1、智合教育暑期蓝天行动- 1 -目录（一） 数字谜 .- 2 - 横式字谜 .- 2 - 竖式字谜 .- 4 -（二） 定义新运算 .- 7 -（三） 不规则图形面积计算（1） .- 11 -（四） 不规则图形面积计算（2） .- 14 -（五） 抽屉问题 - 19 -（六） 逻辑推理 - 22 -（七） 牛吃草 - 25 -（八） 工程问题 - 28 -（九） 植树问题 - 32 -（十） 有趣的树阵图 - 35 -（十一） 有趣的树阵图练习 - 39 -（十二） 周期性问题 - 42 -（十三） 棋盘中的数学 - 47 -智合教育暑期蓝天行动- 2 -（1） 数字谜小朋友们都玩过字谜吧，就是
2、一种文字游戏，例如“空中码头” （打一城市名） 。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天” 。这个地名第 1 个字可能是天。 “码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是“天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这样谜底就出来了：天津。算式谜又被称为“虫食算” ，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。 “虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用、等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不
3、同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。 横式字谜1、例题与方法指导例 1 ，8，97 在上面的 3 个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这 3 个数的平均数是 150。那么所填的 3 个数字之和是多少？思路导航 ： 150*3-8-97-5=340所以 3 个数之和为 3+4+5=12。例 2 在下列算式的中填上适当的数字，使得等式成立：（1）6456=0，（2）7837=1，（3）332=17，（4）858=6。分析：（1） 6104/56=109（2）7548/37=
4、204（3） 3393/29=117（4）8468/58=146例 3 在算式 40796=9998 的各个方框内填入适当的数字后，就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。分析：40796/102=399.98。智合教育暑期蓝天行动- 3 -例 4 我学数学乐我学数学乐=数数数学数数学学数学在上面的乘法算式中， “我、学、数、乐”分别代表的 4 个不同的数字。如果“乐”代表 9，那么“我数学”代表的三位数是多少？分析：学=1，我=8，数=6 ，81619*81619=6661661161例 5 （）=24 在式中的 4 个方框内填入 4 个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。思
5、路导航 ：这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a、”等。表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如 ab=3a-3b，新运算使用的符号是，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。1、例题与方法指导例 1. 设 ab 都表示
6、数，规定 ab 表示 a 的 4 倍减去 b 的 3 倍，即 ab=4a-3b,试计算 56，65。解 56-54-63=20-18=265=64-53=24-15=9说明 例 1 定义的没有交换律，计算中不得将前后的数交换。例 2. 对于两个数 a、b,规定 ab 表示 3a+2b,试计算（56）7，5（67） 。思路导航 ：先做括号内的运算。解 （56）7=（53+62）7=277=273+72=955（67）=5（63+72）=532=53+322=79说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。智合教育暑期蓝天行动- 9 -例 3. 已知 23=234，42=45，一般
7、地，对自然数 a、b，ab 表示 a(a+1)（a+b-1）.计算（63）-（52） 。思路导航 ：原式=67-56=336-30规定：a=a+(a+1)+(a+2)+（a+b-1）,其中 a,b 表示自然数。例 4. 求 1100 的值。已知 x10=75,求 x.思路导航 ：（1）原式=1+2+3+100=（1+100）1002=5050（2）原式即 x+(x+1)+(x+2)+（X+9）=75,所以10X+(1+2+3+9)=7510x+45=75 10x=30x=32、巩固训练1. 若对所有 b,ab =ax,x 是一个与 b 无关的常数；ab=(a+b)2,且（13）3=1（33）
8、。求（14）2 的值。分析 注意本题有两种运算，由（13）3=1（33） ，可求出 x.解 因为（13）3=1（33） ，所以（1x）即（x+3）2=xx+3=2xx=3因为（14）2=（14）2=（4+2）2=32. 如果规定：=234，=345，=456，=8910，求+-+-+-的值。解题思路依题意可以看出：定义的新运算为连续三个数的乘积，而且，里的数就是三个连续数中的中间的哪个数，即是 2，3，4 三个连续的乘积，是智合教育暑期蓝天行动- 10 -3，4，5 三个连续睡的乘积，从而不难求出+-+-+-的值。解：原式=8910+789-678+567-456+345-234=720+50
9、4+-339+210-120+60-24=10143、能力提升答案智合教育暑期蓝天行动- 11 -（3） 不规则图形面积计算（1）我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：智合教育暑期蓝天行动- 12 -实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系 ，问题就能解
10、决了。一、例题与方法指导例 1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 10 厘米和12 厘米.求阴影部分的面积。思路导航 ：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（ABG、BDE、EFG）的面积之和。智合教育暑期蓝天行动- 13 -例 2 如右图，正方形 ABCD 的边长为 6 厘米，ABE、ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，求三角形 AEF 的面积. 思路导航 ：ABE、ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，四边形 AECF 的面积与ABE、ADF 的面积都等于正方形 ABCD 的 。13在ABE 中，因为 AB=6.所以 BE=4，同理
11、 DF=4，因此 CE=CF=2，ECF 的面积为 222=2。所以 SAEF=S 四边形 AECF-SECF=12-2=10（平方厘米）。例 3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是 10 厘米和 6 厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。思路导航 ：在等腰直角三角形 ABC 中AB=10EF=BF=AB-AF=10-6=4，阴影部分面积=SABG-SBEF=25-8=17（平方厘米）。例 4 如右图，A 为CDE 的 DE 边上中点，BC=CD，若ABC（阴影部分）面积为 5平方厘米.求ABD 及ACE 的面积.思路导航 ：取 BD 中点 F，连结 AF.因为ADF、AB
12、F 和ABC 等底、等高，所以它们的面积相等，都等于 5 平方厘米.ACD 的面积等于 15 平方厘米，ABD 的面积等于 10 平方厘米。又由于ACE 与ACD 等底、等高，所以ACE 的面积是 15 平方厘米。BC智合教育暑期蓝天行动- 14 -二、巩固训练1. 如右图，在正方形 ABCD 中，三角形 ABE 的面积是 8 平方厘米，它是三角形 DEC 的面积的 ，求正方形 ABCD 的面积。 45解：过 E 作 BC 的垂线交 AD 于 F。在矩形 ABEF 中 AE 是对角线，所以 SABE=SAEF=8.在矩形 CDFE 中 DE 是对角线，所以 SECD=SEDF。2. 如右图，已
13、知：SABC=1，AE=ED,BD= BC.求阴影部分的面积。23解：连结 DF。AE=ED，SAEF=SDEF；SABE=SBED 3. 如右图，正方形 ABCD 的边长是 4 厘米，CG=3 厘米，矩形 DEFG 的长 DG 为 5 厘米，求它的宽 DE 等于多少厘米？解：连结 AG，自 A 作 AH 垂直于 DG 于 H，在ADG 中，AD=4，DC=4（AD 上的高）.SAGD=442=8，又 DG=5，SAGD=AHDG2，AH=825=3.2（厘米），DE=3.2（厘米）。4. 如右图，梯形 ABCD 的面积是 45 平方米，高 6 米，AED 的面积是 5 平方米，BC=10 米
14、，求阴影部分面积.解：梯形面积=（上底+下底）高2D智合教育暑期蓝天行动- 15 -即 45=（AD+BC）62，45=（AD+10）62，AD=4526-10=5 米。ADE 的高是 2 米。 EBC 的高等于梯形的高减去ADE 的高，即 6-2=4 米，5. 如右图，四边形 ABCD 和 DEFG 都是平行四边形，证明它们的面积相等.证明：连结 CE，ABCD 的面积等于CDE 面积的 2 倍，而 DEFG 的面积也是CDE 面积的 2 倍。 ABCD 的面积与 DEFG 的面积相等。（4） 不规则图形面积计算（2）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规
15、则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合 A与集合 B 之间有：S AB S AS b-SAB ）合并使用才能解决。1、例题与方法指导例 1. 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。智合教育暑期蓝天行动- 16 -解法 1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。解
16、法 2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。解法 3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.例 2. 如右图，正方形 ABCD 的边长为 4 厘米，分别以 B、D 为圆心以 4 厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。解：由容斥原理 S 阴影 S 扇形 ACBS 扇形 ACD-S 正方形 ABCD例 3 如右图，矩形 ABCD 中，AB6 厘米，BC4 厘米，扇形 ABE 半径 AE6 厘米，扇形 CBF 的半 CB=4 厘米，求阴影部分的面积。例 4. 如右图
17、，直角三角形 ABC 中，AB 是圆的直径，且 AB20 厘米，如果阴影（）的面积比阴影（）的面积大 7 平方厘米，求 BC 长。分析 已知阴影（）比阴影（）的面积大 7 平方厘米，就是半圆面积比三角形 ABC 面积大 7 平方厘米；又知半圆直径 AB20 厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去 7 平方厘米，就可求出三角形 ABC 的面积，进而求出三角形的底 BC 的长.智合教育暑期蓝天行动- 17 -2、巩固训练1. 如右图，两个正方形边长分别是 10 厘米和 6 厘米，求阴影部分的面积。分析 阴影部分的面积，等于底为 16、高为 6 的直角三角形面积与图中（I）的面积之差。而（I）的面积等于
18、边长为 6 的正方形的面积减去 以 6 为半径的圆的面积。142. 如右图，将直径 AB 为 3 的半圆绕 A 逆时针旋转 60，此时 AB 到达 AC 的位置，求阴影部分的面积（取 =3）. 解：整个阴影部分被线段 CD 分为和两部分，以 AB 为直径的半圆被 弦 AD 分成两部分，设其中 AD 右侧的部分面积为 S，由于弓形 AD 是两个半圆的公共部分，去掉 AD 弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即=S，由于：3. 如右图，ABCD 是正方形，且 FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积.智合教育暑期蓝天行动- 18 -4. 如下页右上图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周上的中点，
19、BC 是半圆的直径，且 AB=BC=10，求阴影部分面积（ 取 3.14）。解：三角形 ABC 是等腰直角三角形，以 AC 为对角线再作一个全等的等腰直角三角形 ACE，则 ABCE 为正方形（利用对称性质）。总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：一、 相加法：智合教育暑期蓝天行动- 19 -这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了. 二
20、、 相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可. 三、 直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是 2，高为 4 的三角形，面积可直接求出来。 四、 重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的 4 个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、 辅助线法：这种方
21、法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便. 六、 割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半. 七、 平移法：智合教育暑期蓝天行动- 20 -这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如右
22、图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。八、 旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕 B 点逆时针方向旋转 180，使 A 与 C 重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、 对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中
23、阴影部分的面积，沿 AB 在原图下方作关于 AB 为对称轴的对称扇形 ABD.弓形 CBD 的面积的一半就是所求阴影部分的面积。十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SABSASB-SAB）解决。例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分. （5） 抽屉问题如果将 5 个苹果放到 3 个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中智合教育暑期蓝天行动- 21 -放的苹果不少于 2 个。道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于 2 个，即放 1 个或不放，那么 3 个抽屉中
24、放的苹果的总数将少于或等于 3，这与有 5 个苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于 2 个。同样，有 5 只鸽子飞进 4 个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了 2 只鸽子。以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理” ，也叫“鸽笼原理”。抽屉原理 1：将多于 n 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于 2 件。说明这个原理是不难的。假定这 n 个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2 件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。这样，n 个抽屉中所放物品的总数就不会超过 n 件，这与有多于 n 件物品的假设相矛盾，所以前面假定“这 n 个抽
25、屉中，每一个抽屉内的物品都不到 2 件”不能成立，从而抽屉原理 1 成立。从最不利原则也可以说明抽屉原理 1。为了使抽屉中的物品不少于 2 件，最不利的情况就是 n 个抽屉中每个都放入 1 件物品，共放入 n 件物品，此时再放入 1 件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有 1 个抽屉不少于 2 件物品。这就说明了抽屉原理 1。1、例题与方法指导例 1. 某幼儿园有 367 名 1996 年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？分析与解：1996 年是闰年，这年应有 366 天。把 366 天看作 366 个抽屉，将367 名小朋友看作 367 个物品。这样，把 367 个物品放进 366 个抽屉里
26、，至少有一个抽屉里不止放一个物品。因此至少有 2 名小朋友的生日相同。例 2. 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被 3 整除？分析与解：因为任何整数除以 3，其余数只可能是 0，1，2 三种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉” 。一个整数除以 3 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里。将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以 3 的余数相同。这两个数的差必能被 3 整除。例 3. 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是 3 的倍数？分析与解：根据例 2 的讨论，任何整数除以 3 的余数只能是 0，1，2
27、。现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论。第一种情形。有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以 3 后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的 3 倍，故能被 3 整除，所以这三个数之和能被 3 整除。第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被 3 除的余数分别为 0，1，2。因此这三个数之和能被 3 整除。智合教育暑期蓝天行动- 22 -综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是 3 的倍数。2、巩固训练1. 有苹果和桔子若干个，任意分成 5 堆
28、，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？分析与解：由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有 4 种情形：（奇，奇） ， （奇，偶） ， （偶，奇） ， （偶，偶） ，其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性。将这 4 种情形看成 4 个抽屉，现有 5 堆水果，根据抽屉原理可知，这 5 堆水果里至少有 2 堆属于上述 4 种情形的同一种情形。由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其
29、苹果的总数与桔子的总数都是偶数。2. 用红、蓝两种颜色将一个 25 方格图中的小方格随意涂色（见右图） ，每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？分析与解：用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：将上面的四种情形看成四个“抽屉” 。根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。在上面的几个例子中，例 1 用一年的 366 天作为 366 个抽屉；例 2 与例 3用整数被 3 除的余数的三种情形 0，1，2 作为 3 个抽屉；例 4 将一条线段的 10等份作为 10 个抽屉；例 5 把每堆水果中
30、，苹果数与桔子数的奇偶搭配情形作为4 个抽屉；例 6 将每列中两个小方格涂色的 4 种情形作为 4 个抽屉。由此可见，利用抽屉原理解题的关键，在于恰当地构造抽屉。 3. 在长度是 10 厘米的线段上任意取 11 个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于 1 厘米？分析与解：把长度 10 厘米的线段 10 等分，那么每段线段的长度是 1 厘米（见下图） 。智合教育暑期蓝天行动- 23 -将每段线段看成是一个“抽屉” ，一共有 10 个抽屉。现在将这 11 个点放到这 10 个抽屉中去。根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点） 。由于这两个点在同一个抽屉里，它们
31、之间的距离当然不会大于 1 厘米。所以，在长度是 10 厘米的线段上任意取 11 个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于 1 厘米。3、拓展提升1. 有 5 个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出 3 枚棋子.请你证明，这 5 个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。分析与解答 首先要确定 3 枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2 黑 1 白，1 黑 2 白，3 白共 4 种配组情况，看作 4 个抽屉.把每人的 3 枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有 5 个苹果.把每人所拿 3 枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有 5 个苹果，比抽屉个数
32、多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。2. 一副扑克牌（去掉两张王牌） ，每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？分析与解答 扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃 4 种花色，2 张牌的花色可以有：2 张方块，2 张梅花，2 张红桃，2 张黑桃，1 张方块 1 张梅花，1 张方块 1张黑桃，1 张方块 1 张红桃，1 张梅花 1 张黑桃，1 张梅花 1 张红桃，1 张黑桃1 张红桃共计 10 种情况.把这 10 种花色配组看作 10 个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多 1 个就可以有题目所要的结果.
33、所以至少有 11 个人。3. 从 2、4、6、30 这 15 个偶数中，任取 9 个数，证明其中一定有两个数之和是 34。分析与解答 我们用题目中的 15 个偶数制造 8 个抽屉：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是 34。现从题目中的 15 个偶数中任取 9 个数，由抽屉原理（因为抽屉只有 8 个） ，必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是 34。智合教育暑期蓝天行动- 24 -（6） 逻辑推理曾经爱因斯坦出过一道测试题, 他说世界上有 98%的人回答不出!让我们一起来看看是什么题呢。在一条街上有 5 座颜色不同的房子，住着 5 个不同国家的人，他
34、们抽着 5种不同的烟，喝着 5 种不同的饮料，养着 5 种不同的宠物。有下面 15 个已知条件，求解。1、英国人住红色房子。2、瑞典人养狗。3、丹麦人喝茶。4、绿色房子在白色房子左面。5、绿色房子主人喝咖啡。6、抽 Pall Mall 香烟的人养鸟。7、黄色房子主人抽 Dunhill 香烟。8、住在中间房子的人喝牛奶。9、挪威人住第一间房。10、抽 Blends 香烟的人住在养猫的人隔壁。11、养马的人住抽 Dunhill 香烟的人隔壁。12、抽 Blue Master 的人喝啤酒。13、德国人抽 Prince 香烟。14、挪威人住蓝色房子隔壁。15、抽 Blends 香烟的人有一个喝水的邻居
35、。问:哪个国家的人养鱼?这道题为什么会难倒这么多人呢，首先，我们就来研究一下关于他的最基本的逻辑问题吧。1、例题与方法指导例 1. 某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别：甲判断：不是铁，也不是铜。乙判断：不是铁，而是锡。丙判断：不是锡，而是铁。经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？思路导航 ：丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。先设甲全对，推出矛盾后，再设乙全对，又推出矛盾，则说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。例 2. 数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人
36、得铜牌。老师猜测：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不智合教育暑期蓝天行动- 25 -得铜牌。 ”结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌，谁得铜牌？思路导航 ：小华得金牌，小强得银牌，小明得铜牌。（1）若小明得金牌，小华一定“不得金牌” ，这与“老师只猜对了一个”相矛盾，不合题意。（2）若小华得金牌，那么“小明得金牌”与“小华不得金牌”这两句都是错的，那么“小强不得铜牌”应是正确的，那么小强得银牌，小明得铜牌。例 3. 一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问。四人分别供述如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中。 ”乙说：“我没有做案，是丙偷的。 ”丙说：“
37、在甲和丁中间有一人是罪犯。 ”丁说：“乙说的是事实。 ”经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话。同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？思路导航 ：乙和丁是盗窃犯。如果甲说的是假话，那么剩下三人中有一人说的也是假话，另外两人说的是真话。可是乙和丁两人的观点一致，所以在剩下的三人中只能是丙说了假话，乙和丁说的都是真话。即“丙是盗窃犯” 。这样一来，甲说的也是对的，不是假话。这样，前后就产生了矛盾。所以甲说的不可能是假话，只能是真话。同理，剩下的三人中只能是丙说真话。乙和丁说的是假话，即丙不是罪犯，乙是罪犯。又由甲所述为真话，即甲不是罪犯。再由丙所述为真
38、话，即丁是罪犯。2、巩固训练1. 小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是战士，一位是大学生。现在知道：小李比战士年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年龄小。那么三人各是什么职业?解：小李是大学生，小王是战士，小张是工人.2. 甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友。甲不会英文，乙不懂日语却与英国小朋友热烈交谈。问：甲、乙、丙分别是哪国的小朋友？解：甲是日本人，乙是中国人，丙是英国人。3. 徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷。（1）车工只和电工下棋；（2）王、陈两位师傅经常与木工下棋；（3）徐师傅与电工下棋互有胜负；（4）陈师傅比钳工下
39、得好。问：徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种？智合教育暑期蓝天行动- 26 -徐是车工，王是钳工，陈是电工，赵是木工。解：提示：由（2） （3） （1）可画出右表：（7） 牛吃草牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不
40、变的。这类问题常用到四个基本公式，分别是：（1）草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数） ；（2）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数；（3）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度） ；（4）牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为“1“，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。1、例题与方法指导例 1.青青一牧场 青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作
41、几周粮？（注：“廿”的读音与“念”相同。 “廿”即二十之意。 ）智合教育暑期蓝天行动- 27 -【解说】这道诗题，是依据闻名于世界的“牛顿牛吃草问题”编写的。牛顿是英国人，他的种种事迹早已闻名于世，这里不赘述。他曾写过一本书，名叫普遍的算术 ， “牛吃草问题”就编写在这本书中。书中的这道题目翻译过来是：一牧场长满青草，27 头牛 6 个星期可以吃完，或者 23 头牛 9 个星期可以吃完。若是 21 头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草是不断生长的。）解答这一问题，首先必须注意牧场里的草是不断生长增多的，而并非一个固定不变的数值。这虽然大大地增加了解题的难度，但我们不要害怕。只要依据下面的
42、思路，就一定会找到问题的答案。思路导航 ：因为 27 头 6 星期草料=（276=）162 头一星期草料23 头 9 星期草料=（239=）207 头一星期草料而这一牧场 6 星期吃完与 9 星期吃完，草料数量要相差 207162=45（头牛吃一星期的草料）这多出的草料，便是 96=3（个星期之内新长出的草料）所以，一个星期新长出的草料便是453=15（头牛吃一星期的草料）进而可知，这牧场最初的草料数量就是（2715）6=72（头牛吃一个星期的草料）现在，有 21 头牛来吃这牧场里的草，其中必须拿出 15 头牛来吃每个星期新长出来的草料，这就只剩下：21-15=6（头牛）去吃最初已经长成的草料
43、了。所以，21 头牛来吃这牧场的草料，全部吃光所需要的时间就是726=12（个星期）列成综合算式，就是：27-（239276）（96）621-（239276）（96）=27-453621-4531266=12（个星期）答：21 头牛要 12 个星期才可以吃完。例 2. 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛 27 头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛 23 头，9 天把草吃尽。如果有牛 21 头，几天能把草吃尽？摘录条件：27 头 6 天 原有草+6 天生长草23 头 9 天 原有草+9 天生长草智合教育暑期蓝天行动- 28 -21 头 ？天 原有草+？天生长草解答这类问题关键是要抓
44、住牧场青草总量的变化。设 1 头牛 1 天吃的草为“1“，由条件可知，前后两次青草的问题相差为 239-276=45。为什么会多出这 45 呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）3 天生长出来的，所以每天生长的青草为 453=15现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足 15 头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的 15 头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？（27-15）6=72那么：第一次吃草量 276=162 第二次吃草量 239=207每天生长草量 453=15原有草量（27-15）6=
45、72 或 162-156=7221 头牛分两组，15 头去吃生长的草，其余 6 头去吃原有的草那么726=12（天）例 3. 一水库原有存水量一定，河水每天入库。5 台抽水机连续 20 天抽干，6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干，若要 6 天抽干，要多少台同样的抽水机？摘录条件：5 台 20 天 原有水+20 天入库量6 台 15 天 原有水+15 天入库量？台 6 天 原有水+6 天入库量设 1 台 1 天抽水量为“1“，第一次总量为 520=100，第二次总量为615=90每天入库量(100-90)(20-15)=220 天入库 220=40，原有水 100-40=6060+26=72
46、726=12（台）2、巩固训练1、某车站在检票前若干分钟就开始排队了，每分钟来的旅客一样多，从开始检票到队伍消失（还有人在接受检票） ，若开 5 个检票口，要 30 分钟，开 6 个检票口，要 20 分钟。如果要在 10 分钟消失，要开多少个检票口？解：把每个检票口一分钟检票量作为 1 份，则每分钟来的旅客为：530-62030-20=3 份 开始检票前有旅客：530303=60 份所以要 10 分钟剪完票，需要看开6031010=9 个2、画展 9 点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开 3 个入场口，9 点 9 分就不再有人排队；如果开 5 个入场
47、口，9 点 5 分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。解：设每一个入场口每分钟通过“1 份”人。每分钟到来的人有27-259-5=0.5 份人开门前已经有 27-0.59=22.5 份人这些人来到画展，用时间 22.50.5=45（分）第一个观众到达的时间为 9 点-45 分=8 点 15 分3、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天匀速减少。经过计算，牧场上的草可供 20 头牛吃智合教育暑期蓝天行动- 29 -5 天，或者供 16 头牛吃 6 天，那么这片牧场上的草可供 11 头牛吃几天？解：20 头牛 5 天吃草 205=100（份） ，16 头牛 6 天吃草 166=96（份）青草每天减少（
48、100-96）6-5=4（份） 牧场原有草：100+45=120（份）每天减少 4 份草，相当于 4 头牛吃掉，所以 120 份草可供 114=15 头牛吃 8 天。4、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。如果牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天，或者供 15 头牛吃 6 天，那么可供多少头牛吃 10 天？解：青草每天减少（205-156）6-510（份）牧场原有草：100+105=150（份） 150 份草 10 天可供 15010=15（头）但每天减少 10 份，相当于 10 头牛吃掉，所以只能供牛：15-15（头）3、拓展提升1. 自动扶梯以均匀的速度由上往下行驶，小明和小红要从扶梯上楼，小明每分钟走 20 梯级，小红每分钟走 14 梯级，结果小明 4 分钟到达楼上，小红用 5 分钟到达楼上，求扶梯共有多少级？解：电梯每分钟走 204-145=10（级）所以扶梯共有（2010）4=120（级）2. 两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶走向
