1、1,第九章 二阶常微分方程级数解法本征值问题,特殊函数常微分方程 常点邻域上的级数解法 正则奇点邻域上的级数解法 施图姆-刘维尔本征值问题(自学),2,特殊函数常微分方程,1.Laplace方程2.波动方程3.输运方程4.亥姆霍兹方程,3,(1) 球坐标系中的表示球坐标系中的Laplace方程为,1.Laplace方程,首先将r与方向变数分离开，设假设常数为l(l+1),得,4,Y与半径r无关，故称为球面函数，简称球函数，因此 它的方程称为球函数方程。,解关于R的方程,5,将球函数方程进一步分离变数，有第一个方程加上自然周期条件构成本征值问题，本征值为对应的本征函数为这时，另一个方程为,6,作
2、变换 ，有于是，方程为,7,即这称为L阶连带勒让德方程，特例为m=0，有称为L阶勒让德方程。 注意：此处的x不是直角坐标系中的x，而是,8,(2) 柱坐标系 柱坐标系中的Laplace方程为设具有分离变数形式的解为代入后，得,9,第二个方程变为得,10,讨论： (i) ：R的方程是一个欧拉方程，解为(ii) ：对R的方程作代换方程化为,注意: 这里的x不是直角坐标系里的x。,11,或者写为这称为m阶贝塞尔方程。 该方程以后讨论，Z的解为(iii) ：通常记 ，Z的解为对R有方程作代换,12,这称为虚宗量贝塞尔方程，只要把贝塞尔方程的自变量x用ix代换，就将贝塞尔方程变为虚宗量贝塞尔方程。 前面
3、，对三维Laplace方程，在球坐标系中，由 的方程导出L阶勒让德方程，柱坐标系中，由R的方程在两种情况下分别导出贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方程。2. 波动方程前面讨论波动方程等是在一维情况下，现在讨论三维情况(空间)。波动方程为,13,分离变数得代入方程并分离得关于T的方程的解为关于v的偏微分方程称为亥姆霍兹方程。关于亥姆霍兹方程以后讨论。,14,3. 输运方程 三维输运方程为和对三维波动方程的讨论一样，设有与三维波动方程比较，关于空间部分都是亥姆霍兹方程，不同的只是T的方程，这里，T的方程是一阶的，解为,15,4. 亥姆霍兹方程 与拉氏方程比较，亥姆霍兹方程多了一项仍采用对拉氏方程的讨论方法
4、。 (1) 球坐标系亥姆霍兹方程在球坐标系中的表达式为同样，设试探解代入整理后得,16,与Laplace方程时的情况比较，仅是R的方程不同，R的方程可写为,17,称为L阶的球贝塞尔方程。作代换得到这称L+1/2阶的贝塞尔方程。当k=0时，方程则退化为欧拉型方程。 (2) 柱坐标系 柱坐标系中的亥姆霍兹方程为,18,设具有分离变数形式的解为代入方程后，一步步的分离，引入常数 ，最后得第一个方程与自然周期条件一起构成的本征值问题:,19,令则R的方程化为再考虑作代换 ，则有m阶贝塞尔方程,20,关于这一部分的总结，见P236 说明：在前面讨论波动方程、输运方程时，使用分离变数法，常数 ，按讨论时的
5、情况，是不能这样选取的，因为在实数范围内，该常数只能大于等于零。后面我们将会看到，由于齐次边界条件中，只能这样选值。,21,9.2 常点邻域上的级数解法,级数解法引入:对分离变数法得到的二阶常维分方程,考虑在初始条件下的求解方法.即:,是指定点， 为常数。级数解法思想：在某个任选点 的邻域上，待求解表为系数待定的级数，将此级数带入方程和初始条件，确定待定系数，最后得到解。,22,不失一般性，讨论复变函数的线性二阶常微分方程,是指定点， 为复常数。,级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无特殊的要求。对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。用级数解法要选定某个点 作展开中心，得到的解是以 为中心的
6、幂级数。 另外还必须确定幂级数的收敛圆，级数解只在收敛圆内部才有 意义。,说明：,23,一. 方程的常点和奇点若方程的系数 在某点 解析，则该点称为方程的常点，若该点是 的奇点，则该点称为方程的奇点。 二. 常点邻域上的级数解 定理：若方程的系数 为点 的邻域 中 的解析函数，则方程在这个圆中存在唯一的解析解 满足初值条件其中 为任意给定的复常数。,24,根据定理及复变函数理论，可以在常点邻域内将此唯一的解析解展开为泰勒级数该级数的系数是待定的。确定系数的方法：将级数解代入方程，合并同幂项，然后令合并后的各系数分别为零，得到系数间的递推关系，最后用已给的初值确定各系数，最后得到确定的级数解。,
7、25,三. 勒让德方程 自然边界条件(1) 勒让德方程的级数解在 的邻域上求解l阶勒让德方程给定点为方程的常点，根据常点邻域上解的定理，解具有形式,26,代入L阶勒让德方程，通常作成表合并同幂系数，令合并后的各系数为0得一系列的方程,27,可得系数的递推公式,28,由递推公式可见，解的泰勒级数展开式的系数可以 用 表示，即有含偶次幂，是偶函数; 只含奇次幂，是奇函数。两个级数的收敛半径均为1。,29,(2) 级数解在 是否收敛 在勒让德方程中， ，对余弦函数，其绝对值是小于等于1的，实数范围内不存在大于1的情况，只关心等于+1，-1的情况。,附录四中证明两个级数各在两点都是发散的。可以用反证法
8、证明勒让德方程在+1，-1两点均有限的级数解不存在。见P241 但有很多定解问题要求在上述两有有限解出路：将级数截断为多项式，必有限。,30,(3) 退化为多项式的可能性 从 可以推出,当参数L=2n时，则级数 只到 为止。 当参数L=2n+1时，则级数 只到 为止。 综上，当L为0和正整数时，两级数中总有一个会退化为一个L多项式，该多项式称为勒让德多项式。 当级数退化为多项式时，自然在+1，-1点是有限值。,31,(4) 自然边界条件 勒让德方程的自然边界条件为,勒让德方程与自然边界条件一起构成本征值问题，本征值是 本征函数则是L阶勒让德多项式。,32,P243: 2,3,5,33,9.3
9、正则奇点邻域上的级数解法,1. 奇点邻域上的级数解奇点邻域上的级数解的定理： 若点为方程的奇点，则方程在该点 的邻域上，方程存在两个线性独立解，其形式为,34,或其中， 为常数。说明：此定理只给出一个一般性的论断，并未提供确定级数系数的方法，且一般情况下，确定这些常数是有困难的。这里不讨论。,35,2. 正则奇点邻域上的级数解 正则奇点: 若方程在奇点邻域上的两个线性独立的级数解全都具有有限个负幂项，则该奇点称为方程的正则奇点。若 是系数 的不高于一阶的极点,且是系数 的 的不高于二阶的极点，即则该点是方程的正则奇点。,36,在 的邻域 上，方程有两个线性独 立解，级数表达式为:,37,是判定
10、方程的2个根, 较小的为 。当 时，是第一个式子，否则为第二个式子（此种情况下，也有A为0的可能）。,其中,38,3. 贝塞尔方程 (1) 阶贝塞尔方程 考虑情况不等于整数或半奇数 贝塞尔方程的级数解。给定点是方程的正则奇点， ,设方程的级数解为,39,将此级数代入方程，合并同幂次的项，列表后合并，可以得到由于级数中第一项的系数要求不为零，由此得到的即是判定方程。从后面第三个式子开始，得到系数的递推公式为,40,A: 时的解的情况可得各系数为,由递推公式,41,42,阶贝塞尔方程的一个特解为:该级数的收敛半径为无限 通常，取,把这个解称为 阶贝塞尔函数,得:,43,B: 时的解的情况,贝塞尔方
11、程的另一个特解为:,级数的收敛半径为无限，通常取系数这个解称为 贝塞尔函数,44,由A.B得 阶贝塞尔方程的通解是:,(2) 半奇数( +1/2)阶贝塞尔方程在点 的邻域上求半奇数阶贝塞尔方程,给定点是方程的正则奇点,l=0时:,转化为 阶贝塞尔方程,l,45,时方程的一个解为:,再利用gamma函数,46,由于判定方程两根之差为1，第二个特解的形式为,代入贝塞尔方程,第二个特解为阶贝塞尔方程的通解为,47,l0时:,半奇数阶贝塞尔方程的通解为,48,(3) 整数m阶贝塞尔方程 在点 的邻域上求解整数m阶贝塞尔方程判定方程的两个根为+m,-m大根对应的特解为m阶贝塞尔函数对应于小根的，,特解为m阶的诺伊曼函数，定义为:,49,(4) x=0处的自然边界条件 对贝塞尔函数和诺伊曼函数在x趋于0时，有因此,存在自然边界条件，当包含x=0的点时，由于要求解有限，只能是的线性叠加。,
