1、2.2.1 伯努利方程的推导,2.2 伯努利方程及其应用,2.2.2 伯努利方程的应用(重点),质量流量守恒：流体作定常流动时，流管中各横截面的质量流量相等。体积流量守恒：理想流体作定常流动时，流管中各横截面的体积流量相等。截面大处流速小，截面小处流速大。,连续性方程(复习),连续性方程： 原理：质量守恒定律 条件：理想流体、定常流动 描述：流速v和横截面积S之间的关系 结论：Q = Sv = 常量伯努利方程：原理：能量守恒定律 条件：理想流体、定常流动 描述：流速v，高度h和压强p之间的关系 结论：？,在短时间t(t0)内，流体XY移至XY,X,F1,1,h1,S1,Y,S2,2,F2,h2
2、,X,Y,1t,2t,p1,p2,*以流管中XY段的理想流体为研究对象,根据功能原理推导伯努利方程,外力的总功=机械能增量,2.2.1 伯努利方程的推导,在短时间t(t0)内，流体XY移至XY,A = p1S1 1t - p2S22t,X,F1,1,h1,S1,Y,S2,2,F2,h2,X,Y,1t,2t,外力的总功：,p1,p2,动能的增量：,势能的增量：,S11t = S2 2t =V,m1 = m2 = m,*以流管中XY段的理想流体为研究对象,=p1 V -p2 V,根据功能原理:,X、Y两截面在流管中的位置选取上是任意的,对任意截面有,单位体积流体的动能,单位体积流体的重力势能,静压
3、强,单位体积流体的压强能, 动压强,疑问2：p为何称为单位体积的压强能？,疑问1：p为压强，另外两项为能量，量纲不一致？,的单位：,静压强, 动压强,的单位：,V等于一个单位体积(如1m3)时，,的单位：,伯努利方程的结论,前提：理想流体做定常流动（同一流管内） 结论：在作定常流动的理想流体中，同一流管的不同截面处，每单位体积流体的动能、势能、压强能之和为一常量。 即：,压强、流速和高度的关系,【例题1】设有流量为 0.12 m3/s 的水流过如图所示的管子。A 点的压强为 2105 Pa ，A 点的截面积为 100 cm2 ， B 点的截面积为 60 cm2 。假设水的粘性可以忽略不计，求
4、A、B 两点的流速和 B 点的压强。,由连续性方程,得,解：,水可看作不可压缩的流体,由伯努利方程得,1压强和流速的关系及举例（水平管）2压强和高度的关系及举例（均匀管）3伯努利方程的解题思路,2.2.2 伯努利方程的应用,1.压强和流速的关系,条件：水平管,结论：流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。,压强和流速的关系应用举例,空吸现象 汾丘里流量计 皮托管,水流抽气机,2,1,喷雾器,空吸现象,S1S2 v1p2,p2p0 空吸现象,汾丘里流量计,S1,S2,h,流体的流量：,p2,p1,1,气体流量计,气体的流量：,直管下端A处流速不变，弯管下端B处流体受阻，形成速度为零的“滞止区”.
5、,开口A与v相切,开口B逆着液体流向,所以，液体的流速,（h为两管中液面高度差）,皮托管,vA=v， vB=0,孔、孔处的压强差为：,所以流速为：,A孔正对着气体流动方向，形成滞止区，M孔截面与v平行。,测量气体流速的皮托管,2.压强和高度的关系,条件：粗细均匀管,即：流体在粗细均匀的管中流动时，高处的压强小，低处的压强大。利用这一原理可解释体位对血压测量的影响。,体位对血压的影响,通过计算可知，身体各部位距心脏水平高度每升高1.3cm，则升高部位的血压将降低0.13kPa(1mmHg)。临床全麻手术过程中，为了使手术区域局部的脉压降低，减少出血，将尽量使手术部位高于心脏。,测血压时，为避免体
6、位对血压的影响，一般选定心脏为零势能参考点，人取坐位测定肱动脉处的动脉血压。如果将手臂抬高，测得的血压就偏低；如果低于心脏，测得的血压就偏高。,3.利用伯努利方程解题,1、常与连续性方程联合使用 2、选择待求点和最简单点(已知量最多) 列方程 3、选择方便解题的零势能参考面 4、不熟悉特殊形式，可列出完整形式,【例题2】水从一个大容器里放出。确定出口处的流速,由于12，故有12，可视1。又因为p1=p2=p0，有,液体从小孔处流出的速度为,【例题3】已知h1和h2，问(1)截面均匀的下端D被塞住时，A、B、C处的压强各为多少？（2）D端开启时，A、B、C处的压强各为多少？这时水流出D处的速率为多少？,h2,h1,B,A,D,C,(1)D被塞住，为静态,h2,h1,B,A,D,C,A:,B:,C:,D:,选择A、D两点：,h2,h1,B,A,D,C,选择B、C、D粗细均匀管，压强只与高度有关可以去掉一个未知量v,选择B、D两点：,选择C、D两点：,水平管,粗细均匀管,作业：2-4、2-6,伯努利方程的应用,总结,伯努利方程,空吸现象,流量计,皮托管,体位对血压的影响,
