1、第 1 页（共 23 页）图形的旋转经典题 一选择题（共 10 小题）1把一副三角板按如图放置，其中ABC=DEB=90，A=45，D=30 ，斜边AC=BD=10，若将三角板 DEB 绕点 B 逆时针旋转 45得到DE B，则点 A 在DEB 的（ ）A内部 B外部 C边上 D以上都有可能2如图，在ABC 中，C=90，AC=4，BC=3 ，将ABC 绕点 A 逆时针旋转，使点 C落在线段 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，则 B、D 两点间的距离为（ ）A B2 C3 D23如图，ABC 中，AB=6 ，BC=4，将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到AEF，使得AFBC，延长 B
2、C 交 AE 于点 D，则线段 CD 的长为（ ）A4 B5 C6 D74规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为 60的是（ ）A正三角形 B正方形 C正六边形 D正十边形5下面生活中的实例，不是旋转的是（ ）A传送带传送货物 B螺旋桨的运动C风车风轮的运动 D自行车车轮的运动6如图，在直角坐标系中放置一个边长为 的正方形 ABCD，将正方形 ABCD 沿 x 轴的正方向无滑动的在 x 轴上滚动， 当点A 第三次回 到 x 轴上时，点 A 运动的路线与 x 轴围成的图形的面积和为（ ）6 题
3、 7 题 9 题A + B2+2 C3 +3 D6+6第 2 页（共 23 页）7 （2016松北区模拟）如图，将OAB 绕点 O 逆时针旋转 80，得到OCD，若A=2 D=100，则 的度数是（ ）A50 B60 C40 D308一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（ ）A360 B270 C180 D909如图ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与 ACP重合，已知 AP=3，则 PP的长度是（ ）A3 B CD410等边三角形 ABC 绕着它的中心，至少旋转（ ）度才能与它本身重合A60 B120 C18
4、0 D360 二填空题（共 6 小题）11将等边CBA 绕点 C 顺时针旋转 得到CBA ，使得 B，C，A三点在同一直线上，如图所示，则 的大小是_ 11 题 12 题 13 题12如图，点 C 为线 段 AB 上一点，将线段 CB 绕点 C 旋 转，得到线段CD，若DAAB，AD=1，则 BC 的长为_13如图，将 RtABC 绕直角顶点 A 顺时针旋转 90，得到 ABC ，连结 BB，若1=25，则 C 的度数是_14如图，在ABC 中，C=90，B=55，点 D 在 BC 边上，DB=2CD，若将ABC 绕点 D 逆时针旋转 度（0 180）后，点 B 恰好落在初始位置时ABC 的边
5、上，则 等于_15如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为_，旋转角为_16在平面直角坐标系中，点 P（1，1） ，N（2，0） ，MNP 和M 1N1P1 的顶点都在格点上，MNP 与M 1N1P1 是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为_ 三解答题（共 8 小题）第 3 页（共 23 页）17如图，在 RtABC 中，ACB=90，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CE=BC，连接CD，将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90后得 CF，连接 EF（1）补充完成图形；（2）若 EFCD，求证： BDC=9018在平面直角坐标系中，ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长为 1 个单位长
6、度的正方形） （1）将ABC 沿 x 轴方向向左平移 6 个单位，画出平移后得到的A 1B1C1；（2）将ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90，画出旋转后得到的 AB 2C2，并直接写出点B2、C 2 的坐标19如图，在平面直角坐标系 xOy 中，每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 和 DE 的端点 A、B、D、E 均在小正方形的顶点上（1）画出以 AB 为一边且面积为 2 的 RtABC，顶点 C 必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以 DE 为一边，含有 45内角且面积为 的DEF，顶点 F 必须在小正方形的顶点上；（3）若点 C 绕点 Q 顺时针旋转 90后与点 F 重合，请直接写
7、出点 Q 的坐标20 （1）如图（1） ，直线 ab，A ，B 两点分别在直线 a，b 上，点 P 在 a，b 外部，则1，2，3 之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2） ，直线 ab，点 P 在直线 a，b 直角，2=50，3=30 ，求1；（3）在图（2）中，将直线 a 绕点 A 按逆时针方向旋转一定角度交直线 b 于点 M，如图（3） ，若1=100 ，4=40 ，求2+3 的度数第 4 页（共 23 页）21 （1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题如图 1，已知ABC 中，ACB=90，AC=BC，P 是ABC 内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求BPC 的度
8、数小强在解决此题时，是将APC 绕 C 旋转到CBE 的位置（即过 C 作 CECP ，且使CE=CP，连接 EP、EB） 你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图 2 所示，设 P 是等边ABC 内一点，PA=3 ，PB=4，PC=5 ，求APB 的度数22如图 1，在等腰直角ABC 中，AB=AC ，BAC=90 ，将一块三角板中含 45角的顶点放在 A 上，从 AB 边开始绕点 A 逆时针旋转一个角 ，其中三角板斜边所在的直线交直线 BC 于点 D，直角边所在的直线交直线 BC 于点 E操作一：在线段 BC 上取一点 M，连接 AM，旋转中发现：若 AD 平分
9、BAM，则 AE 也平分MAC请说明理由；操作二：当 045时，在旋转中还发现线段 BD、CE、DE 之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2某同学将 ABD 沿 AD 所在的直线对折得到 ADF （如图 2） ，很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理23如图（1）所示，点 C 为线段 AB 上一点，ACM、CBN 是等边三角形，直线AN、MC 交于点 E，直线 BM、CN 交于点 F（1）求证：AN=MB；（2）将ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转 90，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由第 5 页（共 23 页）24在ABC
10、 中，ACB=90，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于D，BEMN 于 E（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：ADCCEB； DE=AD+BE；（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证：DE=AD BE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明第 6 页（共 23 页）参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1 （2016玉林）把一副三角板按如图放置，其中ABC=DEB=90，A=45，D=30 ，斜边 AC=BD=10，若将三角板 DEB
11、绕点 B 逆时针旋转 45得到DE B，则点 A 在DEB 的（ ）A内部 B外部 C边上 D以上都有可能【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：EBE =45，E =DEB=90 ，求出 ED与直线 AB 的交点到 B 的距离也是 5 ，与 AB 的值相等，所以点 A 在DE B 的边上【解答】解：AC=BD=10，又ABC=DEB=90，A=45，D=30 ，BE=5，AB=BC=5 ，由三角板 DEB 绕点 B 逆时针旋转 45得到D EB，设DEB 与直线 AB 交于 G，可知：EBE=45，E=DEB=90，GE B 是等腰直角三角形，且 BE=BE=5，B
12、G= =5 ，BG=AB，点 A 在DE B 的边上，故选 C【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，利用 30和 45的直角三角形的性质求出各边的长；注意：在直角三角形中，30 度角所对的直角边等于斜边的一半，45角所对的两直角边相等，熟练掌握此内容是解决问题的关键2 （2016宜宾）如图，在 ABC 中，C=90，AC=4，BC=3，将ABC 绕点 A 逆时针旋转，使点 C 落在线段 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，则 B、D 两点间的距离为（ ）第 7 页（共 23 页）A B2 C3 D2【分析】通过勾股定理计算出 AB 长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理
13、求出 B、D 两点间的距离【解答】解：在ABC 中，C=90，AC=4，BC=3 ，AB=5，将ABC 绕点 A 逆时针旋转，使点 C 落在线段 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，AE=4，DE=3，BE=1，在 Rt BED 中，BD= = 故选：A【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系题目整体较为简单，适合随堂训练3 （2016朝阳）如图， ABC 中，AB=6，BC=4 ，将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到AEF，使得 AFBC，延长 BC 交 AE 于点 D，则线段 CD 的长为（ ）A4 B5 C6 D7【分
14、析】只要证明BACBDA，推出 = ，求出 BD 即可解决问题【解答】解：AFBC，FAD= ADB，BAC=FAD，BAC=ADB，B=B ，BACBDA， = ， = ，BD=9，CD=BD BC=94=5，第 8 页（共 23 页）故选 B【点评】本题考查平行线的性质、旋转变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，属于中考常考题型4 （2016莆田）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为 60的是（ ）A正三角形 B正方形 C正六边形 D正十边形【分析】分别求
15、出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是 120，故此选项错误；B、正方形的旋转角度是 90，故此选项错误；C、正六边形的最小旋转角是 60，故此选项正确；D、正十角形的最小旋转角是 36，故此选项错误；故选：C【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角5 （2016呼伦贝尔校级一模）下面生活中的实例，不是旋转的是（ ）A传送带传送货物 B螺旋桨的运动C风车风轮的运动 D自行车车轮的运动【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连
16、线的夹角相等【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转故选：A【点评】本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键6 （2016无锡校级模拟）如图，在直角坐标系中放置一个边长为 的正方形 ABCD，将正方形 ABCD 沿 x 轴的正方向无滑动的在 x 轴上滚动，当点 A 第三次回到 x 轴上时，点A 运动的路线与 x 轴围成的图形的面积和为（ ）A + B2+2 C3 +3 D6+6【分析】画出点 A 第一次回到 x 轴上时的图形，根据图形得到点 A 的路径分三部分，以B 点为圆心，BA 为半径，圆心角为 90的弧；再以 C1 为圆心，C 1C 为半径，圆心角为 90的弧；然后以 D2
17、点为圆心， D2A2 为半径，圆心角为 90的弧，所以点 A 运动的路线与 x轴围成的图形的面积就由三个扇形和两个直角三角形组长，于是可根据扇形面积和三角形面积公式计算，然后把计算结果乘以 3 即可得到答案第 9 页（共 23 页）【解答】解：点 A 第一次回到 x 轴上时，点 A 的路径为：开始以 B 点为圆心，BA 为半径，圆心角为 90的弧；再以 C1 为圆心，C 1C 为半径，圆心角为 90的弧；然后以 D2 点为圆心，D2A2 为半径，圆心角为 90的弧，所以点 A 第一次回到 x 轴上时，点 A 运动的路线与 x 轴围成的图形的面积和 =2+ +2 =2+2，所以点 A 第三次回到
18、 x 轴上时，点 A 运动的路线与 x 轴围成的图形的面积和为 3（2 +2）=6+6故选 D【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等7 （2016松北区模拟）如图，将OAB 绕点 O 逆时针旋转 80，得到OCD，若A=2 D=100，则 的度数是（ ）A50 B60 C40 D30【分析】根据旋转的性质得知A=C，AOC 为旋转角等于 80，则可以利用三角形内角和度数为 180列出式子进行求解【解答】解：将OAB 绕点 O 逆时针旋转 80A= CAOC=80DOC=80D=100 A=2 D=100D=50
19、C+D+DOC=180100+50 +80=180 解得 =50故选 A【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键第 10 页（共 23 页）8 （2016和平区一模）一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（ ）A360 B270 C180 D90【分析】根据菱形是中心对称图形解答【解答】解：菱形是中心对称图形，把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为 180的整数倍，旋转角至少是 180故选 C【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋
20、转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角9 （2016 春雅安期末）如图ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与ACP 重合，已知 AP=3，则 PP的长度是（ ）A3 B C D4【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出APP 等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可【解答】解：ACP 是由ABP 绕点 A 逆时针旋转后得到的，ACP ABP，AP=AP，BAP=CAP BAC=90，PAP =90，故可得出APP是等腰直角三角形，又AP=3，PP=3 故选 B【点评】此题考查
21、了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般10 （2015浠水县校级模拟）等边三角形 ABC 绕着它的中心，至少旋转（ ）度才能与它本身重合A60 B120 C180 D360【分析】根据等边三角形的性质及旋转对称图形得到性质确定出最小的旋转角即可【解答】解：等边三角形 ABC 绕着它的中心，至少旋转 120才能与它本身重合故选 B【点评】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键二填空题（共 6 小题）第 11 页（共 23 页）11 （2016邵阳）将等边 CBA 绕点 C 顺时针旋转 得到CB A，使得 B，C ，
22、A 三点在同一直线上，如图所示，则 的大小是 120 【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可【解答】解：三角形 ABC 是等边三角形，ACB=60，等边CBA 绕点 C 顺时针旋转 得到CBA ，使得 B，C，A三点在同一直线上，BCA=180，BCA=60，ACB=60，=60+60=120，故答案为：120【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等12 （2016高青县模拟）如图，点 C 为线段 AB 上一点，将线段 CB 绕点 C 旋转，得到线段 CD，若 DAAB，AD=1， ，则 BC 的长为
23、【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明 CD=CB（设为 ） ；运用勾股定理求出 AB的长度；再次运用勾股定理列出关于 的方程，求出 即可解决问题【解答】解：如图，由题意得 CD=CB（设为 ） ；由勾股定理得：AB2=BD2AD2，而 BD= ，AD=1 ，AB=4，AC=4；由勾股定理得：2=12+（ 4） 2，解得： 故答案为 【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键第 12 页（共 23 页）13 （2016海曙区一模）如图，将 RtABC 绕直角顶点 A 顺时针旋转 90，
24、得到ABC，连结 BB，若1=25，则C 的度数是 70 【分析】根据旋转的性质可得 AB=AB，然后判断出ABB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得ABB=45，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出BCA，然后根据旋转的性质可得 C= BC A【解答】解：RtABC 绕直角顶点 A 顺时针旋转 90得到 ABC ，AB=AB ，ABB是等腰直角三角形，ABB=45 ，ACB=1 +ABB=25+45=70 ，由旋转的性质得C=ACB =70故答案为：70【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟
25、记各性质并准确识图是解题的关键14 （2016太原二模）如图，在ABC 中，C=90，B=55，点 D 在 BC 边上，DB=2CD，若将ABC 绕点 D 逆时针旋转 度（0 180）后，点 B 恰好落在初始位置时ABC 的边上，则 等于 70 或 120 【分析】根据题意画出符合的两种情况，当 B 点落在 AB 上时，求出B= DB ，即可求出BDB；当 B 点落在 AC 上时，根据题意求出B DC，即可求出BDB 的度数，即可得出答案【解答】解：分为两种情况：当 B 点落在 AB 上时，如图 1，第 13 页（共 23 页）根据旋转的性质得出 DB=DB，B=55 ，DBB=B=55，BD
26、B=18055 55=70，即此时 =70；当 B 点落在 AC 上时，如图 2，如图，ABC 绕着点 D 顺时针旋转 度后得到A BC，BD=BD，BD=2CD，BD=2CD，ACB=90，CBD=30 ，BDC=60，BDB=18060=120，即此时 =120；故答案为：70 或 120【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，能求出BDB 的度数是解题的关键，作出图形更形象直观15 （2016怀柔区二模）如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为 螺丝（母）的中心 ，旋转角为 0360的任意角（答案不唯一） 【分析】根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可【解答】
27、解：由旋转中心的定义：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点 O 叫做旋转中心可知，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，而旋转角可估计实际情况决定，所以不确定，故答案为：螺丝（母）的中，0360的任意角（答案不唯一）第 14 页（共 23 页）【点评】本题考查了和旋转有关的概念：旋转中心和旋转角，属于基础性题目，对此知识点的考查重点在于对旋转的性质的掌握16 （2016瑞昌市一模）在平面直角坐标系中，点 P（1，1） ，N（2，0） ，MNP 和M1N1P1 的顶点都在格点上，MNP 与M 1N1P1 是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为 （
28、2，1） 【分析】根据中心对称的性质，知道点 P（1，1） ，N（2，0） ，并细心观察坐标轴就可以得到答案【解答】解：点 P（1，1） ，N（2，0） ，由图形可知 M（3，0） ，M 1（1，2） ，N 1（2，2） ，P 1（3，1） ，关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，对称中心的坐标为（2，1） ，故答案为：（2，1） 【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180 度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形以及中心对称的性质：关于中心对称的两个图形能够完全重合； 关于中心对称的两个图形，
29、对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分三解答题（共 8 小题）17 （2016荆门）如图，在 RtABC 中，ACB=90，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CE=BC，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90后得 CF，连接 EF（1）补充完成图形；（2）若 EFCD，求证： BDC=90【分析】 （1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到DCF 为直角，由 EF 与 CD 平行，得到EFC 为直角，利用 SAS得到三角形 BDC 与三角形 EFC 全等，利用全等三角形对应角相等即可得证【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：DC
30、F=90，DCE+ECF=90，第 15 页（共 23 页）ACB=90，DCE+BCD=90，ECF=BCD ，EFDC ，EFC+DCF=180 ，EFC=90，在BDC 和EFC 中，BDCEFC（SAS） ，BDC=EFC=90【点评】此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键18 （2016丹东）在平面直角坐标系中，ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长为1 个单位长度的正方形） （1）将ABC 沿 x 轴方向向左平移 6 个单位，画出平移后得到的A 1B1C1；（2）将ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90，画出旋转后得到的 AB 2C2，
31、并直接写出点B2、C 2 的坐标【分析】 （1）利用点平移的规律写出点 A、B、C 的对应点 A1、B 1、C 1 的坐标，然后描点即可得到A 1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点 B、C 的对应点 B2、C 2，从而得到AB 2C2，再写出点 B2、C 2 的坐标【解答】解：（1）如图，A 1B1C1 即为所求；（2）如图，AB 2C2 即为所求，点 B2（4，2） ，C 2（1， 3） 第 16 页（共 23 页）【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次
32、连接得出旋转后的图形也考查了平移变换19 （2016呼兰区模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 和 DE 的端点 A、B、D 、E 均在小正方形的顶点上（1）画出以 AB 为一边且面积为 2 的 RtABC，顶点 C 必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以 DE 为一边，含有 45内角且面积为 的DEF，顶点 F 必须在小正方形的顶点上；（3）若点 C 绕点 Q 顺时针旋转 90后与点 F 重合，请直接写出点 Q 的坐标【分析】 （1）和（2）分别画出图形；（3）作 FC 的中垂线，得 Q（5，0） 【解答】 （1）S ABC = 22=2；（2）
33、S DEF =2312 13= ；ED=EF，DFE=90，FDE=45 ；（3）由勾股定理得：FC= = ，CQ= = ，FQ= = ，FC 2=CQ2+FQ2，CQ=FQ，FQC=90，点 C 绕点 Q 顺时针旋转 90后与点 F 重合；第 17 页（共 23 页）则点 Q（5，0） 【点评】本题考查了作图旋转变换，对于画定值面积的三角形，利用面积的和、差先试求某点所组成的图形的面积是否符合题意，再确定这一点；同时根据勾股定理计算所成的三角形是否为直角三角形或等腰直角三角形20 （2016 春 重庆期末） （1）如图（1） ，直线 ab，A ，B 两点分别在直线 a，b 上，点P 在 a，
34、b 外部，则1，2，3 之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2） ，直线 ab，点 P 在直线 a，b 直角，2=50，3=30 ，求1；（3）在图（2）中，将直线 a 绕点 A 按逆时针方向旋转一定角度交直线 b 于点 M，如图（3） ，若1=100 ，4=40 ，求2+3 的度数【分析】 （1）设直线 AP 交直线 b 于 O，根据平行线的性质得出2=AOB，根据三角形外角性质求出AOB=1+3，即可得出答案；（2）延长 AP 交直线 b 于 O，根据平行线的性质得出ABO=2=50 ，根据三角形的外角性质得出1=AOB +3，代入求出即可；（3）延长 AP 交直线 b 于 O，根
35、据三角形外角性质得出AOB=2+4，1=3+AOB，求出1=2+4+3，代入求出即可【解答】（1）2=1+3，证明：设直线 AP 交直线 b 于 O，如图 1，第 18 页（共 23 页）直线 a直线 b，2=AOB，AOB=1+3，2=1+3；（2）解：延长 AP 交直线 b 于 O，如图 2，直线 a直线 b，2=50，ABO=2=50，3=30，1=AOB+3=50+30=80；（3）解：延长 AP 交直线 b 于 O，如图 3，AOB=2+4，1=3+AOB，1=2+4+3，1=100， 4=40，2+3=1 4=60【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能灵活运用性质
36、进行推理是解此题的关键21 （2014 秋 五常市校级期中） （1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题如图 1，已知ABC 中，ACB=90，AC=BC，P 是ABC 内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求BPC 的度数小强在解决此题时，是将APC 绕 C 旋转到CBE 的位置（即过 C 作 CECP ，且使CE=CP，连接 EP、EB） 你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图 2 所示，设 P 是等边ABC 内一点，PA=3 ，PB=4，PC=5 ，求APB 的度数【分析】 （1）如图 1，首先证明 BE2=PE2+PB2，得到BPE=90 ；证明C
37、PE=45即可解决问题（2）如图 2，作旋转变换；首先证明AQP=60；其次证明 PQ2+CQ2=PC2，得到PQC=90，求出AQC=150，即可解决问题【解答】解：（1）如图 1，由题意得：PCE=90 PC=EC=2；BE=PA=3；由勾股定理得：PE 2=22+22=8；PB 2=1，BE 2=9，BE 2=PE2+PB2，BPE=90，第 19 页（共 23 页）CPE=45，BPC=135 （2）如图 2，将ABP 绕点 A 逆时针旋转 60到ACQ 的位置，连接 PQ；则 AP=AQ， PAQ=60，QC=PB=4；APQ 为等边三角形， AQP=60，PQ=PA=3 ；PQ 2
38、+CQ2=32+42=25，PC 2=52=25，PQ 2+CQ2=PC2，PQC=90，AQC=60+90=150，APB=AQC=150【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求22 （2014 秋 苏州期中）如图 1，在等腰直角ABC 中，AB=AC，BAC=90 ，将一块三角板中含 45角的顶点放在 A 上，从 AB 边开始绕点 A 逆时针旋转一个角 ，其中三角板斜边所在的直线交直线 BC 于点 D，直角边所在的直线交直线 BC 于点 E操作一：在线段 BC 上取一点 M，连接
39、AM，旋转中发现：若 AD 平分BAM，则 AE 也平分MAC请说明理由；操作二：当 045时，在旋转中还发现线段 BD、CE、DE 之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2某同学将 ABD 沿 AD 所在的直线对折得到 ADF （如图 2） ，很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理【分析】 （1）如图 1，根据图形、已知条件推知BAD+MAE=DAM +EAC=45，所以MAE= EAC，即 AE 平分MAC；（2）应用折叠对称的性质和 SAS 得到AEF AEC，得出FE=CE，AFE=C=45 再证明 DFE=90 然后在 RtDFE 中应用勾股定理即可证明【解答】 （1）证明
40、：如图 1，BAC=90，BAD+DAM+MAE+EAC=90DAE=45，第 20 页（共 23 页）BAD+EAC=45BAD=DAM，BAD+EAC=DAM+EAC=45，BAD+MAE=DAM +EAC，MAE= EAC，即 AE 平分MAC；（2）证明：如图 2，连接 EF由折叠可知，BAD=FAD ，AB=AF，BD=DF，B= AFD=45BAD=FAD，由（1）可知，CAE=FAE在AEF 和AEC 中，AEFAEC（SAS） ，FE=CE，AFE=C=45 DFE=AFD+AFE=90在 Rt DFE 中，DF 2+FE2=DE2，BD 2+CE2=DE2【点评】本题考查了旋
41、转的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点注意，旋转前后，图形的大小和形状都不改变23 （2014 秋 利川市校级期中）如图（1）所示，点 C 为线段 AB 上一点，ACM、CBN 是等边三角形，直线 AN、MC 交于点 E，直线 BM、CN 交于点 F（1）求证：AN=MB；（2）将ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转 90，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由【分析】 （1）根据等边三角形的性质利用 SAS 判定ACNMCB，从而得到 AN=MB；第 21 页（共 23 页）（2）连接 A
42、N，BM，根据等边三角形的性质及旋转的性质利用 SAS 判定ACNMCB，从而得到 AN=MB【解答】 （1）证明：ACM、CBN 是等边三角形，AC=MC，BC=CN，ACM=BCN=60，ACN=MCB=120，在ACN 和MCB 中，ACNMCB，AN=MB（2）解：连接 AN，BM，ACM、CBN 是等边三角形，AC=MC，BC=CN，ACM=BCN=60，ACB=90，ACN=MCB，在ACN 和MCB 中，ACNMCB，AN=MB【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定方法的综合运用24 （2014 秋 江西期末）在ABC 中，ACB=90，AC=B
43、C，直线 MN 经过点 C，且ADMN 于 D，BEMN 于 E（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：ADCCEB； DE=AD+BE；（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证：DE=AD BE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明第 22 页（共 23 页）【分析】 （1）由ACB=90，得ACD+BCE=90，而 ADMN 于 D，BEMN 于 E，则ADC=CEB=90，根据等角的余角相等得到ACD=CBE，易得 RtADC Rt CEB，所以 AD=CE
44、，DC=BE，即可得到 DE=DC+CE=BE+AD（2）根据等角的余角相等得到ACD=CBE ，易得ADCCEB，得到AD=CE，DC=BE，所以 DE=CECD=ADBE（3）DE、AD、BE 具有的等量关系为：DE=BE AD证明的方法与（ 2）相同【解答】 （1）证明：ACB=90，ACD+BCE=90，而 ADMN 于 D，BEMN 于 E，ADC=CEB=90，BCE+CBE=90，ACD=CBE在ADC 和CEB 中， ，ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在ADC 和CEB 中， ，ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=CECD=ADBE；（3）DE=BEAD易证得ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=CD CE=BEAD第 23 页（共 23 页）【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角也考查了直角三角形全等的判定与性质
