1、第2章 平面解析几何初步,22 圆与方程 22.1 圆的方程,栏目链接,课 标 点 击,1理解圆的方程的意义 2掌握圆的标准方程和一般方程的形式特征 3会根据圆的方程求圆心坐标和半径 4会用待定系数法求圆的方程,栏目链接,典 例 剖 析,栏目链接,圆的方程,设圆满足：截y轴所得的弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31.在满足的所有圆中，求圆心到直线l：x2y0的距离最小的圆的方程分析：设圆心(a，b)、半径r ，然后利用平面几何知识解决问题,栏目链接,解析：设所求圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.,栏目链接,5d2|a2b|2a24b24ab
2、a24b22(a2b2)2b2a21， 当且仅当ab时，上式等号成立，此时5d21，从而d取得最小值,栏目链接,规律总结：(1)求圆的方程的一般步骤： 选用圆的方程两种形式中的一种(如果已知圆上的三个点的坐标，一般选用一般方程；如果给出圆心的特殊位置或圆心两坐标间的关系，一般选用标准方程)； 根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组； 解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程 (2)本题是解析几何和代数的一个综合题，实质是根据已知条件求最值问题，有机地将代数和几何联系在一起，利用圆的有关性质是解决本题的关键,栏目链接,栏目链接,动点的轨
3、迹问题,如右下图所示，已知O为坐标原点，P在圆C： (x2)2y21上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程,栏目链接,分析：点P运动引起点M运动，而点P在已知圆上运动，点P的坐标满足方程(x2)2y21，建立点M与点P坐标之间的关系，就可以得到点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程，或利用圆的定义求出点M的轨迹方程,栏目链接,栏目链接,栏目链接,规律总结：(1)代入法和定义法，是求轨迹方程的常用方法，注意熟练掌握 (2)直接法求点的轨迹方程的步骤：,栏目链接,建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为M(x，y)；几何点集：写出满足题设的点M的集合PM|P(M)；翻译列式：将几何条件
4、P(M)用坐标x，y表示，写出方程f(x，y)0；化简方程：通过同解变形化简方程；查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点该方法常用于解答与圆相关的应用性问题,栏目链接,变式训练 2设圆的方程为x2y24，过点M(0，1)的直线l交圆于A、B两点，O是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程,解析：方法一 设点P的坐标为(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2) 因为A、B在圆上，所以x21y214，x22y224.两式相减得x21x22y21y220， 所以(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y
5、2)0.,栏目链接,栏目链接,栏目链接,与圆有关的最值问题,栏目链接,栏目链接,规律总结：研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解，一般地： 形如u形式的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题； 形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； 形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题,栏目链接,已知圆C：(x3)2(y4)21，点A(1，0)，B(1，0)，点P为圆上的动点，求d|PA|2|PB|2的最大、最小值及对应的点P的坐标分析：设出点P的坐标，转化为求函数最值问题,栏目链接,解析：若设P(x0，y0)，则d|PA|2|PB|2(x01)2y 20(x01)2y 202(x 20y 20)2， 欲求d的最值，只需求x 20y 20的最值，即求圆C上的点到原点的距离的平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求,栏目链接,栏目链接,规律总结：研究圆上的点到定点(或到定直线)的距离的最值问题，一般在点与定点的连线(点与直线的垂线)过圆心时寻求，解决这类问题除可充分利用圆与圆的几何性质外，还可以考虑用圆的参数方程进行三角代换，化成关于sin (或cos )的函数，再利用正、余弦函数的有界性求解,
