1、12016-2017 学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行课后演练提升 北师大版选修 2-1一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1若直线 l 的方向向量为 a(1,0,2)，平面 的法向量为 u(2,0，4)，则( )A l B l C l D l 与 斜交解析： u2 a， a u. a ， l a，故选 B.答案： B2已知平面 内的三点 A(0,0,1)、 B(0,1,0)、 C(1,0,0)，平面 的一个法向量为n(1，1，1)，且 与 不重合，则( )A B C 与 相交不垂直 D以上都不对解析： (0,1，1)， (1,0，1)，AB AC
2、nA (1，1，1)(0,1，1)B 10(1)1(1)(1)0，nA (1，1，1)(1,0，1)C 110(1)(1)0， n ， n .AB AC n 也为 的一个法向量又 与 不重合， .答案： A3已知平面 内有一个点 A(2，1,2)， 的一个法向量为 n(3,1,2)，则下列点P 中，在平面 内的是( )A(1，1,1) B.(1， 3，32)C. D.(1， 3，32) ( 1， 3， 32)解析： 对于选项 A， (1,0,1)，PA 则 n(1,0,1)(3,1,2)50，故排除 A；PA 对于选项 B， ，PA (1， 4， 12)则 n (3,1,2)0，故选 B.PA
3、 (1， 4， 12)答案： B4如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，若 E 为 A1C1的中点，则直线 CE垂直于( )A AC B BDC A1D D A1A解析： 以 D 为原点建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标方法证明 0 即可CE BD 答案： B二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5若平面 的一个法向量为 u1(3， y,2)，平面 的一个法向量为2u2(6，2， z)，且 ，则 y z_.解析： ， u1 u2. . 36 y 2 2z y1， z4. y z3.答案： 36已知 ABC 在平面 内， A90， DA平面 ，则直线 CA 与 DB 的位置关系是_
4、解析： 如右图： DA平面 ABC，且 BAC90如图建系：采用向量法易证： 0CA DB 答案： 垂直三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)7已知 ABC A1B1C1是正三棱柱， D 是 AC 的中点，求证： AB1平面 DBC1.证明： 证法一：建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz.设正三棱柱的底面边长为 a，侧棱长为 b，则 A(0,0,0)， B ，(32a， a2， 0)C1(0， a， b)， B1 ，(32a， a2， b)D .(0，a2， 0) ， ， .AB1 (32a， a2， b) BD ( 32a， 0， 0) DC1 (0， a2， b)设平面 DBC1
5、的法向量为 n( x， y， z)，由 n ， n ，得Error!BD DC1 Error!取 y1，得 n .(0， 1， a2b)由 1n 0，AB (32a， a2， b) (0， 1， a2b)得 n，即 AB1平面 DBC1.AB1 证法二：如图所示，记 a， b， c，AB AC AA1 则 a c， a b， b c.AB1 DB AB AD 12 DC1 DC CC1 12 a c ， ， ， 共面DB DC1 AB1 DB DC1 AB1 又 AB1平面 DBC1， AB1平面 DBC1.38已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E、 F 分别是棱 BB1、 D1B
6、1的中点，求证： EF面B1AC.证明： 证法一：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为 2，则有 A(2,0,0)、B1(2,2,2)、 C(0,2,0)、 E(2,2,1)、 F(1,1,2)， (0,2,2)，AB1 (2,2,0)， (1，1,1)，AC EF (1，1,1)(0,2,2)EF AB1 0220 ， (1，1,1)(2,2,0) 2200 ，即EF AB1 EF AC EF AC EF AB1， EF AC，又 AB1 AC A， EF面 B1AC.证法二：建系如证法一，设面 B1AC 的一个法向量为 n( x， y， z)，由Error!Error!，令 x1 可
7、得： y1， z1， n(1,1，1) n ， EF面 B1AC.EF EF 尖 子 生 题 库9(10 分)如图所示，四棱锥 P ABCD 中， AB AD， CD AD， PA底面 ABCD，PA AD CD2 AB2， M 为 PC 中点(1)求证： BM平面 PAD；(2)在 PAD 内找一点 N，使 MN平面 PBD.解析： (1)证明： M 是 PC 的中点，取 PD 的中点 E，则 ME 綊 CD，又 AB 綊 CD，12 12四边形 ABME 是平行四边形 BM EA， BM平面 PAD， EA平面 PAD， BM平面 PAD.(2)以 A 为原点，以 AB， AD， AP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图则 B(1,0,0)， C(2,2,0)，4D(0,2,0)， P(0,0,2)， M(1,1,1)， E(0,1，1)在平面 PAD 内设 N(0， y， z)，则 (1， y1， z1)，MN (1,0，2)， (1，2,0)PB DB ， ，MN PB MN DB 12 z20.MN PB 12 y20.MN DB y ， z ， N ，12 12 (0， 12， 12) N 是 AE 的中点当点 N 是 PAD 边 PD 中线上的中点时， MN平面 PBD.
