1、2017 年中考数学专题练习一元二次方程【知识归纳】1一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如 或 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程 的一般步骤是： 02aocbxa； ， ， ，如果是非负数，即 ，就可以用n直接开平方求出方程的解.如果 n0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程 的求根公式是 .2(0)axbca（4）因式分解
2、法：因式分解法的一般步骤是： ； ；令每个因式都等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3. 一元二次方程根的判别式：关于 x 的一元二次方程 的根的判别式为 .02acbxa（1） 0 一元二次方程 有两个 实数根，即cb422cx.2,x（2） =0 一元二次方程有 相等的实数根，即 .acb4 21x（3） 0 一元二次方程 实数根.02acbxa4 一元二次方程根与系数的关系若关于 x 的一元二次方程 有两根分别为 ， ，那么 20()axbca1x221x， .21【基础检测】1 已 知 关 于 x 的 方 程 x2+3x+a=0 有 一
3、 个 根 为 2， 则 另 一 个 根 为 （ ）A 5 B 1 C 2 D 52 （ 2016雅 安 ） 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+mx 8=0 的 一 个 实 数 根 为2， 则 另 一 实 数 根 及 m 的 值 分 别 为 （ ）A 4， 2 B 4， 2 C 4， 2 D 4， 23 （ 2016威 海 ） 已 知 x1， x2 是 关 于 x 的 方 程 x2+ax 2b=0 的 两 实 数 根 ， 且x1+x2= 2， x1x2=1， 则 ba 的 值 是 （ ）A B C 4 D 14 （ 2016台 州 ） 有 x 支 球 队 参 加 篮 球 比
4、赛 ， 共 比 赛 了 45 场 ， 每 两 队 之 间 都比 赛 一 场 ， 则 下 列 方 程 中 符 合 题 意 的 是 （ ）A x（ x 1） =45 B x（ x+1） =45 C x（ x 1） =45 D x（ x+1） =455 （ 2016随 州 ） 随 州 市 尚 市 “桃 花 节 ”观 赏 人 数 逐 年 增 加 ， 据 有 关 部 门 统 计 ，2014 年 约 为 20 万 人 次 ， 2016 年 约 为 28.8 万 人 次 ， 设 观 赏 人 数 年 均 增 长 率 为x， 则 下 列 方 程 中 正 确 的 是 （ ）A 20（ 1+2x） =28.8 B
5、28.8（ 1+x） 2=20C 20（ 1+x） 2=28.8 D 20+20（ 1+x） +20（ 1+x） 2=28.86 （ 2016衡 阳 ） 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+4x+k=0 有 两 个 相 等 的 实 根 ， 则k 的 值 为 （ ）A k= 4 B k=4 C k 4 D k 47. （2016辽宁丹东3 分）某公司今年 4 月份营业额为 60 万元，6 月份营业额达到 100万元，设该公司 5、6 两个月营业额的月均增长率为 x，则可列方程为 8 （2016四川南充） 已知关于 x 的一元二次方程 x26x+（2m+1）=0 有实数根（1）求 m 的
6、取值范围；（2）如果方程的两个实数根为 x1，x 2，且 2x1x2+x1+x220，求 m 的取值范围9 （2016四川内江 12 分） 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为 30 米的篱笆围成已知墙长为 18 米(如图 14 所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米(1)若苗圃园的面积为 72 平方米，求 x；(2)若平行于墙的一边长不小于 8 米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于 100 平方米时，直接写出 x 的取值范围【达标检测】一、选择题1方程 的解是 （
7、 ）23xA B C D 或3x3x0x3x02 （2016内蒙古包头3 分）若关于 x 的方程 x2+（m+1）x+ =0 的一个实数根的倒数恰是它本身，则 m 的值是（ ）A B C 或 D13 （2016四 川 泸 州 ） 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+2（ k 1） x+k2 1=0 有 实数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 （ ）A k 1 B k 1 C k 1 D k 14.（2016湖北荆门3 分）已知 3 是关于 x 的方程 x2（m+1）x+2m=0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长为（ ）
8、A7 B10 C11 D10 或 115若关于 x 的一元二次方程 有实数根，则 a 的取值范围是（ ）2450xaA B C D1a16 （ 2016广 州 ） 定 义 运 算 ： ab=a（ 1 b） 若 a， b 是 方 程x2 x+ m=0（ m 0） 的 两 根 ， 则 bb aa 的 值 为 （ ）A 0 B 1 C 2 D 与 m 有 关7若二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3，则关于 x 的方程 x2+mx=7 的解为（ ）Ax 1=0，x 2=6 Bx 1=1，x 2=7 Cx 1=1，x 2=7 Dx 1=1，x 2=78. （2016山东潍坊）关于 x 的一元二次
9、方程 x2 x+sin=0 有两个相等的实数根，则锐角 等于（ ）A15 B30 C45 D60二、填空题9. （2015丹东）若 x=1 是一元二次方程 x2+2x+a=0 的一个根，那么 a= 10.（2016山东省德州市4 分）方程 2x23x1=0 的两根为 x1，x 2，则 x12+x22= 11 （2016四 川 宜 宾 ） 已 知 一 元 二 次 方 程 x2+3x 4=0 的 两 根 为 x1、 x2， 则x12+x1x2+x22= 12（2016四川攀枝花） 设 x1、x 2是方程 5x23x2=0 的两个实数根，则 + 的值为 13把小圆形场地的半径增加 5 米得到大圆形场
10、地，此时大圆形场地的面积是小圆形场地的 4 倍，设小圆形场地的半径为 x 米，若要求出未知数 x，则应列出方程 （列出方程，不要求解方程） 。14若一元二次方程 x26x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 15（2016湖北黄石）关于 x 的一元二次方程 x2+2x2m+1=0 的两实数根之积为负，则实数 m 的取值范围是 16若方程 的两根分别为 ， ，则 的值为_210x1x2121x17 （2016四川眉山）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高据调查，2016 年 1 月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为 100 套，3 月份的住房销售量为 169 套假设
11、该公司这两个月住房销售量的增长率为 x，根据题意所列方程为 18. （2016四川眉山）设 m、n 是一元二次方程 x2+2x7=0 的两个根，则 m2+3m+n= 三、解答题(1-4 题每题 6 分,5 题 9 分，6-7 题每题 8 分,共 49 分)19解方程 04x220 （2016山东潍坊）关于 x 的方程 3x2+mx8=0 有一个根是 ，求另一个根及 m 的值21 （2016湖北荆州）已知在关于 x 的分式方程 和一元二次方程（2k）x2+3mx+（3k）n=0中，k、m、n 均为实数，方程的根为非负数（1）求 k 的取值范围；（2）当方程有两个整数根 x1、x 2，k 为整数，
12、且 k=m+2，n=1 时，求方程的整数根；（3）当方程有两个实数根 x1、x 2，满足 x1（x 1k）+x 2（x 2k）=（x 1k） （x 2k） ，且 k 为负整数时，试判断|m|2 是否成立？请说明理由22.（2016内蒙古包头）一幅长 20cm、宽 12cm 的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3：2设竖彩条的宽度为 xcm，图案中三条彩条所占面积为 ycm2（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 ，求横、竖彩条的宽度23. （2016青海西宁）青海新闻网讯：2016 年 2 月 21 日，西宁市首条绿道免费公共自
13、行车租赁系统正式启用市政府今年投资了 112 万元，建成 40 个公共自行车站点、配置720 辆公共自行车今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车预计 2018年将投资 340.5 万元，新建 120 个公共自行车站点、配置 2205 辆公共自行车（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？（2）请你求出 2016 年到 2018 年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率参考答案【知识归纳答案】1一元二次方程：两、2 、 .、 、bx、c、a、b .02aocbxa2x2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法： 、 )0(2ax)0()(2abx（2）配方法：化
14、二次项系数为 1，即方程两边同时除以二次项系数；移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，化原方程为 的形式，如果是非负数，即 ，就可以用直接开平方求出2()xmn0n方程的解.如果 n0，则原方程无解.（3）公式法： .221,24(0)bacxb（4）因式分解法：将方程的右边化为 0；将方程的左边化成两个一次因式的乘积；令每个因式都等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3. 一元二次方程根的判别式： .acb42（1）不等、 .2ba（2）两个、 .2（3）没有4 一元二次方程根与系数的关系
15、， .bac【基础检测答案】1 （ 2016枣 庄 ） 已 知 关 于 x 的 方 程 x2+3x+a=0 有 一 个 根 为 2， 则 另 一 个 根为 （ ）A 5 B 1 C 2 D 5【 分 析 】 根 据 关 于 x 的 方 程 x2+3x+a=0 有 一 个 根 为 2， 可 以 设 出 另 一 个 根 ，然 后 根 据 根 与 系 数 的 关 系 可 以 求 得 另 一 个 根 的 值 ， 本 题 得 以 解 决 【 解 答 】 解 ： 关 于 x 的 方 程 x2+3x+a=0 有 一 个 根 为 2， 设 另 一 个 根 为 m， 2+m= ，解 得 ， m= 1，故 选 B
16、【 点 评 】 本 题 考 查 根 与 系 数 的 关 系 ， 解 题 的 关 键 是 明 确 两 根 之 和 等 于 一 次 项 系 数与 二 次 项 系 数 比 值 的 相 反 数 2 （ 2016雅 安 ） 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+mx 8=0 的 一 个 实 数 根 为2， 则 另 一 实 数 根 及 m 的 值 分 别 为 （ ）A 4， 2 B 4， 2 C 4， 2 D 4， 2【 分 析 】 根 据 题 意 ， 利 用 根 与 系 数 的 关 系 式 列 出 关 系 式 ， 确 定 出 另 一 根 及 m的 值 即 可 【 解 答 】 解 ： 由
17、根 与 系 数 的 关 系 式 得 ： 2x2= 8， 2+x2= m= 2，解 得 ： x2= 4， m=2，则 另 一 实 数 根 及 m 的 值 分 别 为 4， 2，故 选 D【 点 评 】 此 题 考 查 了 根 与 系 数 的 关 系 式 ， 熟 练 掌 握 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系是 解 本 题 的 关 键 3 （ 2016威 海 ） 已 知 x1， x2 是 关 于 x 的 方 程 x2+ax 2b=0 的 两 实 数 根 ， 且x1+x2= 2， x1x2=1， 则 ba 的 值 是 （ ）A B C 4 D 1【 分 析 】 根 据 根 与 系 数
18、 的 关 系 和 已 知 x1+x2 和 x1x2 的 值 ， 可 求 a、 b 的 值 ，再 代 入 求 值 即 可 【 解 答 】 解 ： x1， x2 是 关 于 x 的 方 程 x2+ax 2b=0 的 两 实 数 根 ， x1+x2= a= 2， x1x2= 2b=1，解 得 a=2， b= ， ba=（ ） 2= 故 选 ： A【 点 评 】 此 题 主 要 考 查 了 根 与 系 数 的 关 系 ， 将 根 与 系 数 的 关 系 与 代 数 式 变 形 相 结合 解 题 是 一 种 经 常 使 用 的 解 题 方 法 4 （ 2016台 州 ） 有 x 支 球 队 参 加 篮
19、球 比 赛 ， 共 比 赛 了 45 场 ， 每 两 队 之 间 都比 赛 一 场 ， 则 下 列 方 程 中 符 合 题 意 的 是 （ ）A x（ x 1） =45 B x（ x+1） =45 C x（ x 1） =45 D x（ x+1） =45【 分 析 】 先 列 出 x 支 篮 球 队 ， 每 两 队 之 间 都 比 赛 一 场 ， 共 可 以 比 赛x（ x 1） 场 ， 再 根 据 题 意 列 出 方 程 为 x（ x 1） =45【 解 答 】 解 ： 有 x 支 球 队 参 加 篮 球 比 赛 ， 每 两 队 之 间 都 比 赛 一 场 ， 共 比 赛 场 数 为 x（ x
20、 1） ， 共 比 赛 了 45 场 ， x（ x 1） =45，故 选 A【 点 评 】 此 题 是 由 实 际 问 题 抽 象 出 一 元 二 次 方 程 ， 主 要 考 查 了 从 实 际 问 题 中 抽 象出 相 等 关 系 5 （ 2016随 州 ） 随 州 市 尚 市 “桃 花 节 ”观 赏 人 数 逐 年 增 加 ， 据 有 关 部 门 统 计 ，2014 年 约 为 20 万 人 次 ， 2016 年 约 为 28.8 万 人 次 ， 设 观 赏 人 数 年 均 增 长 率 为x， 则 下 列 方 程 中 正 确 的 是 （ ）A 20（ 1+2x） =28.8 B 28.8（
21、 1+x） 2=20C 20（ 1+x） 2=28.8 D 20+20（ 1+x） +20（ 1+x） 2=28.8【 分 析 】 设 这 两 年 观 赏 人 数 年 均 增 长 率 为 x， 根 据 “2014 年 约 为 20 万 人 次 ，2016 年 约 为 28.8 万 人 次 ”， 可 得 出 方 程 【 解 答 】 解 ： 设 观 赏 人 数 年 均 增 长 率 为 x， 那 么 依 题 意 得 20（ 1+x） 2=28.8，故 选 C【 点 评 】 主 要 考 查 增 长 率 问 题 ， 一 般 用 增 长 后 的 量 =增 长 前 的 量 （ 1+增 长 率 ）， 一 般
22、形 式 为 a（ 1+x） 2=b， a 为 起 始 时 间 的 有 关 数 量 ， b 为 终 止 时 间 的 有 关数 量 6 （ 2016衡 阳 ） 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+4x+k=0 有 两 个 相 等 的 实 根 ， 则k 的 值 为 （ ）A k= 4 B k=4 C k 4 D k 4【 分 析 】 根 据 判 别 式 的 意 义 得 到 =42 4k=0， 然 后 解 一 次 方 程 即 可 【 解 答 】 解 ： 一 元 二 次 方 程 x2+4x+k=0 有 两 个 相 等 的 实 根 ， =42 4k=0，解 得 ： k=4，故 选 ： B【 点
23、评 】 本 题 考 查 了 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c=0（ a 0） 的 根 的 判 别 式 =b2 4ac： 当 0， 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ； 当 =0， 方 程 有 两 个 相 等的 实 数 根 ； 当 0， 方 程 没 有 实 数 根 7. （2016辽宁丹东3 分）某公司今年 4 月份营业额为 60 万元，6 月份营业额达到 100万元，设该公司 5、6 两个月营业额的月均增长率为 x，则可列方程为 60（1+x）2=100 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设平均每月的增长率为 x，根据 4 月份的营业额为 60 万元，6 月份的
24、营业额为100 万元，分别表示出 5，6 月的营业额，即可列出方程【解答】解：设平均每月的增长率为 x，根据题意可得：60（1+x） 2=100故答案为：60（1+x） 2=1008 （2016四川南充） 已知关于 x 的一元二次方程 x26x+（2m+1）=0 有实数根（1）求 m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为 x1，x 2，且 2x1x2+x1+x220，求 m 的取值范围【分析】 （1）根据判别式的意义得到=（6） 24（2m+1）0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到 x1+x2=6，x 1x2=2m+1，再利用 2x1x2+x1+x220 得到2（2m+1）+
25、620，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的 m 的取值范围【解答】解：（1）根据题意得=（6） 24（2m+1）0，解得 m4；（2）根据题意得 x1+x2=6，x 1x2=2m+1，而 2x1x2+x1+x220，所以 2（2m+1）+620，解得 m3，而 m4，所以 m 的范围为 3m4【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x 1+x2=，x 1x2=也考查了根与系数的关系9 （2016四川内江） 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为 30 米的篱笆围成已知墙长为 18
26、米(如图 14 所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米(1)若苗圃园的面积为 72 平方米，求 x；(2)若平行于墙的一边长不小于 8 米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于 100 平方米时，直接写出 x 的取值范围【考点】应用题，一元二次方程，二次函数。解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(302 x)米依题意可列方程x(302 x)72，即 x215 x360解得 x13， x212(2)依题意，得 8302 x18解得 6 x11面积 S x(302 x)2( x )2 (6 x11)15当 x 时
27、， S 有最大值， S 最大 ；15当 x11 时， S 有最小值， S 最小 11(3022)88(3)令 x(302 x)100，得 x215 x500解得 x15， x210 x 的取值范围是 5 x10【达标检测答案】一、选择题1方程 的解是 （ ）23xA B C D 或0x3x0【答案】D【解析】试题分析：先移项，得 x23x0，再提公因式，得 x（x3）0，从而得 x0 或 x3.故选 D.2 （2016内蒙古包头3 分）若关于 x 的方程 x2+（m+1）x+ =0 的一个实数根的倒数恰是它本身，则 m 的值是（ ）A B C 或 D1【考点】一元二次方程的解【分析】由根与系数
28、的关系可得：x 1+x2=（m+1） ，x 1x2= ，又知个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为 1 或1，然后把1 分别代入两根之和的形式中就可以求出 m 的值【解答】解：由根与系数的关系可得：x1+x2=（m+1） ，x 1x2= ，又知个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为 1 或1，若是 1 时，即 1+x2=（m+1） ，而 x2= ，解得 m= ；若是1 时，则 m= 故选：C3 （2016四 川 泸 州 ） 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+2（ k 1） x+k2 1=0 有 实数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 （ ）A k 1 B k 1 C k 1
29、D k 1【 考 点 】 根 的 判 别 式 【 分 析 】 直 接 利 用 根 的 判 别 式 进 而 分 析 得 出 k 的 取 值 范 围 【 解 答 】 解 ： 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+2（ k 1） x+k2 1=0 有 实 数 根 ， =b2 4ac=4（ k 1） 2 4（ k2 1） = 8k+8 0，解 得 ： k 1故 选 ： D4.（2016湖北荆门3 分）已知 3 是关于 x 的方程 x2（m+1）x+2m=0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长为（ ）A7 B10 C11 D10 或 11【考
30、点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质【分析】把 x=3 代入已知方程求得 m 的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可【解答】解：把 x=3 代入方程得 93（m+1）+2m=0，解得 m=6，则原方程为 x27x+12=0，解得 x1=3，x 2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC 的两条边长，当ABC 的腰为 4，底边为 3 时，则ABC 的周长为 4+4+3=11；当ABC 的腰为 3，底边为 4 时，则ABC 的周长为 3+3+4=10综上所述，该ABC 的周长为
31、10 或 11故选：D5若关于 x 的一元二次方程 有实数根，则 a 的取值范围是（ ）2450xaA B C D1a1a【答案】A【解析】试题分析：关于 x 的一元二次方程 有实数根，=2450xa， 故选 A2(4)(5)0a16 （ 2016广 州 ） 定 义 运 算 ： ab=a（ 1 b） 若 a， b 是 方 程x2 x+ m=0（ m 0） 的 两 根 ， 则 bb aa 的 值 为 （ ）A 0 B 1 C 2 D 与 m 有 关【 分 析 】 由 根 与 系 数 的 关 系 可 找 出 a+b=1， ab= m， 根 据 新 运 算 ， 找 出bb aa=b（ 1 b） a（
32、 1 a） ， 将 其 中 的 1 替 换 成 a+b， 即 可 得 出 结 论 【 解 答 】 解 ： a， b 是 方 程 x2 x+ m=0（ m 0） 的 两 根 ， a+b=1， ab= m bb aa=b（ 1 b） a（ 1 a） =b（ a+b b） a（ a+b a） =ab ab=0故 选 A【 点 评 】 本 题 考 查 了 根 与 系 数 的 关 系 ， 解 题 的 关 键 是 找 出a+b=1， ab= m 本 题 属 于 基 础 题 ， 难 度 不 大 ， 解 决 该 题 型 题 目 时 ， 根 据 根 与 系 数的 关 系 得 出 两 根 之 积 与 两 根 之
33、和 是 关 键 7 （2016湖北荆门3 分）若二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3，则关于 x 的方程x2+mx=7 的解为（ ）Ax 1=0，x 2=6 Bx 1=1，x 2=7 Cx 1=1，x 2=7 Dx 1=1，x 2=7【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-因式分解法【分析】先根据二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3 求出 m 的值，再把 m 的值代入方程x2+mx=7，求出 x 的值即可【解答】解：二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3， =3，解得 m=6，关于 x 的方程 x2+mx=7 可化为 x26x7=0，即（x+1） （x7）=0，解得 x1
34、=1，x 2=7故选 D8. （2016山东潍坊3 分）关于 x 的一元二次方程 x2 x+sin=0 有两个相等的实数根，则锐角 等于（ ）A15 B30 C45 D60【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出 sin= ，再由 为锐角，即可得出结论【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2 x+sin=0 有两个相等的实数根，= 4sin=24sin=0，解得：sin= ， 为锐角，=30故选 B二、填空题9. （2015丹东，第 15 题 3 分）若 x=1 是一元二次方程 x2+2x+a=0 的一个根，那么 a= 【解析】： 根据方程
35、的根的定义将 x=1 代入方程得到关于 a 的方程，然后解得 a 的值即可【解答】解：将 x=1 代入得：1+2+a=0，解得：a=3故答案为：3【点评】 本题主要考查的是方程的解（根）的定义和一元一次方程的解法，将方程的解代入方程是解题的关键10. （2016山东省德州市4 分）方程 2x23x1=0 的两根为 x1，x 2，则 x12+x22= 【考点】根与系数的关系【分析】根据根与系数的关系得出“x 1+x2= ，x 1x2= ”，再利用完全平方公式将bacx12+x22转化成 2x 1x2，代入数据即可得出结论 【解答】解：方程 2x23x1=0 的两根为 x1，x 2，x 1+x2=
36、 ，x 1x2= ，3x 12+x22= 2x 1x2= 2（ ）= 12故答案为： 【点评】本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，解题的关键是求出x1+x2= ，x 1x2= bac11 （2016四 川 宜 宾 ） 已 知 一 元 二 次 方 程 x2+3x 4=0 的 两 根 为 x1、 x2， 则x12+x1x2+x22= 【 考 点 】 根 与 系 数 的 关 系 【 分 析 】 根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 到 x1+x2= 3， x1x2= 4， 再 利 用 完 全 平 方 公 式变 形 得 到 x12+x1x2+x22=（ x1+x2） 2 x1x2， 然 后 利
37、 用 整 体 代 入 的 方 法 计 算 【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 得 x1+x2= 3， x1x2= 4，所 以 x12+x1x2+x22=（ x1+x2） 2 x1x2=（ 3） 2 （ 4） =13故 答 案 为 1312（2016四川攀枝花） 设 x1、x 2是方程 5x23x2=0 的两个实数根，则 + 的值为 【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x2、x 1x2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可【解答】解：方程 x1、x 2是方程 5x23x2=0 的两个实数根，x 1+x2= ，x 1x2= ， + = = = 故答案为： 【点评】本题考查了一元二次方
38、程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 13把小圆形场地的半径增加 5 米得到大圆形场地，此时大圆形场地的面积是小圆形场地的 4 倍，设小圆形场地的半径为 x 米，若要求出未知数 x，则应列出方程 （列出方程，不要求解方程） 。【答案】（x+5） 2=4x 2。【解析】试题分析：根据等量关系“大圆的面积=4小圆的面积”可以列出方程。设小圆的半径为 x 米，则大圆的半径为（x+5）米，根据题意得：（x+5） 2=4x 2，故答案为：（x+5） 2=4x 214若一元二次方程 x26x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的
39、值为 【答案】9【解析】试题分析：关于 x 的一元二次方程 x26x+m=0 有两个相等的实数根，=b 24ac=364m=0，解得：m=9.15（2016湖北黄石3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x2m+1=0 的两实数根之积为负，则实数 m 的取值范围是 【分析】设 x1、x 2为方程 x2+2x2m+1=0 的两个实数根由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于 m 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论【解答】解：设 x1、x 2为方程 x2+2x2m+1=0 的两个实数根，由已知得： ，即解得：m 故答案为：m 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等
40、式，解题的关键是得出关于 m 的一元一次不等式组16若方程 的两根分别为 ， ，则 的值为_210x1x2121x【答案】3【解析】根据题意得 ， ，所以 =2（1）=3故答案12x12x121x为 3：17 （2016四川眉山3 分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高据调查，2016 年 1 月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为 100 套，3 月份的住房销售量为 169 套假设该公司这两个月住房销售量的增长率为 x，根据题意所列方程为 【分析】根据年 1 月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为 100 套，3 月份的住房销售量为169 套设该公司这两个月住房销售量的增长
41、率为 x，可以列出相应的方程【解答】解：由题意可得，100（1+x） 2=169，故答案为：100（1+x） 2=169【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出形应的方程18. （2016四川眉山3 分）设 m、n 是一元二次方程 x2+2x7=0 的两个根，则m2+3m+n= 【分析】根据根与系数的关系可知 m+n=2，又知 m 是方程的根，所以可得 m2+2m7=0，最后可将 m2+3m+n 变成 m2+2m+m+n，最终可得答案【解答】解：设 m、n 是一元二次方程 x2+2x7=0 的两个根，m+n=2，m 是原方程的根，m 2+2m7=0，即 m2+2
42、m=7，m 2+3m+n=m2+2m+m+n=72=5，故答案为：5【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把 m2+3m+n 转化为 m2+2m+m+n 的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答三、解答题19解方程 046x2【答案】 31,312【解析】试题分析：利用配方法即可得解.试题解析： ， ， ，046x246x2 946x213-x2x-3= ，所以 ，故答案为1331,312,2120 （2016山东潍坊）关于 x 的方程 3x2+mx8=0 有一个根是 ，求另一个根及 m 的值【考点】根与系数的关系【分析】由于 x= 是方程的一个根，直接把它代入方程即
43、可求出 m 的值，然后由根与系数的关系来求方程的另一根 【解答】解：设方程的另一根为 t依题意得：3（ ） 2+ m8=0，解得 m=10又 t= ，所以 t=4综上所述，另一个根是4，m 的值为 1021 （2016湖北荆州）已知在关于 x 的分式方程 和一元二次方程（2k）x2+3mx+（3k）n=0中，k、m、n 均为实数，方程的根为非负数（1）求 k 的取值范围；（2）当方程有两个整数根 x1、x 2，k 为整数，且 k=m+2，n=1 时，求方程的整数根；（3）当方程有两个实数根 x1、x 2，满足 x1（x 1k）+x 2（x 2k）=（x 1k） （x 2k） ，且 k 为负整数
44、时，试判断|m|2 是否成立？请说明理由 【分析】 （1）先解出分式方程的解，根据分式的意义和方程的根为非负数得出 k 的取值；（2）先把 k=m+2，n=1 代入方程化简，由方程有两个整数实根得是完全平方数，列等式得出关于 m 的等式，由根与系数的关系和两个整数根 x1、x 2得出 m=1 和1，分别代入方程后解出即可（3）根据（1）中 k 的取值和 k 为负整数得出 k=1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出 m 的值，做出判断【解答】解：（1）关于 x 的分式方程 的根为非负数，x0 且 x1，又x= 0，且 1，解得 k1 且 k1，又一元二次方程（2k）x 2+3mx+（
45、3k）n=0 中 2k0，k2，综上可得：k1 且 k1 且 k2；（2）一元二次方程（2k）x 2+3mx+（3k）n=0 有两个整数根 x1、x 2，且 k=m+2，n=1时，把 k=m+2，n=1 代入原方程得：mx 2+3mx+（1m）=0，即：mx 23mx+m1=0，0，即=（3m） 24m（m1） ，且 m0，=9m 24m（m1）=m（5m+4） ，x 1、x 2是整数，k、m 都是整数，x 1+x2=3，x 1x2= =1 ，1 为整数，m=1 或1，把 m=1 代入方程 mx23mx+m1=0 得：x 23x+11=0，x23x=0，x（x3）=0，x1=0，x 2=3；把 m=1 代入方程 mx23mx+m1=0 得：x 2+3x2=0，x23x+2=0，（x1） （x2）=0，x1=1，x 2=2；（3）|m|2 不成立，理由是：由（1）知：k1 且 k1 且 k2，k 是负整数，k=1，（2k）x 2+3mx+（3k）n=0 且方程有两个实数根 x1、x 2，x 1+x2= = =m，x 1x2= = ，x1（x 1k）+x 2（x 2k）=（x 1k） （x 2k） ，x12x 1k+x22x 2
