1、1,5.8 多缝夫琅禾费衍射,所谓多缝是指在一块不透光的屏上，刻有 N 条等间距、等宽度的通光狭缝。夫琅禾费多缝衍射的装置如图所示。其每条狭缝均平行于 y1 方向，沿 x1 方向的缝宽为 a，相邻狭缝的间距为 d，不透光缝宽度 b,其关系如下：d = a+b （也叫光栅常数）。光栅常数与光栅单位长度的刻痕数 N 的关系：d = 1 / N。,2,夫琅禾费单缝和多缝衍射的区别：,3,所以，利用平行光照射多缝时，其每一个单缝都要产生自己的衍射，形成各自的一套衍射条纹。当每个单缝等宽时，各套衍射条纹在透镜焦平面上完全重叠，其总光强分布为它们的干涉叠加。,假设图中是线光源，则 N 个狭经受到平面光波的
2、垂直照射。如果选取最下面的狭缝中心作为 x1 的坐标原点，并只计 x 方向的衍射。,4,多缝衍射的光强分布,按照(22)式，观察屏上 P 点的光场复振幅为：,5,式中,它表示在 x1 方向上相邻的两个间距为 d 的平行等宽狭缝，在 P 点产生光场的相位差。相应于 P 点的光强度为：,式中，I0是单缝衍射情况下 P0 点的光强。,由上述讨论可以看出，平行光照射多缝时，其每个狭缝都特在 P 点产生衍射场，由于这些光场均来自同一光源，彼此相干，将产生干涉效应，使观察屏上的光强度重新分布。因此，多缝衍射现象包含有衍射和干涉双重效应。,多缝干涉因子,单缝衍射因子,6,由(56)式可见，N 个狭缝的衍射光
3、强关系式中包含有两个因子：一个是单缝衍射因子(sin/)2,另外一个因子是sin(N/2)/sin(/2)2，根据以上公式的推导过程可以看出，它是 N 个等振幅，等相位差的光束干涉因子。因此，多缝衍射图样具有等振幅，等相位差多光束干涉和单缝衍射的特征。,为简单，以双缝衍射情况予以说明。此时，N2，P 点的光强为：,等振幅双光束干涉因子,7,(a)是等振幅双光束干涉强度分布 cos2(/2) 曲线； (b)是单缝衍射强度分布 (sin/)2 曲线； (c)是双缝衍射强度分布曲线。,根据上个式子，绘出了如右图所示的d3a 情况下的双缝衍射强度分布曲线，其中:,由该图可见，双缝衍射强度分布是等振幅双
4、光束干涉和单缝衍射的共同作用结果，实际上也可看作是等振幅双光束干涉受到单缝衍射的调制。,8,n= -2 -1 0 1 2 3,9,如果只有衍射：,如果只有干涉：,干涉、衍射均有之：,衍射条纹的形成,N=5; d=3a,10,N=4 , d=3 a,-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6,m=-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6,n=-2 -1 0 1 2,-2 -1 0 1 2,/2,11,I,1,2,4,5,-1,-2,-4,-5,N=3,I,N=5,1,2,4,5,-1,-2,-4,-5,N=2,N不同的光栅光强,d=3a,12,N=2,双
5、缝衍射,d=3a,d=4a,d=5a,13,综上所述，多缝衍射是干涉和衍射的共同效应，它可看作是等振幅、等相位差多光束干涉受到单缝衍射的调制。需要指出的是，单缝衍射因子只与单缝本身的性质有关，而多光束干涉因子则因源于狭缝的周期性排列，与单缝本身的性质无关。因此，如果有 N 个性质相同，但形状与上述狭缝有异的孔径周期排列。则在其衍射强度分布公式中，仍将有上述的多光束干涉因子。此时，只要把单个衍射孔径的衍射因子求出来，乘以多光束干涉因子，即是这种周期性孔径衍射的光强度分布。,为了清楚起见，下图给出了夫琅禾费单缝和五种多缝 的衍射图样照片（N 分别等于1、2、3、5、6、20）。,14,多缝衍射图样
6、特性,(i)多缝衍射的强度极值,多缝衍射主极大 由多光束干涉因子可以看出，当,或,时，多光束干涉因子为极大值，称此时的多缝衍射为主极大。,多缝衍射图样特性可以由多光束干涉和单缝衍射特性确定。,由于多缝衍射主极大强度为:,它们是单缝衍射在各级主极大位置上所产生强度的N 2 倍，其中，零级主极大的强度最大，等于 N 2I0。,15,主极大明条纹位置由缝间干涉决定。,16,当 N / 2 等于 的整数倍，而 / 2 不是 的整数倍，即,或,时，多缝衍射强度最小，为零。比较(58)式和(60)式可见，在两个主极大之间，有(N1)个极小。,多缝衍射极小,假设 N=2，那么 m=1, 因此 = ，3，5，
7、,由(60)式，相邻两个极小(零值)之间(m1)的角距离 为:,17,I,N=5,1,2,4,5,-1,-2,-4,-5,N=2,N不同的光栅光强,d=3a,18,多缝衍射次极大,由多光束干涉因子可见，在相邻两个极小值之间，除了是主极大外，还可能是强度极弱的次极大。在两个主极大之间，有(N2)个次极大，次极大的位置近似由,即最靠近零级主极大的次极大强度，只有零级主极大的 4.5。此外，次极大的宽度随着N 的增大而减小。当 N 很大时，它们将与强度零点混成一片，成为衍射图样的背景。,在 N / 2 3 / 2 时，衍射强度为:,决定.,19,I,N=5,1,2,4,5,-1,-2,-4,-5,N
8、=2,N不同的光栅光强,d=3a,20,(ii)多缝衍射主极大角宽度,该式表明，狭缝数 N 愈大，主极大的角宽度愈小。,多缝衍射主极大与相邻极小值之间的角距离是，主极大的条纹角宽度为:,21,由于多缝衍射是干涉和衍射的共同效应，所以存在缺级现象。对于某一级干涉主极大的位置，如果恰有sin /0，即相应的衍射角 同时满足,(iii)缺级,或,则该级主极大将消失，多缝衍射强度变为零，成为缺级。,单缝衍射的暗条纹,多缝干涉的亮条纹,22,故,23,()多缝衍射图样特性,从以上讨论可以看出，在多缝衍射中，随着狭缝数目的增加，衍射图样有两个显著的变化： 一是光的能量向主极大的位置集中(为单缝衍射的 N2
9、 倍)； 二是亮条纹变得更加细而亮(约为双光束干涉线宽的 1 / N)。 对于一个 N104 的多缝来说，这将使主极大光强增大108 倍，条纹宽度缩为万分之一。,24,例1：用波长为500nm的单色光垂直照射到每毫米有500条刻痕的光栅上，求： 1)第一级和第三级明纹的衍射角； 2)若缝宽与缝间距相等，由用此光栅最能看到几条明纹。,由光栅方程,可知：第一级明纹m=1,第三级明纹m=3,解：1)光栅常量,25,2)理论上能看到的最高级谱线的极限，对应衍射角=/2，,第2、4级明纹不出现，从而实际只能看到5条明纹。,即最多能看到第4级明条纹,考虑缺级条件,d/a=(a+a)/a=2,26,例题2 波长为6000的单色光垂直入射在一光栅上，第二级明纹出现在sin2=0.2处，第4级为第一个缺级。求(1)光栅上相邻两缝的距离是多少？ (2)狭缝可能的最小宽度是多少？(3)按上述选定的a值，实际上能观察到的全部明纹数是多少？,解: （1）,（2）,27,在-900 900范围内可观察到的明纹级数为 m=0,1, 2, 3, 5, 6, 7, 9,共15条明纹,（3）由光栅方程，理论上能看到的最高级谱线的极限，对应衍射角=/2,
