1、第十五章,选考内容,相似三角形的判定与性质,第77讲,平行线分线段成比例定理,【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，所以FDBC，BEDQ，所以 ， 因为 ,所以 , 即 ，即 . 又因为DE=BF, 所以 , 所以 .,点评,由于条件中有平行线，故考虑平行线分线段成比例定理及其推论，利用相等线段和等比性质，证明线段成比例.,相似三角形的判定与性质,【解析】(1)证明：因为DEBC，D是BC的中点，所以EB=EC，所以ABC=ECB.又因为AD=AC，所以ADC=ACB. 所以ABCFCD.(2)过点A作AMBC，垂足为点M.因为ABCFCD，BC=2CD，所以,又因为SFCD =5， 所以
2、SABC =20. 因为SABC = BC AM , BC=10, 所以 20= 10 AM , 所以 AM=4. 又因为DEAM，所以 . 因为 , 所以 , 所以 .,点评,本题主要考查了三角形相似的判定与性质，解题的关键是找准满足定理的条件.第(1)问是利用“有两角对应相等的两个三角形相似”，找出两角对应相等；第(2)问是首先利用相似三角形的性质，再根据等腰三角形的性质及中点求出DE的长度.,【变式练习2】如图，AE、AF分别为ABC的内、外角平分线，O为EF的中点. 求证：OBOC=AB2AC2.,【解析】因为AE、AF分别为ABC的内、外角平分线，所以AEAF.又因为O为EF的中点,
3、 所以OEA=OAE.因为OAE=CAE+OAC，OEA=ABE+BAE，而BAE=CAE，所以OAC=ABE.,因为AOB为公共角, 所以OACOBA.所以SOBASOAC =AB2AC2.又因为OAB与OCA有一条公共边OA,所以SOBASOAC =OBOC，所以OBOC=AB2AC2.,相似三角形的应用,【例3】小明欲测量一座古塔的高度，他站在影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m已知小明的身高是1.6 m，他的影子长度是2 m.,点评,实际生活中有很多类似的测量题，解题的关键是将实际问题转化为数学模型，利用相似三角形知识求解后再回到实际问题
4、中,直角三角形射影定理的应用,点评,题目符合直角三角形射影定理的条件，选择合适的直角三角形是解决问题的关键.,【变式练习4】如图，已知BD、CE是ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且H=BCF.求证：GD2=GF GH.,1. ABC中，AD是角平分线，AB=5，AC=4，BC=7，求BD的长度.,2.如图，E是 ABCD的边BC的中点，若BD=9,求BF的长度.,【解析】因为BEAD,所以 .设BF=x, 则 FD=9-x, ,所以 ，解得 x=3.所以 BF 的长度为3.,5.如图，在ABC中，AB=AC， BDAC，点D是垂足. 求证： BC2=2CD
5、 AC.,【解析】过点A作AEBC，垂足为E，则CE=BE= BC.由BDAC，AEBC,得AEC=BDC=90.又因为C=C，所以AECBDC,所以 ，所以 ,即BC2=2CD AC.,2.相似三角形的性质把相似三角形的高、对应中线、对应角的平分线，以及周长、面积都与相似三角形的对应边的比(相似比)联系起来.利用相似三角形的性质可得到线段的比例、线段的平方比或角相等，有时还可用来计算三角形的面积、周长和边长.,3.运用直角三角形射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理.当所给条件具备定理的条件时，可直接运用定理，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理.在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相联系，要注意它们的综合运用.,
