1、,1.1.2 曲线上一点处的切线,导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.,有关导数的数学史,微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作.但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执.其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地
2、发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异.牛顿在1687年以前没有公开发表，莱布尼兹在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学. 所以，就发明时间而言，牛顿早于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论.而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主流,平均变化率近似的刻画了曲线在某个区间上的变化趋势,如何精确地刻画曲线上一点处的变化趋势 ？,曲面,平 面,直 线,曲 线,直线l的斜率,1）观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的
3、现象？ （2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了 这种思维方式就叫做“逼近思想”。,曲线有点像直线,直线,从上面的学习过程来看： 1）曲线在点P附近看上去几乎成了直线 2）继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线L，这条直线是过点P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线 3）点P附近可以用这条直线代替曲线 这样，我们就可以用直线的斜率来刻画曲线经过P点时的变化趋势放大放大放大放大,P,Q,o,x,y,y=f(x),割线,切线,l,如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线.,y,O,x,P,Q,P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？,切线定义,随着
4、点Q沿曲线C向点P运动，直线PQ在点P附近逼近曲线C，,当点Q 无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，,这条直线l也称为曲线在点P处的切线,这种方法叫割线逼近切线.,试求f (x)=x2在点(2,4)处的切线斜率,Q,x,数学运用,试求f (x)=x2在点(2,4)处的切线斜率,练习：试求f (x)=x2+1在x=1处的切线斜率,练习：试求f (x)=x2+1在x=1处的切线斜率,当x无限趋近于0时， 割 线 逼 近 切 线， 割线斜率逼近切线斜率,找到定点P的坐标设出动点Q的坐标,求出割线斜率,y,x,O,y = f(x),x,x0,x0+x,P,Q,f (x0+x
5、) f (x0),切线,割线,P（x0,f(x0),Q(x0+x,f(x0+ x),x0时,点Q位于点P的右侧,y=f(x),x0时,点Q位于点P的左侧,2.求出割线PQ的斜率 ,并化简.,求曲线y=f(x)上一点P(x0,f(x0)处切线斜率的一般步骤:,3. 令x 趋向于0,若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，则其即为所求切线斜率,1.设曲线上另一点Q(x0 +x,f(x0 + x),M,（即 y),例题2、已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程,课堂练习：,小 结1、曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映。(局部以直代曲) 2、根据定义,利用割线逼近切线的方法, 可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。,即区间长度趋向于0,令横坐标无限接近,函数在区间xP,xQ(或xQ,xP）上的平均变化率,P点处的瞬时变化率,(导数),课后作业,
