1、1第一节 圆的基本性质考点 1 圆周角定理及其推论1.2018山东聊城如图,O 中,弦 BC与半径 OA相交于点 D,连接 AB,OC.若A=60,ADC=85,则C 的度数是( )A.25 B.27.5 C.30 D.35(第 1题) (第 2题)2.2018陕西如图,ABC 是O 的内接三角形,AB=AC,BCA=65,作 CDAB,并与O 相交于点 D,连接 BD,则DBC 的大小为( )A.15 B.35 C.25 D.453.2017广东广州如图,在O 中,AB 是直径,CD 是弦,ABCD,垂足为点 E,连接CO,AD,BAD=20,则下列说法中正确的是( )A.AD=2OBB.C
2、E=EOC.OCE=40D.BOC=2BAD4.(9分)2018 湖北宜昌中考改编如图,在ABC 中,AB=AC. 以 AB为直径的半圆交 AC于点D,交 BC于点 E.延长 AE至点 F,使 EF=AE,连接 FB,FC.(1)求证:四边形 ABFC是菱形;(2)若 AD=7,BE=2,求 cosBAD 的值.考点 2 圆内接四边形的性质5.2018江苏苏州如图,AB 是半圆的直径,O 为圆心,C 是半圆上的点,D 是 上的点,若BOC=40,则D 的度数为( )A.100 B.110 C.120 D.1302(第 5题) (第 6题)6.2017湖北黄石如图,已知O 为四边形 ABCD的外
3、接圆,O 为圆心,若BCD=120,AB=AD=2,则O 的半径长为( )A. B. C. D. 322 62 32 2337.2018江苏扬州如图,已知O 的半径为 2,ABC 内接于O,ACB=135,则 AB= . (第 7题) (第 8题)8.2017湖南永州如图,四边形 ABCD是O 的内接四边形,点 D是 的中点,点 E是 上的 一点,若CED=40,则ADC= . 9.(9分)2018 江苏无锡如图,四边形 ABCD内接于O,AB=17,CD=10,A=90,cos B= ,35求 AD的长.31.2018平顶山一模如图,已知 AB是O 的直径,BC 是弦,ABC=40,过圆心
4、O作 ODBC交弧 BC于点 D,连接 DC,则DCB 为( )A.20 B.25C.30 D.352.2018南阳地区模拟如图,在O 中,AOB 的度数为 160,C是优弧 AB上一点,D,E 是上不同的两点(不与点 A,B重合),则D+E 的度数为( )A.160 B.140C.100 D.80(第 2题) (第 3题)3.2017南阳地区模拟如图,四边形 ABCD内接于O,F 是 上一点,且 = ,连接 CF并延长 交 AD的延长线于点 E,连接 AC,若ABC=105,BAC=25,则E 的度数为( )A.45 B.50 C.55 D.604.2018浙江金华一模如图,AB 是半圆 O
5、的直径,点 C在半圆 O上,把半圆沿弦 AC折叠,恰好经过点 O,则 与 的关系是( ) A. = B. =12 13C. = D.不能确定(第 4题) (第 5题)5.2018洛阳三模如图,以ABC 的边 BC为直径的O 交 AB,AC于点 D,E,连接 OD,OE,若DOE=40,则A 的度数为 . 6.(9分)2018 合肥瑶海区一模如图,在半径为 4的O 中,AB,CD 是两条直径,M 为 OB的中点,CM 的延长线交O 于点 E,且 EMMC.连接 DE,DE= .15(1)求证:AMMB=EMMC;(2)求 EM的长.47.(9分)2017 焦作一模如图,在ABC 中,以 AB为直
6、径的O 交 AC,BC于点 D,E.连接 ED,若 ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)填空:若 AB=6,CD=4,则 BC= ; 连接 OD,当A= 时,四边形 ODEB是菱形. 8.(9分)2018 三门峡二模改编如图,在ABC 中,AB=10 ,BAC=60,B=45,点 D是2BC边上一动点,连接 AD,以 AD为直径作O,O 交边 AB,AC于点 E,F,连接 OE,OF,DE,DF,EF.(1)求 的值;(2)当BAD= 时,四边形 OEDF正好是菱形,请说明理由; (3)点 D运动过程中,线段 EF的最小值为 (直接写出结果). 第二节 与圆有关的位置关系考点 1 点与圆
7、的位置关系1.2017山东枣庄如图,在网格(每个小正方形的边长均为 1)中选取 9个格点(格线的交点称为格点),若以 A为圆心,r 为半径画圆,选取的格点中除点 A外恰好有 3个在圆内,则 r的取值范围为( )A.2 0)个单位,若平移后得到的直线与半径为 6的O 相交(点 O为坐标原点),则 m的取值范围为 . 6.(9分)2018 湖北仙桃如图,在O 中,AB 为直径,AC 为弦.过 BC延长线上一点 G,作GDAO 于点 D,交 AC于点 E,交O 于点 F,M是 GE的中点,连接 CF,CM.(1)判断 CM与O 的位置关系,并说明理由;(2)若ECF=2A,CM=6,CF=4,求 M
8、F的长.考点 3 切线的性质7.2018黑龙江哈尔滨如图,点 P为O 外一点,PA 为O 的切线,A 为切点,PO 交O 于点B,P=30,OB=3,则线段 BP的长为( )A.3 B.3 C.6 D.93(第 7题) (第 8题)68.2017山东泰安如图,圆内接四边形 ABCD的边 AB过圆心 O,过点 C的切线与边 AD所在直线垂直于点 M,若ABC=55,则ACD 等于( )A.20 B.35 C.40 D.559.2018江苏连云港如图,AB 是O 的弦,点 C在过点 B的切线上,且 OCOA,OC 交 AB于点P,已知OAB=22,则OCB= . (第 9题) (第 10题)10.
9、2018浙江宁波如图,正方形 ABCD的边长为 8,M是 AB的中点,P 是 BC边上的动点,连接PM,以点 P为圆心、PM 的长为半径作P.当P 与正方形 ABCD的边相切时,BP 的长为 . 11.(9分)2018 北京如图,AB 是O 的直径,过O 外一点 P作O 的两条切线 PC,PD,切点分别为 C,D,连接 OP,CD.(1)求证:OPCD;(2)连接 AD,BC.若DAB=50,CBA=70,OA=2,求 OP的长.12.(9分)2018 湖北随州如图,AB 是O 的直径,点 C为O 上一点,CN 为O 的切线,连接AC,BC,过点 O作 OMAB,分别交 AC,CN于 D,M两
10、点.(1)求证:MD=MC;(2)若O 的半径为 5,AC=4 ,求 MC的长.5考点 4 切线的判定13.(9分)2018 湖北黄石如图,已知 A,B,C,D,E是O 上五点,O 的直径BE=2 ,BCD=120,A 为 的中点,延长 BA到点 P,使 BA=AP,连接 PE.37(1)求线段 BD的长;(2)求证:直线 PE是O 的切线.14.(9分)2018 江西如图,在ABC 中,O 为 AC上一点,以点 O为圆心、OC 的长为半径作圆,与BC相切于点 C,过点 A作 ADBO,交 BO的延长线于点 D,且AOD=BAD.(1)求证:AB 为O 的切线;(2)若 BC=6,tanABC
11、= ,求 AD的长.43考点 5 三角形的内切圆和外接圆15.2017广东广州如图,O 是ABC 的内切圆,则点 O是ABC 的( )A.三条边的垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点16.2017湖北武汉已知一个三角形的三边长分别为 5,7,8,则其内切圆的半径为( )A. B. C. D.232 32 3 317.2018河北如图,点 I为ABC 的内心,AB=4,AC=3,BC=2.将ACB 平移,使其顶点与点 I重合,则图中阴影部分的周长为( )8A.4.5 B.4C.3 D.218.2018山东临沂如图,在ABC 中,A=60,BC=5 cm.能够将
12、ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm. (第 18题) (第 19题)19.2017江苏泰州如图,在平面直角坐标系 xOy中,点 A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2).若点 C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P 是ABC 的外心,则点 C的坐标为 . 20.(9分)2018 浙江温州如图,D 是ABC 的 BC边上一点,连接 AD,作ABD 的外接圆,将ADC沿直线 AD折叠,点 C的对应点 E落在 上.(1)求证:AE=AB;(2)若CAB=90,cosADB= ,BE=2,求 BC的长.1321.(9分)2018 江苏南京结果如此巧合!下框中是小颖对一道
13、题目的解答.题目:如图,RtABC 的内切圆与斜边 AB相切于点 D,AD=3,BD=4,求ABC 的面积.9解:设ABC 的内切圆分别与 AC,BC相切于点 E,F,CE的长为 x,根据切线长定理,得 AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x,根据勾股定理,得(x+3) 2+(x+4)2=(3+4)2,整理,得 x2+7x=12,所以 SABC = ACBC12= (x+3)(x+4)12= (x2+7x+12)12= (12+12)12=12.小颖发现 12恰好就是 34,即ABC 的面积等于 AD与 BD的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索.已知:ABC 的内切圆与 AB相
14、切于点 D,AD=m,BD=n.可以一般化吗?(1)若C=90,求证:ABC 的面积等于 mn.倒过来思考呢?(2)若 ACBC=2mn,求证:C=90.改变一下条件(3)若C=60,用 m,n表示ABC 的面积.考点 6 正多边形和圆1022.2017四川达州以半径为 2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( )A. B. C. D.22 32 2 323.2018湖南株洲如图,正五边形 ABCDE和正三角形 AMN都是O 的内接多边形,则BOM= . 24.2018四川宜宾刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在九章算术中提出了“割圆术”,即用内接或外
15、切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设O 的半径为 1,若用O的外切正六边形的面积 S来近似估计O 的面积,则 S= .(结果保留根号) 1.2018郑州外国语模拟改编如图,O 是ABC 的外接圆,弦 AC的长为 2,sin B= ,则O23的直径为( )A.4 B.3 C.2 D.1(第 1题) (第 2题)2.2018南阳地区模拟如图,O 的半径为 2,ABC 是O 的内接三角形,连接 OB,OC.若BAC 与BOC 互补,则弦 BC的长为( )A.4 B.3 C.2 D.3 3 3 33.2018江苏泰州姜堰区二模改编如图,C 经过正六边形 ABCDEF的顶点 A,E,点 P是优弧A
16、E上一点,则APE= . 4.(9分)2018 洛阳二模如图,AB 为O 的直径,CD 切O 于点 D,ACCD 于点 C,交O 于点E,连接 AD,BD,ED.(1)求证:BD=ED;(2)若 CE=3,CD=4,求 AB的长.115.(9分)2018 平顶山二模如图,AB 是O 的直径,且 AB=6,点 M为O 外一点,且 MA,MC分别切O 于点 A,C.点 D是直线 BC与 AM延长线的交点.(1)求证:DM=AM;(2)填空:当 CM= 时,四边形 AOCM是正方形; 当 CM= 时,CDM 为等边三角形. 6.(9分)2018 安阳二模如图,AB 是半圆 O的直径,点 P是半圆上不
17、与点 A,B重合的动点,PCAB,点 M是 OP的中点,连接 AM并延长,交 PC于点 C,连接 OC,BC,AP.(1)求证:四边形 OBCP是平行四边形;(2)填空:当BOP= 时,四边形 AOCP是菱形; 连接 BP,当ABP= 时,PC 是O 的切线. 12第三节 与圆有关的计算考点 1 弧长的计算1.2017湖北咸宁如图,O 的半径为 3,四边形 ABCD内接于O,连接 OB,OD,若BOD=BCD,则 的长为( )A. B. C.2 D.332(第 1题) (第 2题)2.2017山东烟台如图,ABCD 中,B=70,BC=6,以 AD为直径的O 交 CD于点 E,则 的长为( )
18、A. B. C. D. 13 23 76 433.2018甘肃兰州 A如图,ABC 的外接圆 O的半径为 3,C=55,则劣弧 AB的长是 .(结果保留 ) (第 3题) (第 4题)4.2018山东潍坊如图,点 A1的坐标为(2,0),过点 A1作 x轴的垂线,交直线 l:y= x于点3B1,以原点 O为圆心、OB 1的长为半径画弧,交 x轴的正半轴于点 A2;再过点 A2作 x轴的垂线,交直线 l于点 B2,以原点 O为圆心、OB 2的长为半径画弧,交 x轴的正半轴于点 A3按此作法进行下去,则 的长是 . 201920185.(9分)2018 湖北荆州问题:已知 , 均为锐角,tan =
19、 ,tan = ,求 + 的度数.12 13探究:13(1)用 6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为 1),请借助这个网格图求出 + 的度数.延伸:(2)设经过图中 M,P,H三点的圆弧与 AH交于 R,求 的长度 .考点 2 扇形面积的计算6.2018黑龙江哈尔滨一个扇形的圆心角为 135,弧长为 3 cm,则此扇形的面积是 cm2. 7.2017山东日照如图,四边形 ABCD中,AB=CD,ADBC,以点 B为圆心、BA 为半径的圆弧与BC交于点 E,四边形 AECD是平行四边形,AB=6,则图中扇形的面积是 . 考点 3 阴影部分面积的计算8.2018山西如图,正方形
20、 ABCD内接于O,O 的半径为 2,以点 A为圆心,AC 长为半径画弧交 AB的延长线于点 E,交 AD的延长线于点 F,则图中阴影部分的面积是( )A.4-4 B.4-8C.8-4 D.8-89.2017山东莱芜如图,在 RtABC 中,BCA=90,BAC=30,BC=2,将 RtABC 绕点 A顺时针旋转 90得到 RtADE,则 BC扫过部分的面积为( )A. B.(2- )2 3C. D.2- 321410.2017辽宁营口如图,将矩形 ABCD绕点 C沿顺时针方向旋转 90到矩形 ABCD的位置,AB=2,AD=4,则阴影部分的面积为 . (第 10题) (第 11题)11.20
21、17湖北荆门已知:如图,ABC 内接于O,且半径 OCAB,点 D在半径 OB的延长线上,且A=BCD=30,AC=2,则阴影部分的面积为 . 12.2018四川乐山如图,OAC 的顶点 O在坐标原点,OA 边在 x轴上,OA=2,AC=1,把OAC绕点 A按顺时针方向旋转到OAC,使得点 O的坐标是(1, ),则在旋转过程中线段 OC扫3过部分(阴影部分)的面积为 . 1.2018南阳一模如图,在扇形 AOB中,AOB=90,正方形 OCED的顶点 C,D分别在半径OA,OB上,顶点 E在 上,以点 O为圆心、OC 的长为半径作 .若 OA=2,则阴影部分的面积为( ) A. B. C. D
22、.12 2(第 1题) (第 2题)2.2018许昌二模如图,在矩形 ABCD中,AB= ,BC=1,将矩形 ABCD绕顶点 B旋转得到矩形2ABCD,点 A恰好落在矩形 ABCD的边 CD上,则 AD扫过的部分(即阴影部分)的面积为( )A. B.2 -8 22C. - D.23 63.2017信阳二模改编如图,半径为 5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线 b,然后半圆沿直线 b进行无滑动滚动,使半圆的直径与直线 b重合,则圆心 O运动路径的长度等于 . 154.2017漯河二模如图,在 RtABC 中,ACB=90,AC=4 ,以点 C为圆心,CB 的长为半径3画弧,与 AB边交于点
23、 D,将 绕点 D旋转 180后点 B与点 A恰好重合,则图中阴影部分的面积为 . (第 4题) (第 5题)5.2017焦作一模如图,在圆心角为 90的扇形 AOB中,半径 OA=3,OC=AC,OD= BD,F是弧12AB的中点.将OCD 沿 CD折叠,点 O落在点 E处,则图中阴影部分的面积为 . 6.2017潍坊二模改编如图所示的图形是由若干条圆心相同的圆弧组成,其圆心角为 90,最小的扇形半径为 1.若每两个相邻圆弧的半径之差为 1,由里往外的阴影部分的面积依次记为 S1,S2,S3,S20,则 S1+S2+S3+S20= . (第 6题) (第 7题)7.2018洛阳一模如图,在圆
24、心角为 90的扇形 OAB中,半径 OA=2 cm,C为弧 AB的中点,D是 OA的中点,则图中阴影部分的面积为 cm 2. 8.2018南阳宛城区二模如图,AC 是半圆 O的一条弦,将弧 AC沿 AC折叠后恰好过圆心O,O 的半径为 2,则图中阴影部分的面积为 . (第 8题) (第 9题)9.2018平顶山三模如图,在ABC 中,C=90,AC=BC=8,点 D为边 AB的中点.以点 B为圆心、BD 的长为半径作弧,交 BC于点 E;以点 C为圆心、CD 的长为半径作弧,交 AC于点 F,则图中阴影部分的面积为 . 10.2018开封二模运用图形变化的方法研究下列问题:如图,EF 是O 的
25、直径,CD,AB 是O的弦,且 ABCDEF,EF=20,CD=16,AB=12.则图中阴影部分的面积是 . (第 10题) (第 11题)11.2017郑州地区模拟如图,在 RtAOB 中,AOB=90,OA=3,OB=2,将 RtAOB 绕点 O顺时针旋转 90后得 RtFOE,将线段 EF绕点 E逆时针旋转 90后得线段 ED,连接 AD,则图中阴影部分面积是 . 16参考答案第一节 圆的基本性质AC,ABC=BCA=65,A=180-ABC-ACB=50,BDC=BAC=50.CDAB,ABD=BDC=50,DBC=ABC-ABD=65-50=15.故选 A.3.D 2OB=ABAD,
26、故选项 A错误;由垂径定理可知,点 E是 CD的中点,由圆周角定理及其推论可知,COB=2BAD=40,OCE=50,CEEO,故选项 B,C错误,选项 D正确.AEB=90.AB=AC,CE=BE.又EF=AE,四边形 ABFC是菱形.(3 分)(2)设 CD=x,则 AB=AC=7+x.连接 BD,AB 为半圆的直径,ADB=90,AB 2-AD2=CB2-CD2,即(7+x) 2-72=42-x2,解得 x1=1,x2=-8(舍去),(6 分)AB=7+x=7+1=8,cosBAD= = .(9分)785.B BOC=40,OB=OC,OBC=OCB= (180-40)=70,D=180
27、-12OBC=110.故选 B.6.D 如图,作直径 BM,连接 DM,BD,则BDM=90.BCD=120,A=60,M=60.又 AB=AD=2,BD=2 .在 RtBDM 中,sin M= = = ,BM= ,OB= BM= ,故O 的半232 433 12 233径长为 .故选 D.2337.2 如图,连接 OA,OB,在优弧 AB上任取一点 D,连接 AD,BD.ACB=135,2ADB=45,AOB=2ADB=90.OA=OB=2,AB=2 .28.100 连接 AE.点 D是 的中点,AED=CED=40,AEC=80.四边形 ADCE是O 的内接四边形,ADC+AEC=180,
28、ADC=180-AEC=100.179.如图,连接 BD,分别延长 AD,BC交于点 E.(1分)A=90,BD 是O 的直径,ECD=BCD=90.四边形 ABCD内接于O,ABC+ADC=180.ADC+EDC=180,EDC=ABC,(3 分)cosEDC=cosABC= ,35 = ,即 = ,35 1035解得 ED= .(4分)503在 RtEDC 中,由勾股定理,得 EC= = .(6分)2-2403易得ECDEAB, = ,即 = , 1017403解得 EA= ,683AD=EA-ED= - =6.(9分)683 503模拟提升练1.B 设 OD交 BC于点 E.ODBC,O
29、EB=90,ABC=40,BOD=50,DCB= BOD=25.故选 B.122.C 如图,连接 OC.AOB=160,AOC+BOC=360-AOB=200.D= AOC,E= BOC,D+E= AOC+ BOC= (AOC+BOC)=100.故选 C.12 12 12 12 12183.B 四边形 ABCD内接于O,ABC=105,ADC=180-ABC=180-105=75.= ,BAC=25,DCE=BAC=25,E=ADC-DCE=75-25=50.故选 B.4.A 如图,连接 OC,BC,过 O作 OEAC 于点 D,交半圆 O于点 E.由折叠可知 OD= OE.AB 是12半圆
30、O的直径,ACB=90,ODBC.OA=OB,OD= BC,BC=OE=OB=OC,COB=60,12AOC=120, = .故选 A.125.70 连接 BE.DOE=40,ABE= DOE=20.BC 为O 的直径,12BEA=BEC=90,A=90-ABE=90-20=70.6.(1)证明:连接 AC,EB,则CAM=BEM.又AMC=EMB,AMCEMB, = ,即 AMMB=EMMC.(4分)(2)DC 为O 的直径,且 DC=42=8,DEC=90,EC= = =7.2-2 82-( 15)2OA=OB=4,M 为 OB的中点,AM=6,BM=2.设 EM=x,则 CM=7-x.由
31、(1)知 AMMB=EMMC,得 62=x(7-x).解得 x1=3,x2=4.EMMC,EM=4.(9 分)7.(1)证明:ED=EC,EDC=C.四边形 ABED是O 的内接四边形,EDC=B,B=C,AB=AC.(3 分)(2)4 (7分)360(9 分)解法提示:连接 AE,AB 为O 的直径,AEBC,又AB=AC,BE=EC.C=C,CDE=B,CDECBA,19 = ,即 = , 4126BC=4 .3四边形 ODEB是菱形,OB=BE=OD=ED=OE,BOE=EOD=60,BOD=120,A=60.8.(1)BAC=60,EOF=120.过点 O作 OHEF 于点 H,则 E
32、H=FH.设 OE=x,则 OF=x,FH=EH= x,32EF= x,3 = .(3分)3(2)30(4分)理由:四边形 OEDF是菱形,OE=ED=DF=FO.又OE=OD=OF,OE=ED=DF=FO=OD,OED=EOD=DOF=DFO=60.AD 是O 的直径,DEA=DFA=90,AEO=OFA=30,又OE=OA=OF,EAO=OAF=30.(7 分)(3)5 (9分)3解法提示:由(1)可知 EF= OE= AD,332故当 AD最短,即 ADBC 时,EF 有最小值.AB=10 ,B=45,ADBC,2AD=10 =10,2 2EF 的最小值为 10 =5 .32 3第二节
33、与圆有关的位置关系真题分点练1.B 给各点标上字母,如图所示,则 AB= =2 ,AC=AD= = ,AE= =3 ,AF=22+22 2 42+12 17 32+32 2= ,AG=AM=AN= =5,当 5,直线和圆相离.故选 C.5.00)个132 512 512单位后得到的直线 l所对应的函数关系式为 y=- x+m(m0),设直线 l与 x轴,y 轴分别交于512点 A,B,则 A( m,0),B(0,m),即 OA= m,OB=m.在 RtOAB 中,AB= = = m,过125 125 2+2 144252+2135点 O作 ODAB 于点 D,S ABO = ODAB= OAO
34、B, OD m= m2,解得 OD= m.由直线12 12 12 135 12 125 1213l与O 相交可知 m6,解得 m ,即 m的取值范围为 0m .1213 132 1326.(1)CM与O 相切.(1 分)理由如下:如图,连接 OC.OC=OA,A=1.GDOA,A+2=A+3=1+3=90. (2 分)AB 为O 的直径,ACB=90,GCE=90.M 是 GE的中点,MG=ME=MC,(3 分)3=MCE,1+MCE=90,OCMC,CM 与O 相切.(4 分)(2)如图,GCE=90,G+3=90.21又A+3=90,A=G.(5 分)MG=MC,4=G+MCG=2G.5=
35、2A,4=5,3=MCE=EFC,ECFEMC,CE=CF, = .(6分)EM=CM=6,EC=CF=4,EF= = = ,2426 83MF=EM-EF=6- = .(9分)831037.A 连接 OA,根据切线的性质可得,OAAP,P=30,OP=2OA.又OA=OB=3,OP=6,BP=OP-OB=3.故选 A.8.A 圆内接四边形 ABCD的边 AB过圆心 O,ADC+ABC=180,ACB=90,ADC=180-ABC=125,BAC=90-ABC=35.由题易得MCA=ABC=55,AMC=90.ADC=AMC+DCM,DCM=ADC-AMC=35,ACD=MCA-DCM=55-
36、35=20.故选 A.9.44 连接 OB.BC 是O 的切线,OBBC,OBA+CBP=90.OCOA,A+APO=90.OA=OB,OAB=22,OBA=OAB=22,APO=CBP=68.APO=CPB,CPB=CBP=68,OCB=180-68-68=44.10.3或 4 AB=8,点 M是 AB的中点,BM=4.当P 与 CD相切于点 C时,如图(1),设3PM=PC=r,则 BP=8-r.在 RtBPM 中,根据勾股定理,得 BM2+BP2=PM2,即 42+(8-r)2=r2,解得r=5,BP=8-5=3;当P 与 AD相切于点 E时,如图(2),连接 PE,则PEAD,PE=C
37、D=8,PM=8.在 RtBPM 中,根据勾股定理,得 BP= = =4 .综上2-2 82-42 3可知,BP=3 或 4 .3图(1) 图(2)11.(1)证明:如图,连接 OC,OD.PC,PD 为O 的两条切线,PC=PD.又OC=OD,OP 垂直平分 CD,即 OPCD.(4 分)(2)如图,OD=OA,DAB=50,ADO=DAB=50.22四边形 ABCD为O 的内接四边形,CBA=70,ADC=180-CBA=110,ODC=ADC-ADO=60.OPCD,ODC+DOP=90,POD=30.PD 为O 的切线,OD 为半径,ODP=90.OA=2,OD=OA=2.在 RtOD
38、P 中,OP= = = .(9分)cos232 43312.(1)证明:连接 OC.CN 为O 的切线,OCCM,OCA+ACM=90.OMAB,OAC+ODA=90.OA=OC,OAC=OCA,ACM=ODA=CDM,MD=MC.(3 分)(2)依题意可知 AB=52=10.AB 为O 的直径,ACB=90,BC= =2 .102-(45)2 5AOD=ACB,A=A,AODACB, = ,即 = ,得 OD= .(6分) 25 545 52设 MC=MD=x,则 OM=x+ ,52在 RtOCM 中,由勾股定理得(x+ )2=x2+52,52解得 x= ,即 MC= .(9分)154 15
39、413.(1)如图,连接 DE.BE 为O 的直径,BDE=90.23B,C,D,E 四点共圆,BCD+BED=180,BED=60,BD=BEsin 60=2 =3.(4分)332(2)证明:如图,连接 AE.BE 为O 的直径,BAAE.点 A为 的中点,BA=AE.(6 分)又AB=AP,AB=AE=AP,BEP 为直角三角形,PEEB,直线 PE是O 的切线.(9 分)14.(1)证明:过点 O作 OEAB 于点 E,则OEB=90.BC 切O 于点 C,OCB=90.ADBD,ADB=90.AOD=BOC,CBD=OAD.AOD=BAD,OAD=ABD,ABD=CBO.在OEB 和O
40、CB 中,=,=,=, OEBOCB,OE=OC,AB 为O 的切线.(4 分)(2)BC=6,tanABC= ,ACB=90,43AC=BCtanABC=8,AB= = =10.2+2 62+82AB 与 BC均为O 的切线,BE=BC=6,AE=AB-BE=10-6=4.设 OC=OE=x,在 RtAEO 中,AO 2=AE2+OE2,即(8-x) 2=42+x2,解得 x=3,OB= = =3 .2+2 32+62 524S BOA = ABOE= BOAD,12 12ABOE=BOAD,AD= = =2 .(9分 )10335 515.B O 是ABC 的内切圆,点 O到ABC 三边的
41、距离相等,点 O是ABC 三条角平分线的交点.故选 B.16.C 如图,BC=5,AB=7,AC=8,设内切圆的半径为 R.过点 A作 ADBC 于点 D.设 BD=x,则CD=5-x.由勾股定理得:AB 2-BD2=AC2-CD2,即 72-x2=82-(5-x)2,解得 x=1,所以 AD= =4 .由2-2 3面积公式可知,S ABC = BCAD= (AB+BC+AC)R,即 54 = (7+5+8)R,解得 R= .故选 C.12 12 12 312 317.B 如图,连接 AI,BI.点 I是ABC 的内心,CAI=IAD.根据平移的性质,可知DIAC,AID=CAI,AID=IA
42、D,ID=AD.同理可得 IE=BE,故阴影部分的周长为ID+IE+DE=AD+BE+DE=AB=4.故选 B.18. 能够将ABC 完全覆盖的最小圆形纸片是如图所示的ABC 的外接圆O.连接1033OB,OC,则BOC=2BAC=120.过点 O作 ODBC 于点 D,则BOD= BOC=60.由垂径定理12得 BD= BC= cm,OB= = (cm),故能够将ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 12 52 sin60533 1033cm.19.(7,4),(6,5)或(1,4) 点 A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2),PA=PB= =32+22. 点 C在第一象
43、限内,且横坐标、纵坐标均为整数 ,P是ABC 的外心,PC=PA=PB= =13 13,则点 C的坐标为 (7,4),(6,5) 或(1,4).22+3220.(1)证明:由折叠可得ADEADC,AED=ACD,AE=AC.ABD=AED,ABD=ACD,25AB=AC,AE=AB.(3 分)(2)如图,过点 A作 AHBE 于点 H.AB=AE,BE=2,BH=EH=1,ABE=AEB=ADB.又 cosADB= ,13cosABE= ,13 = ,13AC=AB=3.BAC=90,AC=AB,BC=3 .(9分)221.设ABC 的内切圆分别与 AC,BC相切于点 E,F,CE的长为 x,
44、由题易得 AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x.(1)在 RtABC 中,根据勾股定理,得(x+m) 2+(x+n)2=(m+n)2,整理,得 x2+(m+n)x=mn,所以 SABC = ACBC12= (x+m)(x+n)12= x2+(m+n)x+mn12= (mn+mn)12=mn.(3分)(2)证明:由 ACBC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn,整理,得 x2+(m+n)x=mn,所以 AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2x2+(m+n)x+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2,根据勾股定理的逆定理,可得C=90.(6 分)(3)如图,过点 A作 AGBC,垂足为点 G.
