方程为 ),021(,1DBy故 D 是 AB 的中点. 5 分令 ,1, 221 CFtEAtCPD则 .3t因为 CD 为 ABC的中线，.2BDABSS高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。7而 ,23,2)1(221 1122 tttSSCBAFEt CBDFPAEPAP是 的重心. 10分设 ),(),20xy因点 C 异于 A，则 ,10x故重心 P 的坐标为,3),
16、3(,13 20yx 消去 ,0x得 .)13(2xy故所求轨迹方程为 .2xy20 分19 （06 全国）给定整数 n，设 ),(0yxM是抛物线 12nxy与直线xy的一个交点. 试证明对于任意正整数 m，必存在整数 k，使 ),(0m为抛物线 12k与直线 xy的一个交点.【证明】 因为 2n与 的交点为204nxy.显然有 01xn。（5 分）若 ),(0myx为抛物线 12kxy与直线 xy的一个交点，则 01mkx. （10 分）记 01mkx，则 1011()mmmkxknk， (2) （13.1）由于 1kn是整数， 22200()kxxn也是整数，所以根据数学归纳法，通过（1
17、3.1）式可证明对于一切正整数 m， 01mkx是正整数. 现在对于任意正整数 m，取 01mkx，使得 12y与 y的交点为 ),(0myx. （20 分）高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。820 （05 天津）已知椭圆 2ax by1( a b0)，其长轴为 A1A， P 是椭圆上不同于点 A1、 A 的一个动点，直线 PA、 PA1分别与同一条准线 l 交于 M、 M1两点试证明：以线段 MM1为直径的圆必经过椭圆个的一个定点由已知，可设 A1( a，0)， A(a，0)，一条准线 l 的方程为 x ca2，椭圆上动点 P 的坐标为( x0， y0)，且
18、y00，则 lPA： y x0(x a)，与 x2ac联立解得 M(2ac， 0()，lPA1： y 0xa(x a)，与 x2联立解得 M1(2ac， 0()yxa)，设线段 MM1的中点为 Q(x1， y1)，则 x12，y1 2 0()acx 0()ac202()acy202()axcyb20()xc故MM1| 0()acyx 0()acyx|20()acx| 20()aycxb|220()cxay|因此，以 MM1为直径的圆的方程为( x2c)2 y 20()c220()ac2令 y0，化简得( x2ac)220(b220xa2420bac(cx0 a2)2 a2(c x0)24 x
19、，即 x c 或 x b可见，以线段 MM1为直径的圆必经过椭圆外的一个定点(2abc，0)当 l 为左准线 x2ac时也有相应的结论21 （00）已知 C0:x2+y2=1 和 C1: 12byax(a b0)。试问：当且仅当 a,b 满足什么条件时，对 C1上任意一点 P，均存在以 P 为项点,与 C0外切,与 C1内接的平行四边形？高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。9并证明你的结论。答案：21ab22 （01 全国）设曲线 C1： 2yax1(a 为正常数)与 C2：y 22(xm)在 x 轴上方仅有一个公共点 P。(1)求实数 m 的取值范围(用 a 表
20、示)。(2)O 为原点，若 C1与 x 轴的负半轴交于点 A，当 0a 2时，试求OAP 的面积的最大值(用 a 表示) 解：（1）可将曲线 与 的公共点的个数问题转化为研究它们的方程组成的方程组解的个数问题由（ ） 1 与 y22(xm)消去，得 2 2 0 问题转化为方程在区间（，）上有惟一解或两个相等的实根设（） 2 2 当 0，即（ 1）2 时， 由 ，得01这时方程有等根当（）（）0，即时，方程在区间（，）内有一根（另一根在区间外）当（）0，即时， 2 由2 ，得01这时方程在区间（，）内有惟一解；当（）0，即时， 2 由2 ，得故 综上所述，当 01 时，（ 1）2，或；当1 时，
21、 （2）（，0）， （12） 高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。10 当 012 时，由（1）知由方程得 显然， 0，从而 要使 最大，则 应最小易知，当时，（ ） 2 从而（ ） 2 故（ ） 当（ 1）2 时， 从而 ，故 （12） 下面比较 与（12） 的大小 （ ） （12） ） （14）（31）（1） 当 013 时， （12） ； 当 1312 时， （12） 故（ ） （12） （01/3， （1312 23 （04 全国）在平面直角坐标系 xoy 中，给定三点 4(0,)1,(,0)3ABC，点 P到直线 BC 的距离是该点到直线 AB，AC 距
22、离的等比中项。（）求点 P 的轨迹方程；（）若直线 L 经过 ABC的内心（设为 D） ，且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜率 k 的取值范围。解：（）直线 AB、AC、BC 的方程依次为 44(1),(1),03yxyxy。点高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。11(,)Pxy到 AB、AC、BC 的距离依次为 1231|43|,|4|,|55dxydxyd。依设， 222213,|6(3)|dxy得 ，即2 26(4)50,()0xy y或，化简得点 P 的轨迹方程为圆 S： 2 1782与 双 曲 线 T:8x5 分（）由前知，点 P 的轨
23、迹包含两部分圆 S： 230xy 与双曲线 T： 2178y8因为 B（1，0）和 C（1，0）是适合题设条件的点，所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上，且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。A的内心 D 也是适合题设条件的点，由 123d，解得 1(0,)2D，且知它在圆 S上。直线 L 经过 D，且与点 P 的轨迹有 3 个公共点，所以，L 的斜率存在，设 L 的方程为12ykx（i）当 k=0 时，L 与圆 S 相切，有唯一的公共点 D；此时，直线 12y平行于 x 轴，表明L 与双曲线有不同于 D 的两个公共点，所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点
24、。10分（ii）当 0k时，L 与圆 S 有两个不同的交点。这时，L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只能有两种情况：情况 1：直线 L 经过点 B 或点 C，此时 L 的斜率 12k，直线 L 的方程为(2)xy。代入方程得 (34)0y，解得 54(,)3E或 F(-,)。表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个交点 B、E；直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。故当 1k时，L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 15 分情况 2：直线 L 不经过点 B 和 C（即 12k） ，因为 L 与 S 有两个不同的交点，所以L 与双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组28780xyk有且只有一组实数高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。12解，消去 y 并化简得 25(817)04kx该方程有唯一实数解的充要条件是 2k或 225(5)4()0kk解方程得 317，解方程得 2k。综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集 13420,7。 20 分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
