1、- 1 -高二期末复习数列知识点复习小结一、数列定义：数列是按照_排列的一列数，是定义在正整数集 （或它的有限子集*N）上的函数 ，当自变量从 1 开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列,32,1n )(nf函数值为 ； 通常用 代替 ，于是数列的一般形式常记为_),2(fna)(f或简记为_，其中 表示数列 的_。n注意：（1） 与 是不同的概念， 表示_，而 表示的是_；nanna（2 ） 和 之间的关系：nS)2(_1an二、等差数列、等比数列的性质：名称 等差数列 等比数列定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的_等于同一个常数，这个数列就叫等差数列如果一个数列从_ 起，
2、每一项与它的前一项的_等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列递推公式 )2,(*1nNdan qan1)2,(*nN通项公式 _ _求和公式 _nS=_ _nS等差（比）中项任意两个数 有且只有一个等差中项，ba,即为 A=_；两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。两个数 的等比中项为 G（满足ba,_， ）2G0a三个数设法若三个成等差数列，可设它们为_,_,_若三个成等比数列，可设它们为_,_,_mnn aa_21中 mnnaa_212中等差（比）数列的性质 若 ，qpm则 =_；na若 ，qpn- 2 -则 =_；nma在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数
3、列仍然是等差数列在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列等差数列 中，它的前 n 项和na232nSS， ， 仍为等差数列，公差为 d等比数列 中，它的前 n 项和na232nSS， ， 仍为等比数列,公比为 .nq若数列 与 均为等差数列，则nab仍为等差数列，公差为 km_ ；若数列 与 均为等差数列，则nab仍为等比数列，公比为 m；仍为等比数列，公比为 _ nba；常用技巧：（1）若 nab， 是等差数列，且前 n项和分别为 nST， ，则 21maSb（2 ）在等差数列中 的最值可 求二次函数 2na的最值；或者求出 na中的nS正、负分界项
4、，即：当 10ad， ，解不等式组 10n可得 nS达到最大值时的 n值. 当 10ad， ，由 10na可得 nS达到最小值时的 n值. (3)项数为偶数 的等差数列 n， 有 ， ,2 dS奇偶 1naS偶奇（4）项数为奇数 的等差数列 na， 有 ，1n )()12(1为 中 间 项nn， .naS偶奇 S偶奇三、判定方法：（1 ）等差数列的判定方法：定义法：_ 是等差数列na- 3 -中项公式法：_ 是等差数列na通项公式法：_ 是等差数列前 项和公式法：_ 是等差数列n n（2 ）等比数列的判定方法：定义法：_ 是等比数列na中项公式法：_ 是等比数列通项公式法：_ 是等比数列n前
5、项和公式法：_ 是等差数列n a四、数列的通项求法：（1 ）观察法：（2）已知 nS求 a： ，例如)2(_1nn已知 ，求 =_；已知 中， ，求1532nn nannaS23=_a已知 中， ，求 =_n )2(1,1nSanna（3 ）公式法：递推式为 及 （ 为常数）直接运用等差（比）数dnnnq1d,列通项公式（4 ）累加法：递推式为 )(1fan由 10()naf， ，求 ，用累加法如：数列 中， 1132naa， ，求 na=_（5 ）累乘法：递推式为 f)(如：已知 中 ， ，求 =_n21nn1（6 ）待定系数法：递推式为 （ 为常数）：qpa,设 ，得到 ， ，则 为等比数
6、列。)()(1taptnnt1t 1pqan- 4 -如：已知 ，求 =_52,1nnaan（7 ）转化法：递推式为 （ 为常数）： 两边同时除去 得qp1, 1nq，令 ，转化为 ，再用（6）法解决。qpqnn1 nbqbpnn11如：已知 中， ， ，求 =_na6511)2(3nnana（8）倒数法；如： n， ，求 =_五、数列的求和法：（1 ）公式法：等差（比）数列前 项和公式 _；n n321 ； 6)2(1322 23)1(（2 ）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 如：已知 2()xf，则 1()(3)(4)2fffff _ （3 ）并项法：如：求 =_
7、094310 S（4 ）分组求和法：如：在数列 中， ，求 =_na12nnnS（5 ）错位相减法：若 n为等差数列， b为等比数列，求数列 nab（差比数列）前 n项和，可由 Sq，求 nS，其中 q为 n的公比. 如：求和： =_xx32（6 ）裂项相消法：裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 n 项和。如通项公式为 ； ；)1(na na1如： ；)(432S ；)2(11n若 ，则 ；1nanS六、数列问题的解题应注意要点：- 5 -在等比数列中，用前 n 项和公式时，要对公比 q 进行讨论；只有 q1 时才能用前 项和n公式，q=1 时 1aS已知 求 时，要对 进行讨论；最后看 满足不满足 ，若满足n 2,1a)2(an中的 扩展到 ，不满足分段写成a*Nna
