1、第二章,4,理解教材新知,把握 热点考向,应用创新演练,考点一,考点二,考点三,第一课时,已知直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面1，2的法向量分别为n1，n2.问题1：若直线l1l2，直线l1垂直于平面1，则它们的方向向量和法向量有什么关系？提示：u1u2n1.问题2：若l1l2，l12呢？ 提示：u1u2，u1n2. 问题3：若12，则n1，n2有什么关系？ 提示：n1n2.,1空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面1、2的法向量分别为n1、n2，则,akb，(kR),an1,an10,n1n2,n1kn2(kR),ab0,an1,akn1，(kR
2、),n1n20,2三垂线定理若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的 ，则这两条直线垂直3面面垂直的判定定理若一个平面经过另一个平面的 ，则这两个平面垂直,投影,一条垂线,一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关系这是向量法证明垂直、平行关系的关键,第一课时 空间向量与平行关系,例1 (1)设a，b分别是两条不同直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系：a(2,3，1)，b(6，9,3)；a(5,0,2)，b(0,4,0)；a(2,1,4)，b(6,3,3)(2)设
3、n1，n2分别是两个不同平面1，2的法向量，根据下列条件判断1，2的位置关系：,(3)设n是平面的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断和l的位置关系：n(2,2，1)，a(3,4,2)；n(0,2，3)，a(0，8,12)；n(4,1,5)，a(2，1,0)思路点拨 本题可由直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，转化为线线、线面及面面之间的关系,一点通 用向量法来判定线面位置关系时，只需判断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可线线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与法向量间关系相同，线面间的位置关系与向量间位置关系不同，只是平行与垂直的互换,1设直线l的方向向量为a，
4、平面的法向量为b，若ab0， 则 ( ) Al Bl Cl Dl 或l 解析：当ab0时，l或l. 答案：D,2已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面1、2的 法向量分别为n1，n2，若an1(1，2，2)，bn2(2，3,2)，试判断l1与l2，1与2，l1与2间的位置关系 解：abn1n2an2 1(2)(2)(3)(2)20， ab，n1n2，an2， l1l2，12，l12或l12.,例2 如图，在三棱锥PABC中， ABBC，ABBC，点O、D分别是AC、 PC的中点，且OAOP，OP平面ABC. 求证：OD平面PAB.,一点通 用向量法证明线面平行时，可证明直线的方向向量与
5、平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面但必须说明直线在平面外,4在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA1 2.点M在棱BB1上，且BM2MB1，点S在DD1上，且SD12SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点.求证：MN平面RSD.,5在正方体ABCDA1B1C1D1中，O1为B1D1的中点，求 证：BO1平面ACD1.,例3 (12分)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别是棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点，求证：平面AMN平面EFBD.思路点拨 本题可通过
6、建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行也可以先求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行,一点通 用向量法证明两面互相平行，可由两平面平行的判定定理证明一面内的两条相交直线的方向向量与另一面平行；也可分别求出两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行,6.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点求证：平面EGF平面ABD.,证明：如图所示，由条件知BA、BC、 BB1两两互相垂直，以B为坐标原点， BA、BC、BB1所在直线分别为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系,7已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是 BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1平面ADE； (2)平面ADE平面B1C1F.,1平面的法向量确定通常有两种方法：(1)利用几何体中已知的线面垂直关系；(2)用待定系数法，设出法向量，根据它和内不共线两向量的垂直关系建立方程组进行求解由于一个平面的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量2用空间向量处理平行问题的常用方法：(1)线线平行转化为直线的方向向量平行(2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直(3)面面平行转化为平面法向量的平行,
